Дж. Лайтхилл - Волны в жидкостях (1132327), страница 94
Текст из файла (страница 94)
е. относительно любой точки на Яе с данными значениями»с, н ка. Тогда интеграл по Л, и Лл можно рассматривать как интеграл по Яех у = — 2л» [ехр (»сост)[ '[ ~ Г (й„й». Ус») [дВ (а»е, Л„Лв, [сауд)с»[ ' »С Бе м ехр ( — »'к»х») с[А» »1$с». (284) Эта формула дает основное выражение длн волн, возбуждаемых в определенном направлении, идущем наружу от осциллирующего источника, причем оно получено в осях координат, повернутых таким обрааом, что это направление совпадает с положительной осью х,. В оставшейся части настоящего раз.дела мы получим дальнейшее приближение для этого выражения прп помощи метода стационарной фазы в двух важных случаях: (») двумерное распространение, когда переменная Лса не входит в формулу (284), а Я является кривой; (В) трехмерное распространение, когда Я является поверхностью, искривленной в двух направлениях (й, и й,); в равд.
4.10 проводится специальный разбор случаев, когда Я либо не имеет кривианы, являясь (ш) плоскостью, либо имеет кривизну только в одном направлении, являясь (1ч) обобщенным цилиндром или (ч) обобщенным конусом (как в случае внутренних волн). Тем 4.9. Обивая вивария оециллирующих иеоеочнинов волн временем мы отложим до равд. 4.11 все частные задачи, связанные с получением оценки вдоль направлений л, являющихся для поверхности Я в некотором смысле исключительными.
В случае (1) двумерного распространения, когда Я является кривой в плоскости (Ан ево), интеграл (284) нетрудно оценить для болыпих х, при помощи одномерного метода стационарной фазы, описанного в равд. 3.7. Фаза — lе,х, стационарна па Яе в любой точке (ело й о ) где е[)с [е[й (285) Вблизи такой стационарной точки ()е",>, я~ау) поверхность Я ь определяется уравнением й, = й" -[ — (~ У.,/с[йв)ил (й,— У'~)о+ О ([й,— У'"[о).
(288) Прн этом метод равд. 3.7 показывает, что асимптотический вклад в (284) от каждой такой точки при больших х, дается выражением — 2п[ [ехр ([вот)] г ([с~о>) [(дВ (соо, [с) едесв)~о>[ ' ехр ( — вес',о'ай) х ; [2л /до[3!сй,'[~о>х,) ~ ехр[ — 4 п[з[дп(с1ай,~дйй)ее~~ (287) (рассмотрение случаев, когда кривизна ~ Рй,я[о, -[ии локально равна нулю, откладывается до равд. 4.11). Теперь для удобства пуокно представить этот результат в виде, пнварнантном относительно поворота осей; при этом его можно будет непосредственно применить в задачах генерирования волн без какого-либо предварительного изменения осей. По отношению к произвольному направлению Ь условие (285) для стационарной фазы показывает, что (9в,', ее'в") является точкой кривой Я волновых чисел, в которой нормаль и имеет направление Ь. В любой точке кривой существует два направления нормали, но, согласно условию (282), определяющему Ял, направление Ь должно быть направлением нормали и к Я, вдоль которой ю возрастает, превышая свое значение ю„принимаемое на Я.
(288) С учетом этого определения можно заменить дВ/д[с, на ВВ[дп. Мы заменим также [ с)Че,!с[)о, '~'" на кривизну н'о' кривой волновых чисел в точке (Л',", [о",') и обозначим фазовый член в (287) вместе с множителем — 1 и последней зкспонентой через ехр (вО), где с1 =- — (1е4) и или — (3/4) я в зависимости от того, обращена ли кривая Я выпуклостью нли вогнутостью к Ь. (289) 444 4. Внун ронино волны В этих обозначениях выражение Р (ь н / «) ((дВ/дп)со») с (8я»/(ясах))ы» х х ехр (с (юо/ — /с,'"хс+ ОО (290) представляет вклад в с/ от любой точки (/но,', /с'",') па кривой волновых чисел при выполнении условия (288).
Заметим, что волны, обпаруясенные вдоль направления У,, идентифицируются прп помо»пи (288) как волны, длл которых 1 является лучом, так как пх групповая скорость дсо,'д/ст имеет направление Л. Аналогично, выражение (290) совместимо с понятием равномерного потока энергии между соседнимп лучани, так как (рис. 89) расстояние между ними меняется с расстоянием х от источника пропорционально к'"х. Полны па воде являются частным прнмером двумерного распространения, когда кривая волновых чисел представляет собой окружность (с н'«', принимающим постоянное эяачгпие усо„'). Мы, однако, отложим использование их в качестве иллсострации до обсуждения корабельных волн в равд.
