Дж. Лайтхилл - Волны в жидкостях (1132327), страница 95
Текст из файла (страница 95)
(300) Звуковые волнь> дают простую иллюстрацию этих татов. Уравнение доР/дР— с'доР/дх~ ~= / (хы хо, хо) ехР (йоо/) резуль- (301 ) описывает генерирование звука некоторым распределением осциллирующих источников (см. равд. 1.10, где правая часть этого уравнения записана как напряженность источника на единицу объема д~>/д0. В этом случае В = — а>о + о,'/ео, Г/ = с„И> = с;"р„' (302) и поверхность Я является сферой (с центром в начале координат) радиуса о>о/со. Тогда формула (300) для выходной мощности принимает вид Р = 8по (Роса) > ()Р ()с) ~о)о, (303) где величина (( Г ((с)(з)а = (4яо>,'/с,') ' ~ ~ ( Р'()с)(' с/Я (304) представляет собой вначение ! Р (о, осредненное по сферическом поверхности Я радиуса юо/со.
для дисперсиопного соотножения (270). Выходную мощность источника можно получить из (297), умножив величину этого потока энергии на площадь поперечного сечения ( К>о> >хо с(Я трубки лучей, соответствующей элементу дЯ поверхности волновых чисел, и проинтегрировав по Я, что дает ° =8. с ~ ~ ПИ,)(й)~Р(й) Р(дВ/дп)- е/Я (299) (индекс (О), используемый для обозначения точки на Я с нормалью и в определенном направлении Е, здесь опущен).
С учетом (298) эквивалентное выражение для выходной мощности Р, не требующее вычисления нормальной производной, принимает вид 4. Внутренние волна где 1зы= ) ~ > 1(лз з в тз)в>т~е>гзв(лз (306) — суммарная напряженность источников. Тогда выражение (303) принимает вид Р= ~ УгозР>(4лроео), (307) в точности совпадающий с тем, который можно было бы получить при помощи метода равд. 1.6 (при атом и числитель является средним квадратом суммарной напряженности источников).
С другой стороны, в случае распределения с пулевой сузозарной напряженностью источников в выражении Г (Н) при малых )г преобладает член Р(>г) ж йз64(2л) ', где 6;= М(тл зг, йз) А"з е>лг е>лз (308) является напряженностью эквивалентного диполя (моментом распределения источников). Это означает, что (>Р(>г)>з>нж — (юо!со)г >6 >г(2л) о (300) так что (303) сводится к выражению Р = — (64 > г ю1/(12лросе) е (310> точяо совпадающему с тем, которое можно было бы получить при помощи метода равд. 1.7 для областей компактных источников с дальними полями диполей.
Для волновых систем совершенно общего вида распределение источников также нааывается компактным, если Р (я) определено в такой области пространства волновых чисел, размеры Распределение источников является акустически компактным, если они сосредоточены в области, линейные размеры которой малы по сравнению с соеюо. Поэтому фурье-преобразование г' (к) этого распределения будет определено в такой области пространства волновых чисел, размеры которой весьма велики по сравнению с юо>со. Тогда осредненное значение в выражении (304), как правило, близко к значению > Р (О) >з з центре сферы: (> Р (й) >з> > Р (0)>г = (2л) е> )г г>г (305) 449 б.з. Общая теория осцивлирующих источников волн которой весьма велики по сравнению с размерами поверхности Я волновых чисел.
Тогда уравнения (305) и (306) выполняются на Я при условии, что суммарная напряженность источников Дсо, не равна нулю, а выходная мощность (300) имеет величину Р=(8па) '(3/состав) ~ ~ И'о((г) С '(дВ!да) 'ЫЯ, (311) пропорциональную среднему квадрату этой суммарной напряженности источников. Интеграл в (311) представляет собой коэффициент, который для каждой волновой системы нужно оценить только один раз: он не зависит от распределения источников и меняется только в аависнмости от частоты во.
Соответствующая формула для случая, когда ~сос равна яулво, но напряженность эквивалентного диполя (308) отлична от нуля, имеет вид Р=.-(8я') '!6 ~ ~ )с И' ()г)С '(дВ!дв) 'йЯ~; (312) на этот раз интеграл является вектором, который для изучаемой волновой системы можно раз и навсегда вычислить как функцию со,. Для звуковых волн, генерируемых некомпактными распределениями источников, среднее аначение в (303) может значительно отличаться от таких простых оценок. К тому же направ ленное распределение акустической интенсивности У = И~сможет быть сложным; так, ее значение в направлении А, которое задается единичным вектором и, дается выражением (297), где й<" = вос,'и (313) является точкой на Я с нормалью и в направлении возрастания в.
