Дж. Лайтхилл - Волны в жидкостях (1132327), страница 92
Текст из файла (страница 92)
В момент ~, когда волны с волновым числом йе обнаруживаются в положении (247), те из них, которые принадлежат элементу Ыйзс/йзс(йз, заполняют область с объемом ~ д (с/зс с/зг, с/зс)/д (йм йзе йз)~~ ЙЫ/йзойз = = Сз ~ Ро> ~ с(й,сУсзс(йз (249) Отношение (248) к (249) определяет плотность энергии Вео (йз йз /сз) 4лз! ()о 1зг з ~ Х'о> ~ з.
(250) а.я. Л!етоа стационарной»»ави в треамерном случае 433 Прекрасной проверкой проделанной работы является тот факт, что выражение (250) равно произведению И/о (/е„ /в„ /ее) на средний квадрат асимптотического решения (246); правда, такие энергетические рассуждения не дают никакой инфорфации о фазовом сдвиге О, Однако, как подтверждает более строгий подход этого раздела, результаты, полученные в предположении, что энергия распространяется с групповой скоростью, не теряют силу из-эа требования, согласно которому слоя«ное нозмущенпе «распутывается» на ранних стадиях дисперсии.
Внутренние волны дают превосходную иллюстрацию наших результатов. Согласно условию (244), для таких волн 8 всегда равно +л,'4. Это следует из того, что в силу (24), н пространстве волновых чисел поверхности сн = сопя«, предстанляют собой конусы, оси которых вертикальны, а значение о» возрастает как функция угла раствора конуса. Следовательно, азимутальное направление нсюду является главным направлением, в котором ю возрастает. Мы можем вычислить два главных направления в меридиональяой плоскости, но это не нужно: функция (228) (о» минус линейное приближение) должна возрастать в одном из них и убывать в другом, так как существует направление (образующая конуса), вдоль которого она остается постоянной. В итоге реаюмируем: фаза возрастает только в двух из трех главных[ направлений, так что Э = н/4.
В случае внутренних волн мы воспользуемся волновым вектором (/в, /, т). Непосредственное, хотя и громоздкое вычисление якобиана У, определенного в (245), с использованием компонент групповой скорости (91) дает У вЂ” Л!»т« (ье + /$)-1/2 (йе + /» + те)-о/е (251) Этот расчет будет короче, если волновой вектор в полупространстве представить в сферических координатах: й .= К соя О созе(1, 1 = К соя 0 я»пч(4, т = — К я1п О (252) (точно так же, как в (175), но только с заменой йн на К соя 0). Это упрощает вектор групповой скорости (91), так что в момент 4 точка Щ где находятся волны с волновым вектором(/в, /, т), будет иметь координаты х = Л еК-1 зспе 0 соя 43, у = Л!1К ' яспе 0 ясп ф, з = 14/»К ' я1п 0 соя О.
(253) Тогда в соответствии с (251) Г»У = д (х, у, г)/д (/е, (, т) = = (д (х, у, я)/д (К, О, «у)) !д (й, 1, т)!д (К, О, ф)) 1 = (Д/Г)»К-4 я1п« О) (Ке созе»0)-1 = (ь/!)»К-е я)п« О яес О. (254) е-»11»О я. Внутренние волны 434 Уравнение (246) означает теперь, что д=[()'„" (Ксояйсоя ф, К соя йя1в ф, — К я1пй)) и х (2я((Л'г))з~" (Ке сояес' 0 совка 0) х х ехр (е ( Л'е соя Π— (х соя ф+ д яш ф) К соя О+ +зКя1п О+ —, л~~, (255) Это выражение показывает, что для волн с заданным волновым числом амплитуда убывает как х М', тогда как уравнения (253) для положения этих волн показывают, что их энергия заполняет объем, расширяющийся как Р. Их гребни движутся, конечно, в направлении, перпендикулярном радиусу-вектору (253).
