Дж. Лайтхилл - Волны в жидкостях (1132327), страница 83
Текст из файла (страница 83)
е. изменения волнового числа вследствие неоднородности. Наоборот, частота со должна оставаться неизменной; действительно, анализ Фурье показывает, что в любой системе, удовлетворяющей линейным уравнениям, коэффициенты которых не зависят явно от времени, не может происходить энергообмена между различными частотами. Эти ожидания подтверждаются следующим простым анализом. ЗВ7 б.б.
Общая теория праелеяеиеапия луча Используя (99), чтобы записать (100) в виде да/дг = ю ( — дсе/дх„— дсг/дхю — да/дхэ, х„хю хг), (102) мы сначала продифференцируем это уравнение по х;. Результат представляет собой почти то же самое, что и уравнение (83), но включает один дополнительный член; наряду с тремя членами, содержащимися в (83) и появляющимися вследствие изменения йы /гг и /гэ прн изменении х;, существует дополнительный член ды/дхо появляющийся вследствие прямой зависимости го от х; при постоянных Ры /гг и йе. Таким образом, С учетом (99) и (101) уравнение (103) можно записать в виде дг+ дд д (104) /г; по врет.
е. в точ- Здесь левая часть представляет скорость изменения мени в точке, движущейся с групповой скоростью (/Ы ках, удовлетворяющих уравнениям г(хт/Ю = 7/т. Вдоль таких траекторий, следовательно, г(/с,/гМ = — дю/дхо (105) (106) Уравнение (106) определяет рефракиию волновой энергии, т. е. скорость изменения волнового числа вдоль траекторий (105), проходимых со скоростью распространения энергии 0'ы одним словом, вдоль лучей, Уравнения, определяющие эти в общем случае криволинейные лучи, примут более симметричную форму, если записать (105) в виде г(х;Ые = +дго/д/ге а затем (И) воспользоваться уравнениями (106) и (107), чтобы убедиться в том, что для реальных скоростей изменения правая часть уравнения (108) равна нулю. Мы теперь сделаем краткое отступление по поводу аналогий с другими областями исследований.
Читатели, знакомые с классической динамикой, могут узнать в уравнениях (106) н (107) гь* (107) Доказательство того, что частота ю, как мы н ожидали, остается постоянной вдоль луча, следует при этом, если: (1) выписать скорость изменения величины (100) по времени при произвольных скоростях изменения /г; и х; в виде йгг/ое = (дю/д/г,) (дЯ;/гее) + (деэ/дх;) (г/хе/Йе), (108) 4. Внутренние волна характеристическую форму (симметричную, за исключением знакаминус в (106)) уравнений Гамильтона для консервативной динамической системы.
Эти уравнения записываются через функцию Гамильтона Н (Р1е Р»~ ° ° 1 Рн~ Ч1~ Ч»~ ° ° .~ Чн)1 (109) которая представляет собой полную энергию системы (кинетичоскую плюс потенциальную), выраженную через обобщенные координаты Ч„Ч„..., Ч„и соответствующие обобщенные импульсы р,, р„..., р,; уравнения Гамильтона имеют вид др;(сИ =. — дН(дци дЧ;~ао = дН!др; (110) для 1 =- 1, 2,..., и. Уравнения (106) и (107) имеют точно такой ке внд нри и = 3 и при Фи х, и о», заменяющих ро Ч; и Н. (111) Более того, проверка с по»юшью уравнения (108) факта постоянства ю вдоль луча является точным аналогом проверки того обстоятельства, что для любого решения уравнений движения (110) полная энергия Н остается постоянной. Одно, отчасти очевидное, следствие аналогии (111) состоит в том, что трн декартовы координат11 хе, для «пакета» волновой энергии, движущегося вдоль своего луча, соответствуют обобщенным координатам Ч; в динамической системе; в самом деле, эти х; являются естественным выбором обобщенных координат, описывающих положение волнового пакета.
Два других менее очевидных следствия состоят в том, что волновое число й~ соответствует обобщенному импульсу р, (112) и что частота ю соответствует энергии Н. (113) Однако читатели, знакомые с квантовой механикой, поймут утверждения (112) и (113) как часть «принципа соответствия». В квантовой механике специально подчеркивается тот факт, что частицы ведут себя подобно волнам, а именно волнам, волновое число которых йе и частота оэ, умноженные на некоторую постоянную й, дают импульс и энергию частицы. И обратно, здесь мы подчеркиваем, что волны ведут себя подобно частицам (движущимся вдоль лучей); действительно, волновой пакет иаменяет положение и волновое число в соответствии с уравнениями (106) и (107), которые могут рассматриваться как уравнения для «частицы», соотношение между энергией и импульсом Ф.б. Обилен теория прослеживания луна 389 которой в каждом попожепии точно соответствует соотношению между частотой и волновым числом (дисперсионному соотношению) для волн.
