Главная » Просмотр файлов » Дж. Лайтхилл - Волны в жидкостях

Дж. Лайтхилл - Волны в жидкостях (1132327), страница 92

Файл №1132327 Дж. Лайтхилл - Волны в жидкостях (Дж. Лайтхилл - Волны в жидкостях) 92 страницаДж. Лайтхилл - Волны в жидкостях (1132327) страница 922019-05-12СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 92)

В момент ~, когда волны с волновым числом йе обнаруживаются в положении (247), те из них, которые принадлежат элементу Ыйзс/йзс(йз, заполняют область с объемом ~ д (с/зс с/зг, с/зс)/д (йм йзе йз)~~ ЙЫ/йзойз = = Сз ~ Ро> ~ с(й,сУсзс(йз (249) Отношение (248) к (249) определяет плотность энергии Вео (йз йз /сз) 4лз! ()о 1зг з ~ Х'о> ~ з.

(250) а.я. Л!етоа стационарной»»ави в треамерном случае 433 Прекрасной проверкой проделанной работы является тот факт, что выражение (250) равно произведению И/о (/е„ /в„ /ее) на средний квадрат асимптотического решения (246); правда, такие энергетические рассуждения не дают никакой инфорфации о фазовом сдвиге О, Однако, как подтверждает более строгий подход этого раздела, результаты, полученные в предположении, что энергия распространяется с групповой скоростью, не теряют силу из-эа требования, согласно которому слоя«ное нозмущенпе «распутывается» на ранних стадиях дисперсии.

Внутренние волны дают превосходную иллюстрацию наших результатов. Согласно условию (244), для таких волн 8 всегда равно +л,'4. Это следует из того, что в силу (24), н пространстве волновых чисел поверхности сн = сопя«, предстанляют собой конусы, оси которых вертикальны, а значение о» возрастает как функция угла раствора конуса. Следовательно, азимутальное направление нсюду является главным направлением, в котором ю возрастает. Мы можем вычислить два главных направления в меридиональяой плоскости, но это не нужно: функция (228) (о» минус линейное приближение) должна возрастать в одном из них и убывать в другом, так как существует направление (образующая конуса), вдоль которого она остается постоянной. В итоге реаюмируем: фаза возрастает только в двух из трех главных[ направлений, так что Э = н/4.

В случае внутренних волн мы воспользуемся волновым вектором (/в, /, т). Непосредственное, хотя и громоздкое вычисление якобиана У, определенного в (245), с использованием компонент групповой скорости (91) дает У вЂ” Л!»т« (ье + /$)-1/2 (йе + /» + те)-о/е (251) Этот расчет будет короче, если волновой вектор в полупространстве представить в сферических координатах: й .= К соя О созе(1, 1 = К соя 0 я»пч(4, т = — К я1п О (252) (точно так же, как в (175), но только с заменой йн на К соя 0). Это упрощает вектор групповой скорости (91), так что в момент 4 точка Щ где находятся волны с волновым вектором(/в, /, т), будет иметь координаты х = Л еК-1 зспе 0 соя 43, у = Л!1К ' яспе 0 ясп ф, з = 14/»К ' я1п 0 соя О.

(253) Тогда в соответствии с (251) Г»У = д (х, у, г)/д (/е, (, т) = = (д (х, у, я)/д (К, О, «у)) !д (й, 1, т)!д (К, О, ф)) 1 = (Д/Г)»К-4 я1п« О) (Ке созе»0)-1 = (ь/!)»К-е я)п« О яес О. (254) е-»11»О я. Внутренние волны 434 Уравнение (246) означает теперь, что д=[()'„" (Ксояйсоя ф, К соя йя1в ф, — К я1пй)) и х (2я((Л'г))з~" (Ке сояес' 0 совка 0) х х ехр (е ( Л'е соя Π— (х соя ф+ д яш ф) К соя О+ +зКя1п О+ —, л~~, (255) Это выражение показывает, что для волн с заданным волновым числом амплитуда убывает как х М', тогда как уравнения (253) для положения этих волн показывают, что их энергия заполняет объем, расширяющийся как Р. Их гребни движутся, конечно, в направлении, перпендикулярном радиусу-вектору (253).