Интересно выразить локальную амплитуду колебания д (скажем, уы задаваемую двумя первыми строками выражения (255)) через сферические координаты х = г я1п О соя ф, у = г яш 9 яш ф з = г соя О. (256) Здесь, согласно (253), (257) г = ЛЧК ' я1п 9. Тогда волновая амплитуда записывается в виде о, =(~'„"(Леег 'яви йсояйсоя ф, Хй 'я1п~й соя)0я1пф, — Л 1г я!пай) (2иМЦ г е яы1 Осознай. (258) Зта формула указывает на небольшое преимущество распространения под углами 9 к вертикали, промежуточными между О и я/2. Она показывает, что при больших г в любой момент времени ~ амплитуда затухает со скоростью, обратно пропорциональной кубу г, в то время как выражение в первой строке принимает значение Д,'ы (О, О, 0), которое в силу формулы (225) пропорционально интегралу от начального возмущения.
С другой стороны, в некотором фиксированном положении сигнал растет со временем до тех пор, пока пе достигается некоторое пороговое волновое число К, (за которым ~)",' становится пренебрежимо малым) в момент времени гР гК „сояес О. Здесь мы можем ааметить, что даже если в начальных условиях не существует никакого определенного порога, он все же появится эа счет дополнительного множителя ехр ( — (4/2) тКЯе) в (258), представляющего затухание энергии 4.8. Метод сснацаонарной фаза а анзеазсернозс случае 435 со скоростью (219).
(Такой коэффициент затухания можно, как и в равд. 3.7, непосредственно включить в интеграл (223) и, следовательно, в его асимптотическое представление (246).) Выше были описаны внутренние волны, распространяющиеся вверх (характеризусощиеся полоясительной оз). Однако решение уравнений (16) — (22) при начальных условиях общего вида включает также и внутренние волны, распространяющиеся вниз (характеризующиеся отрицательной са).
Например, при заданных начальных значениях каь. вертикального перемещения, таь и вертикальной скорости (или, что эквивалентно, р, и д, которые связаяы соотношенлем (21)) мы можем определить последующее поведение д в виде суммы члена (223) с положвтельяой со и другого такого члена с другой амплитудной функцией и отрицательной аз, а (21) дает аналогичное представление р». Такие решения для о, и д определяют также ре при помощи уравнения (18). В то же самое время они определяют и и и, если можно допустить, что линейные уравнения дввжеяпя уже удовлетворяются во время возникновения начального возмущения.
Это происходит потому, что из уравнений (16) следует равенствс (259 д (ои дх — дисду)зде = 0; таким образом, вертикальная компонента вихря не может изменяться и, будучи равной нулю в невозмущенном состоянии, должна и оставаться равной нулю. Тогда для каждого: двумерное векторное поле (и, и) однозначно определяется своим нулевым вихрем и своей дивергенцией ди!дх +сдИду = — ро' дауда, (260) известной ив (17), С другой стороны, если допустимы более общие начальные условия, то на основании (259) они могут порождать произвольное значение дисдх — дизду, не зависящее от времени.
Тогда и и и могут отличаться от безвихревого решения уравнения (260) па произвольное горизонтальное движение, которое является хак бездивергентным, злак и стационарным. С этим движением не связана никакая восстанавливающая сила, и оно может оставаться невозмущенным, пока волновая энергия распространяется, как было описано вьппе. Поверхностные волны и некоторые другие волны в жидкости, подобные волнам на границах раздела (равд. 4.1), распространяются в двух измерениях. Развитый в настоящем разделе анализ' подойдет и длв этого случая, если в произведениях (241) 4.