4.12, где используется (290) в более общей форме, так как движение источника вносит супсествеяную апнзотроппю. В случае (й) трехмерного распространения, когда Я является поверхностью, искривленной в двух направлениях, интеграл (284) оценивается простым обобщением изложенного вьппе метода. Фаза — /с,х, стационарна яа Я в любой точке (/с",', 4',",', /с",'), где д/с,/д/с» — 0 и д/с,/д/с» — О. (291) Вблизи такой стационарной точки разложение /с, в общем случае включало бы не только член с (й« вЂ” /с",')-, как в (286), вместе с соответствусощим членом, содерясащим (/с» — /с',"')«, но также и член с перекрестным произведением (/с« — Й",')«Х х (/с» — /со,,').
Однако, как и в равд. 4.8, мы можем предварительно повернуть осн /с«и /с» (вокруг оси /с,) так, чтобы коэффициент (д«/с,/д/с«д/с«)со~ в перекрестном произведении обратился в нуль. В таких «главных осях кривизны» для Я мы будем иметь /с / й о +, (дЧс /сдй»)со~ (4« lс" )«+ + — (д~/с,,сд/с«) (/с» — /сы)' л- О (~ Лт — /с,'" !'). (292) Тогда асимптотическое представление интеграла (284) распадается па произведение интегралов по /с«и /с . Его значение дается выражением (287), в котором вторая строка повторяется еи/е рав с заменой (д«/сс/д/со)"' на (д»/с /д/с»)'".
4.9. Общая еиеорня ос: иллирующих источников волн Рис. 89. Распространение энергии, происходящее между соседними направлениями нормали к 5. а — двумерный случай: два направления нормали образуют угол к~оЖ, где бв — длина элемента кривой К волновых чисел, а к~о~ — кривизна; интервал между ними иа больших расстояниях я составляет х~о~к бв. б — трехмерньгй случай: конус нормалей к поверхности Я волновых чисел образует телесный угол ~ К'о' ! 49, где 49 — площадь элемента поверхности У. а К~о> — гауссова кривизна этой поверхности; площадь поперечного сечения конуса на больших расстояниях к равна, таким образом, ~ К(о) ( к'49.
В. Внутренние *олин В инвариантном относительно поворота осей виде условие (291) утверждает, что /с',о< является точкой Я, в которои нормаль и имеет направление Л; согласно условию (282), определяющему Я+, это направление нормали должно бьгггп как и в (288), тем направлением, в котором <о возрастает, превышая свое значение <в„принимаемое на поверхности волновых чисел. Но здесь есть н нечто новое, а именно появление произведения (дгй /д/о)<о> (д / /д<о)<о< Х<о< (293) двух главных кривизн поверхности волновых чисел (причем его модуль воаводится в степень — 1/2) при указанном вылив повторении второй строки выражения (287). Это произведение Хаь представляет собой известную меру локальной пскрнвленностп поверхности Я, известную под названием гауссвввд кривизны; ыы отложим до равд.
4.11 рассмотрение тех участков поверхности, где Х<о> =- О. Фазовый члеот в (287), включающий множитель — <, а также член с э)дп и повторяющийся член с з(ап, становится равным ехр (10), где 0 = О, илн — я/2, или — я в зависимости от того, обращены ли выпуклостью к А обе линии кривизны поверхности Я, или одна нз нпх, пли нн одна из них. (294) В таких обозначениях выражение л (/ло~ р<н~ /с о1) [(<7Д/дп)<о~)-< (4пг/(<Х<оЧ ых)) г х ехр(< (<оо/ — /с) х<-и Н)) (298) представляет вклад в в от любой точки (/с',"', /с<,"', й<„'') па поверхности волновых чисел при выполнении условйя (288). Этот весьма общий результат для трехмерного распространения от источника, осциллирующего с частотой юо, идентифицирует волны, обнаруживаемые в направлении Л, как волны, для которых Ь является лучом, так как, согласно (288), вектор групповой скорости д<о/д/св имеет направление 1..
Кроме того, он определяет их амплитуду как произведение фурье-преобразования функции источника Р(й<"), члена ((дВ/дп)<Ч ', зависящего от дисперсионного соотношения (270), и члена 4яо/! Х<м <п~ х, который обеспечивает сохранение потока энергии, так как площадь поперечного сечении трубки лучей, образуемой нормалями к элементарной площадке с<Я поверхности волновых чисел, равна ! Х<'> ! хо дв (рис. 89). Чтобы показать это подробнее, предположим, как и в равд. 4:8, что плотность энергии для волн с волновым вектором )г можно записать как <ч' =)'<о(к) </ ° Ау. Общая теория оециллирующил источников волн Тогда (295) дает направленное распределение волновой энергии в виде И> ~ И> (й(о>) >Р ((с(о>) ~ о ((дВ/дп)(о>)-о (8яс/(!К(о>>хо)) (297) Поток энергии составляет 1 = ИЧУ, где П (ос<о>) является групповой скоростью с величиной С = дсо/дп, которая принимает значение П = — (дВ/дп)/(дВ/дю) (298) Р=8л' ~ ~ Ио()с)(Г(й)(о(/ ' (дВ/до>) ее/Я.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