Интересно выразить локальную амплитуду колебания д (скажем, уы задаваемую двумя первыми строками выражения (255)) через сферические координаты х = г я1п О соя ф, у = г яш 9 яш ф з = г соя О. (256) Здесь, согласно (253), (257) г = ЛЧК ' я1п 9. Тогда волновая амплитуда записывается в виде о, =(~'„"(Леег 'яви йсояйсоя ф, Хй 'я1п~й соя)0я1пф, — Л 1г я!пай) (2иМЦ г е яы1 Осознай. (258) Зта формула указывает на небольшое преимущество распространения под углами 9 к вертикали, промежуточными между О и я/2. Она показывает, что при больших г в любой момент времени ~ амплитуда затухает со скоростью, обратно пропорциональной кубу г, в то время как выражение в первой строке принимает значение Д,'ы (О, О, 0), которое в силу формулы (225) пропорционально интегралу от начального возмущения.

С другой стороны, в некотором фиксированном положении сигнал растет со временем до тех пор, пока пе достигается некоторое пороговое волновое число К, (за которым ~)",' становится пренебрежимо малым) в момент времени гР гК „сояес О. Здесь мы можем ааметить, что даже если в начальных условиях не существует никакого определенного порога, он все же появится эа счет дополнительного множителя ехр ( — (4/2) тКЯе) в (258), представляющего затухание энергии 4.8. Метод сснацаонарной фаза а анзеазсернозс случае 435 со скоростью (219).

(Такой коэффициент затухания можно, как и в равд. 3.7, непосредственно включить в интеграл (223) и, следовательно, в его асимптотическое представление (246).) Выше были описаны внутренние волны, распространяющиеся вверх (характеризусощиеся полоясительной оз). Однако решение уравнений (16) — (22) при начальных условиях общего вида включает также и внутренние волны, распространяющиеся вниз (характеризующиеся отрицательной са).

Например, при заданных начальных значениях каь. вертикального перемещения, таь и вертикальной скорости (или, что эквивалентно, р, и д, которые связаяы соотношенлем (21)) мы можем определить последующее поведение д в виде суммы члена (223) с положвтельяой со и другого такого члена с другой амплитудной функцией и отрицательной аз, а (21) дает аналогичное представление р». Такие решения для о, и д определяют также ре при помощи уравнения (18). В то же самое время они определяют и и и, если можно допустить, что линейные уравнения дввжеяпя уже удовлетворяются во время возникновения начального возмущения.

Это происходит потому, что из уравнений (16) следует равенствс (259 д (ои дх — дисду)зде = 0; таким образом, вертикальная компонента вихря не может изменяться и, будучи равной нулю в невозмущенном состоянии, должна и оставаться равной нулю. Тогда для каждого: двумерное векторное поле (и, и) однозначно определяется своим нулевым вихрем и своей дивергенцией ди!дх +сдИду = — ро' дауда, (260) известной ив (17), С другой стороны, если допустимы более общие начальные условия, то на основании (259) они могут порождать произвольное значение дисдх — дизду, не зависящее от времени.

Тогда и и и могут отличаться от безвихревого решения уравнения (260) па произвольное горизонтальное движение, которое является хак бездивергентным, злак и стационарным. С этим движением не связана никакая восстанавливающая сила, и оно может оставаться невозмущенным, пока волновая энергия распространяется, как было описано вьппе. Поверхностные волны и некоторые другие волны в жидкости, подобные волнам на границах раздела (равд. 4.1), распространяются в двух измерениях. Развитый в настоящем разделе анализ' подойдет и длв этого случая, если в произведениях (241) 4.