Внктреооие солом и (243) взять два члена вместо трех. Это дает 0 — — - л,'2 в минимуме, — и,'2 в максимуме, В в седловой точке;,Е = д (ЕЕ„ЕЕз)Ед (Л„Л:.), (261) в то время как (246) заменяется нз сЕ.=. ~>о'(2л)с)(у'и( "зехр(с (ю (Л',". й',") 1 — Л,"'х, +О(). (262) где йф определяется ллз (247). Интересно отметить простой нид этих результатов для пзотропных волн, удовлетворяющих зависимостям ю = со (й) при й =- (й', —; — Есс)лЕл и со' (й) = ЕЕ (Ес). (263) При этом условие (247) для й; = йф переходит в условие х, =- Ее (Ес) 1 (йлЕй), х -- (х,' .—, х„'-)'Ес — ЕЕ (й) С (264) подтверждающее, что нолновой воктор имеет направление распространения изотропных волн, энергия которых проходит расстояние Е7 (Ес) 1 за время 1. Аналогично, (261) прпнллмает нид 0 = — ч з!ди (Ес(й)(- 4 л з(дп (Е ' (й)(; Е = Ес 'Ес (Л) ЕЕ' (Ес); (265) 1... 1 н частности, 0 = — О для поверхностных гравитационных ноля.
Наконец, (262) можно записать в виде д= х- ссора,',о' (2лйсо))п') (2л)(гсо" (й1о')(( н х Х ехр (с (со (Лсю) с — Ессмх+ О(), (266) подтверждающем утнерждение, приведенное в начале равд. 3.7 по поводу того, что амплитуды волн при изотропном двумерном распространении изменяются н зависимости от поло'кеяия и времени точно так же, как н при одномерном распространении, но содержат дополнительный множитель х-'". В данном случае выражение в больших круглых скобках, определяющее энергию на радиан в волнах с волновым числом й", играет ту же роль, что г (йо) в равд. 3.7.
4.9. Общая теория осциллирующих ИСТОЧНИКОВ ВОЛН Мы только что воспользовались трехмерным анализом Фурье, чтобы показать асимптотическое поведение однородной линейной системы при свободных колебаниях, являющихся результатом сложного начального возмущения в ограниченной й.9. Общая теория ввзиляирающия автои«иков вияи 437 области. В равд.
4.9 и 4.10 представлено дополнительное исследование вынужденных колебании (волн, возбуждаемых осцпллнруннцим источником с фиксированной частотой юа). Исследование снова ограничивается однороднымн системами, поскольку используется анализ г1)урье.
Лсимптотнческая оценка дается не относительно времени, а относительно расстояния от источника. Мы увидим, что на больших расстояниях распространение происходит так, как описывалось траекторно-лучевь1ми методами: при этом предполагается, что неоднородные системы можно исследовать прн помощи гибридного метода: настоящий анализ мог бы быть использован для построения решения в области умеренных размеров вокруг источника, где неоднородность играет ноболыпую роль, в то время как развитие волн вне этой области можно было бы описать прп помощи теории лучей в неоднородных системах (равд. 4.5).
Излагаемый ниже обэцээй подход дает полезные результаты, касающиеся напра«ленивее распределения волновои энергии, генерируемой источниками, для многих типов волновых систем: не только для систем, проявляющих анизотропную дисперсию (подобно внутренним волнам, которые будут детально обсуждаться в равд. 4.10), но и для изотрапных систем, подобных во:шам на воде, н даже для неднспергнрующих систем, подобных звуковым волнам. В частности, вновь получаются (н обобщаются на другие системы) результаты гл. 1, относящиеся к кохшактным источникам звука, после чего устанавливаются новые результаты, относящээеся к излучению от некомпактных источников внука.
В дальне)пнем упомлнътьпэ выше метод распространяется (равд. 4.12) на волны, возбуждаемыо движущплшсл воздействиями, осциллирующимн с фиксированной частотой иэв. Для их исследования требуется метод, пригодный для анизотропии, так как (какова бы нн была волновая система) движение источника вносит существенную анпзотропию. Случай юа == 0(неосцнллирующии движущийся источник) включает задачи равд. 3.9 и 3.10 и, в частности, позволяет получить оценку распределения волновой энергии, связанной со стационарнгам движением корабля. И наоборот, наш настоящий метод существенно опирается на идею, впервые введенную в конце равд. 3.9.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