С учетом (302) это выражение принимает вкд 1 =- 2я' (роса) 'х ' ( Р (вос,'и) Г. (314) Для получения искомого направленного распределения (314) обычно достаточно, как описывалось в равд. 1.12, плоского распределения источников, так как его изменение может соответствовать существенно двумерному изменению относительно единичного вектора и.
В самом деле, любое действительно плоское распределение источников, если иметь в виду такое, раамеры которого компактны только е едком направлении (скажем, в направлении х,), удовлетворяет на Я приближенному уравнению Г (й) ж Р (О (со )сз) = (2п)-'Рг (йо> йо). (315) зо-ос во 4. Внутренние геенн С С' Рис.
90. Поверхность постоянной фазы является геометрическим местом точек, определяемых уравнением (3(9). Здесь скалярное произведение )ге а разно длине кернендккулярз О)ч', опущенного на касательную плоскость з точке )сеч Прн етом х равен (скажем) ОХ, причем отрезок ОХ параллелен О)(, а произведение пх длин сохраняет постоянное значение С (таким образом, Х есть «полюс» касательной плоскости). Соседняя позерхность постоянной фазы нредстаеляет собой геометрическое место точек Х', причем отрезок ОХ' снова параллелен Ос). а произведение нх длин сохраняет несколько иное постоянное значение С'.
где г"г ()г„)гз) является двумерным фурье-преобразованием пло- ского распределения источников (е (хз, хз) = ~ г (хы хз, хз) сх!. (316) Тогда (314) принимает вид Г = 9 из(рссз) 'х ')йе(а>зхз)хсс юзхз'хсз)~' (917) причем эта зависимость в принятых индексных обозначениях, как видно, выражает результаты равд. (1.12), относящиеся к плоским распределениям источников, если принять во внимание, что используемое там Гг равно произведению величины 2ггз (рзгю,) г на значение, определенное выше. В зпилоге приводится еще ряд примеров использования общего результата (295) для некомпактных распределений источников. Основным результатом во всех случаях является тот 451 4.10. Волны, ееиеририеиие оециллирующии иеточееикои факт, что нормаль к поверхности ю = — юо волновых чисел в направлении возрастания ю показывает то направление, з котором будут оонаружены волны с определенным волновым числом, и что их амплитуда пропорциональна фурье-компоненте распределения источников с этим волновым числом.
В некоторых случаях интересна также форма поверхностей постоянной фазы 1сш'. х = сопи Г. (318) Так как й<о' есть точка на Я с нормалью и в направлении х, уравнение (318) означает, что х=хп при я=сопз1~(каз и). (319) Таким образом, с геометрической точки зрения любая поверхность (319) постоянной фавы (рис. 90) определяется как взаимная поляра поверхности волновых чисел но отношению к началу координат, т. е.
геометрическое место полюсов ее касательных плоскостей. 4.10. Внутренние волны, генерируемые осциллирующим источником Приведенная выше общая двумерная или трехмерная теория осциллирующих источников волн приводит к результату (290), содержащему кривизну кривой волновых чисел, или к результату (295), выраженному через гауссову кривизну поверхности волновых чисел. Этн уравнения, однако, бессмысленны для некоторых волновых систем, содеряеащих внутренние волны, которые дают название настоящей главе.
Поверхность волновых чисел для внутренних волн с фиксированной частотой о>о представляет собой конус; поэтому в любой точке одна из главных осей кривизны направлена вдоль образующей с соответствующей нулевой кривизной. Следовательно, гауссова кривизна (произведение двух главных кривизн) всюду равна нулю. В этом разделе будут показаны существенные изменения теории осциллирующих источников волн в случае любой волновой системы, где гауссова кривиана поверхности волновых чисел Я тождественно равна нулю; результаты будут проиллюстрированы примером внутренних волн.
Мы отложим, однако, до равд. 4.11 анализ менее радикальных (поскольку они оказываются чисто локальными) изменений, которые неизбежны в случае, когда гауссова кривизна обращается в нуль на изолированном участке поверхности волновых чисел. зэ* 452 4. Внутренние волна Сначала приводятся сравнительно простые результаты, которые справедливы, когда Я является поверхностью наименьшей кривизны, т.
е. плоскостью. Эти результаты иллюстрируются во многих дальнейших разделах. Тем временем отчасти аналогичные результаты для двумерного распространения в случаях, когда Я является прямой, иллюстрируются здесь на примере внутренних волн, вынужденных распространяться двумерно в реаультате того, что они генерируются источником, который однороден в одном горизонтальном направлении (скажем, в направлении у). В силу этого в дисперсионном соотношении (24) ( = О, так что кривая волновых чисел (связывающая (с и т при св = ю,) становится парой прямых.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