Этим завершается краткое отступление, к которому в конце книги мы еще сделаем небольшое примечание. Однако, может быть, следует отметить, что система шести дифференциальных уравнений первого порядка (106) и (107), описывающая движение волнового пакета вдоль лучей и рефракцию волновой энергии, обладает многими практическими полезнымн свойствами уравнений движения частицы, в частности возможностью быстро вычислить решения при заданных начальных значениях х; и )ео Существенное отличие настоящей теории от соответствующей теории для одно. черных неоднородных систем состоит в том, что уравнение во = сопз1 вдоль луча, (! 14) полученное выше из (108) и справедливое в равной степени для одномерных систем (рис. 64), имеет различный смысл в этих двух случаях. В трехмерных системах одно уравнение (114) никак не может заменить три уравнения (106), описывающие рефракцию волновой энергии. В соответствии с этим нельзя проследить луч, зная только его направление (уравнения (107)) и используя правило (114).
Это оказывается возможным для одномерных неоднородных систем (равд. 3.8), где (107) и (114) представляют собой два уравнения для двух неизвестных й и л. Однако для трехмерных систем уравнений (107) и (1'14) недостаточно, поскольку они представляют собой только 4 уравнения для 6 неизвестных )е, и х; (1 =- 1, 2, 3). Таким образом, в общем случае лучи определяются системой уравнений шестого порядка (106) и (107), и эти уравнения, самое большее, можно свести к системе пятого порядка, если использовать (114).
Следует также заметить, что уравнения (106) и (107) уже имеют такой вид, который позволяет испольэовать стандартные машинные программы решения обыкновенных дифференциальных уравнений, чтобы быстро получить их решения при больвтом наборе различных начальных условий. В этих вычислениях уравнение (114) моокет иметь огромное значение для проверки точности. Прослеживание лучей имеет большое значение не только потому, что оно дает информацию о пространственном распределении волнового вектора Йм но таниное и потому, что вдоль лучей распространяется волновая энергия; поэтому прослеживание лучей можно использовать для того, чтобы найти распре-' деление амплитуды волн.
Понятие чтрубок лучей», уже введен- 390 е. Вмумереммие еоммм ное в равд. 1Л1 и широко использованное в равд. 2.14, часто является прекрасным средством, позволяющим это сделать. В диспергнрующих системах метод трубок лучей мок<но использовать каждый раз, когда исследуются волны фиксированной частоты ю. Такой случай может возникнуть либо тогда, когда все волны в системе генерируются колебаниями с фиксированной частотой ы, либо тогда, когда уже проведено разлояеепне в ряд Фурье по частоте. Для волн с фиксированной частотой волновая картина стационарна по времени.
Поэтому уравнение дИудг + т7 ° 1 = О, (115) связывающее для общей диспергирующей системы плотность волновой энергии и поток волновой энергии 1 =- И'С, (116) сводится и уравнению ту (ИЧ)) = О, (117) из которого следует, что 1 образует соленондальное векторное поле. Уравнение (117) можно записать через площадь поперечного сечения А тонкой трубки лучей (образуемой лучами цилиндрической поверхности, к которой вектор групповой скорости 1), само собой разумеется, всюду касателен).
В этом случае оно принимает вид И'(7А = сопз1 вдоль трубки лучей. (118) Физически это выражает сохранение энергии, проходящей вдоль трубки, через вариации плотности волновой энергии Иг, величины скорости распространения энергии О' и площади сечения трубъя лучей А, Для неднспергирующнх систем этот метод упрощается тем, что трубки лучей одинаковы для всех частот. Например, для звуковых воли, удовлетворяющих (88) при се, являющемся функцией координат хь уравнения (106) и (107) для лучей принимают вид д7е;~М = — ()е' + )е, '+ Ме)~Гедсо~дхь е)х,/й = с~)е, ()ее + (е,' + )е,')-'/е, (119) и если задана какая-то лучевая картина для одного фиксированного значения ю, то та же самая лучевая картина долгина удовлетворять уравнениям (88) н (119) и при ю, й„й, и йю умноженных яа одну и ту же постоянную.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
