Дж. Лайтхилл - Волны в жидкостях (1132327), страница 82
Текст из файла (страница 82)
То обстоятельство, что группован скорость внутренних волн параллельна поверхностям постоянной фазы, означает, что внутренние волны, генерируемые локализованным источником, никогда не могут иметь уже знакомый вид (рнс. 7) концентрических кольцевых гребней с центром в источнике. Вместо этого гребни и другие поверхностп постоянной фазы расходятся по райиусало от источника (рис. 76), так как волновая энергия распространяется вдоль лучей, параллельных этим поверхностям. Для источника с определеняой частотой ю ( Х (равд.
4.1) все эти поверхности направлены под определенным углом О =- агс соз (ы/Ле) к вертикали; поэтому вся волновая энергия, генерируемая в области источника, распространяется под этим углом к вертикали, Таким образом, она распространяется по поверхности двоиного конуса с полууглом раствора О. 4. Внутренние волин Рис. 76. Б1лирен-фотограф>>я волн, генерирте>гмх а стратпфпппрованноп я,идкости с постоянной частотой Бяггг>гггя — Грегита >У колебанинми горпзонталыгого нилиндра с частотой 0,70 Х. Заметим, что погерхностп постоянной фазы расходятся по радиусам сг источника, (сротография д.
Моубрея.) 7!абораторггые эксперименты с внутренними волнами часто проводятся в стратифицированпом соленом растворе с везде. одинаковым вертикальным градиентом солености — у,', (х), дающим постоянную частоту Внйсяля — В>рента г>г. Оптические шлирен-системы очень чувствительны к двумерным изменениям плотности. Рпс. 76 представляет собой шлирен-фотографию картины двумерного (в плоскости снимка) распространения волн, генерируемых вертикальным колебанием с частотой ю горизонтального цилиндра (ось которого перпендикулярна снимку).
Поверхностями постоянной фазы являются при атом плоскости под углом агс сое (юг>*«) к вертикали, образующие, как иногда говорят, «андреевский креста. Фотография, представленная на рпс. 76, хорошо показывает радиальный характер поверхностей постоянной фазы, однако пе показывает их движения. Киносъемка подтверждает, что точно так же, как во всех дви>ггущихся волнах с длиной волны Х, гребни и другие поверхности постоянной фазы движутся перпендикулярно самим себе с волновой скоростью с = д..'.
Введение е аииеоперепную диепереию = ой/(2я), которая для этих волн равна с = (Л'Х/(2я)) соз О. Заметим, что направление этого перпендикулярного движении можно легко предсказать: уравнение (91) показывает, что вернеикальноя составляющая групповой скорости всегда имеет знак, противоположный знаку вертикальной составляющей волнового вектора. Внутренние волны поэтому подчиняются парадоксальному правилу, согласно которому распространение энергии происходит с направленной вверх составляющей, когда движение гребней имеет составляющую, направленную вниз, и наоборот. На рис.
76, например, движение гребней, перпендикулярное им самим, направлено вниз в верхней половине снимка, где энергия распространяется вверх, и направлено вверх в нижней половине, где лучи направлены вниз. В любой момент времени можно видеть только одну или две длины волны, так как, когда гребни пройдут совсем небольшой путь, они уже.
покинут андреевский крест (размеры которого сравнимы с размерами цилиндра), в пределах которого заключена вся энергия. Величина гругшовой скорости (91) определяется выражением // = Л/ ( и ( (/е'+ /е + те) ' = (/ЧХ/(2я)!з1п О. (95) Сннусоидальная зависимость от угла 0 мея<ду поверхностями постоянной фазы и вертикалью означает, что групповая скорость стремится к нулю для тех вертикальных колебаний жидкого столба, которые могут иметь место при самой частоте. Вяйсяля — Г>рента. Наоборот, любые очень медленные колебания прн ое (( Л' вызывают почти горизонтальные двюкения, энергия которых распространяется почти горизонтально с групповой скоростью Л'Л/(2я), пропорциональной расстоянию Х между соседними (почти горизонтальными) гребнями. Пропорциональность групповой скорости величине Х при любом заданном О означает, что, когда локализованное возмущение ограниченной продолжительности уенернрует волны различных длин Х и частот ео, волны, которые будут обнаружены в определенном направлении О через время / (конечно, с частотой ю = Л' соз О), должны разойтись пропорционально длине волны; действительно, волны с длиной Х пройдут расстояние.
(/ЧЛ8/2я) з1п О, пропорциональное самой величине Х. Соседние. гребни находятся на расстоянии Х; поэтому угол между гребнями равен (96). (2я/(Л/Г)) созес О с вершиной в источнике. Тот факт, что этот угол не зависит. от е., согласуется с тем, что гребни радиальны. Заметим также, е Внутренние ее>ни Рис. 77, П!вирен-фотографии волн, гснсрируеных непродолжительным горвзонтальныи переиещенпси кругозого цилиндра через )0 секунд (а) н через 25 секунд (В).
Зачетны. что угол между гребнями уисньшается со временем и з каждый момент времени приникает наиГ>ольз>ее значение для ближайших н зертнкалн гребней. (Фотсграфвн Т. Стнзенсока.) что угол (96) между гребнями уженсшаетсл св временем, начиная с момента, когда возникло возмущение, н что в каждый момент времени оп принимает наибольшее значение для ближайших к вертикали гребней. Рис. 77 демонстрирует все эти свойства, показывая волновуа> картину в два различных момента времени после того, как волны первоначально были возбуждены непродолжительным перемещением цнлппцра в стратнфицпрованноы солевом растворе. Для более детального ознакомления с количественной стороной анализа этого явления надо обратиться к равд. 4.8. Мы завершаем этот раздел доказательством того, что для синусондальных волн д = а ехр (г (шс — й>х> — )с,хз — >сзхз)1 (97) в любой однородной анизотропной спстеъге групповая скорость (85) является скоростью распространения элертки.
Достаточно доказать, что равны нх составляющие в направлении оси х,; очевидно, что для этой самой обгцей системы доказательства равенства составляющих по х, или составляющих по хз могут быть получены нз первого заменой индексов. Нам требуется, таким образом, доказать, что составляющая по х, скорости распространения энергии равна дш)д)с„т. е.
скорости изменения ш по )с> при сохранении йз и )с повтояннзьии. а.о. Оащая теория нноележиеания луча Эти последние слова и в самом деле подсказывают очень простое доказательство. Если в системе фиксированы значения йа и йа (составляющие волнового вектора, перпендикулярные направлению х1), она практически становится одномерной системой, для которой величина д пропорциональна ехр (1(М вЂ” йтхт)) и дисперсионное соотношение, связывающее ю и 7е„одномерно.
В этом случае проходит доказательство, приведенное в конце равд. 3.8, с заменой й и и иа йт и х,; каких-либо других изменений не требуетсн. (Например, так как 700 и йо остаются фиксированными, йт теперь следует заменить выражением Й1 (00)— — (1/2) 1(110; (ю).) В конечном итоге оказывается, что скорость распространения энергии, перпендикулярная плоскости х1 = = О, равна дю1дйт при постоянных й, и йа, что, по определению, является частной производной да!дйт. Таким образом, в однородных анпзотропных системах свойства вектора групповой скорости (включая его тождественность скорости распространения энергии) язлятотся прямымн обобщениями свойств скалярной групповой скорости, присущих изотропным системам. Наоборот, в следующем разделе мы покажем, что волновая дисперсия в неоднородных анизотропных системах проявляет свойства, которые ни в каком случае не являются простыми обобщениями свойств изотропного поведения.
4.5. Общая теория прослеживания луча Мы подходим сейчас к центральному разделу всей книги: разделу, описывающему общую теорию прослеживания луча в неоднородных анизотропных диспергирующих волновых системах. Этот раздел центральный потому, что: (1) он содержит как частные случаи многое иа того, о чем уже шла речь вытпе: теорию неоднородных одномерных систем (равд. 2.6 и 3.8), теорию прослеживания луча в геометрической акустике (равд. 1.11 и 2.14) и теорию однородных систем в иаотропных (равд.
3.6) и анизотропных случаях (равд. 4.4); (Н) в нем излагается довольно просто общая теория, которая находит много приложений к различным волновым системам, рассматриваемым в настоящей главе н в первой части эпилога; кроме того, эта теория развивается дальше, включая взаимодействие с установившимися течениями (равд. 4.6 и 4.7); она содержит некоторую дополнительную информацию, которую может дать анализ Фурье (равд. 4.8 — 4.11), и учет нелинейных эффектов (вторая часть эпилога).
Настоящая теория по аналогии с равд. 4.4 исследует волны, которые стали настолько диспергированными, что в них волно- 25-01100 4. Внутренние вввнт вой вектор медленно меняется в масштабе длины волны. В однородной системе это дает возможность использовать для таких волн (уравнение (76)) обычную форму д = Р (хм х„хэ, ~) ехр (си (х„х„ха, с)), (98) которая с высокой точностью является локально синусондальной; фаза и в (98) удовлетворяет уравнениям ди/дхс = — ссс, да!д~ = ю, (99) а локальная частота со и волновое число ссс связаны дисперсионным соотношением (81).
Та же самая форма (98) для этих волн остается пригодной и в неоднородной системе при условии, что свойства жидкости, определяющие дисперсиопное соотношение (яапример, Л' и св), меняются в пространстве тоже медленно в масштабе длины волны. В этом случае волны локально будут приближенно синусоидальными с волновым числом ссс и частотой ы, которые определяются соотношениями (99), однако со задается для данного сс; в виде, который такясе меняется с координатой х,; фактически дисперсионное соотношение принимает вид (ны ню нн, хы хю хв).
(100) Кроме того, локальная скорость распространения энергии должна иметь приближенно значение асс = дю(д(сп (101) которое, как мы только что показали, она принимает для точно сипусоидальных волн. Выражение (101) имеет, однако, смысл, несколько отличный от (85); в силу (100) оно представляет собой скорость изменения со по (сс прн сохранении постоянными не только других компонент волнового числа, но также и полохсенил (х„ х„ хв). В этом фиксированном поло'кении для волн, которые приближенно являются синусоидальными и удовлетворяют локальному дисперсиопному соотношению, выражение (101) дает с хорошим приближением скорость распространения энергии. В неоднородной системе мы можем ожидать (равд. 3.8), что волновая энергия, распространяющаяся с групповой скоростью (101), будет испытывать рефракцию, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