Внктреооие солом и (243) взять два члена вместо трех. Это дает 0 — — - л,'2 в минимуме, — и,'2 в максимуме, В в седловой точке;,Е = д (ЕЕ„ЕЕз)Ед (Л„Л:.), (261) в то время как (246) заменяется нз сЕ.=. ~>о'(2л)с)(у'и( "зехр(с (ю (Л',". й',") 1 — Л,"'х, +О(). (262) где йф определяется ллз (247). Интересно отметить простой нид этих результатов для пзотропных волн, удовлетворяющих зависимостям ю = со (й) при й =- (й', —; — Есс)лЕл и со' (й) = ЕЕ (Ес). (263) При этом условие (247) для й; = йф переходит в условие х, =- Ее (Ес) 1 (йлЕй), х -- (х,' .—, х„'-)'Ес — ЕЕ (й) С (264) подтверждающее, что нолновой воктор имеет направление распространения изотропных волн, энергия которых проходит расстояние Е7 (Ес) 1 за время 1. Аналогично, (261) прпнллмает нид 0 = — ч з!ди (Ес(й)(- 4 л з(дп (Е ' (й)(; Е = Ес 'Ес (Л) ЕЕ' (Ес); (265) 1... 1 н частности, 0 = — О для поверхностных гравитационных ноля.

Наконец, (262) можно записать в виде д= х- ссора,',о' (2лйсо))п') (2л)(гсо" (й1о')(( н х Х ехр (с (со (Лсю) с — Ессмх+ О(), (266) подтверждающем утнерждение, приведенное в начале равд. 3.7 по поводу того, что амплитуды волн при изотропном двумерном распространении изменяются н зависимости от поло'кеяия и времени точно так же, как н при одномерном распространении, но содержат дополнительный множитель х-'". В данном случае выражение в больших круглых скобках, определяющее энергию на радиан в волнах с волновым числом й", играет ту же роль, что г (йо) в равд. 3.7.

4.9. Общая теория осциллирующих ИСТОЧНИКОВ ВОЛН Мы только что воспользовались трехмерным анализом Фурье, чтобы показать асимптотическое поведение однородной линейной системы при свободных колебаниях, являющихся результатом сложного начального возмущения в ограниченной й.9. Общая теория ввзиляирающия автои«иков вияи 437 области. В равд.

4.9 и 4.10 представлено дополнительное исследование вынужденных колебании (волн, возбуждаемых осцпллнруннцим источником с фиксированной частотой юа). Исследование снова ограничивается однороднымн системами, поскольку используется анализ г1)урье.

Лсимптотнческая оценка дается не относительно времени, а относительно расстояния от источника. Мы увидим, что на больших расстояниях распространение происходит так, как описывалось траекторно-лучевь1ми методами: при этом предполагается, что неоднородные системы можно исследовать прн помощи гибридного метода: настоящий анализ мог бы быть использован для построения решения в области умеренных размеров вокруг источника, где неоднородность играет ноболыпую роль, в то время как развитие волн вне этой области можно было бы описать прп помощи теории лучей в неоднородных системах (равд. 4.5).

Излагаемый ниже обэцээй подход дает полезные результаты, касающиеся напра«ленивее распределения волновои энергии, генерируемой источниками, для многих типов волновых систем: не только для систем, проявляющих анизотропную дисперсию (подобно внутренним волнам, которые будут детально обсуждаться в равд. 4.10), но и для изотрапных систем, подобных во:шам на воде, н даже для неднспергнрующих систем, подобных звуковым волнам. В частности, вновь получаются (н обобщаются на другие системы) результаты гл. 1, относящиеся к кохшактным источникам звука, после чего устанавливаются новые результаты, относящээеся к излучению от некомпактных источников внука.

В дальне)пнем упомлнътьпэ выше метод распространяется (равд. 4.12) на волны, возбуждаемыо движущплшсл воздействиями, осциллирующимн с фиксированной частотой иэв. Для их исследования требуется метод, пригодный для анизотропии, так как (какова бы нн была волновая система) движение источника вносит существенную анпзотропию. Случай юа == 0(неосцнллирующии движущийся источник) включает задачи равд. 3.9 и 3.10 и, в частности, позволяет получить оценку распределения волновой энергии, связанной со стационарнгам движением корабля. И наоборот, наш настоящий метод существенно опирается на идею, впервые введенную в конце равд. 3.9.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
5,75 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6487
Авторов
на СтудИзбе
303
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее