Дж. Лайтхилл - Волны в жидкостях (1132327), страница 105
Текст из файла (страница 105)
Описываемые акустические волноводы представляют собой трубы с жесткими стенками постоянного поперечного сечения А. о. йнутпренние еолнн В качестве иллюстрации мы часто будем использовать случай, когда А является прямоугольником О< у< Ь, О<з<Ь, Ь<Ь. (472) Во всех случаях ось х выбирается вдоль трубы. Звук фиксированной частоты может переноситься вдоль трубы не только посредством строго одномерного распространения, когда р, = а ехр!о (юо — йх)), где «о = сой, (473) но также и посредством собственных колебаний волновода дормлlдро + дзрмл7дзо +оРмлсо'рмк = О, где юмк = — юо — Ь со~ (475) (476) оно удовлетворяет также граничному условию для трубы с жесткими стенками, если рмл имеет нулевую нормальную производную на стенке.
Для поперечного сечения А существует двоякобесконечная последовательность собственных функций р»«н (р, з),таких, что каждая удовлетворяет уравнению (475) со своей «собственной частотой» юмл, а также удовлетворяет этому граничному условию. Полагая (477) роо (д з) = » «эоо (постоянная собственная функция с нулевым собственным значением), мы можем рассматривать (473) как частный случай выражения (474) при М = Л' = О. Например, когда А является прямоугольником (472), эти собственные функции и собственные частоты имеют вид рмк (у, г) = соз (Мяуй) соз (Л'яз/Ь), (478) еэомк = соя« (М»Ь о + Де«Ь о) (479) В случае произвольного поперечного сечения А собственные частоты представляют собой частоты, которые являются резонаяснызои для двумерных волн со скоростью со в области А.
В теории разложений по собственным функциям доказывается, что для любого А собственные функции представляют собой полную сися«аз»у ортозональных функций. Это означает, что р, = ам„ехр И («ог — Ьх)) рм„(у, з). (474) Выражение (474) для р, удовлетворяет волновому уравнению, если Е И. Во«наводи любую функцию 7' (у, г) можно разложить в ряд (о 1(у, г) = ~ ~' (мырмп (у г) »<=а «=а где коэффициенты (мк определяются из уравнения ~ 1(у, г) рмн (у, г) <1у Иг = Смп«мп; (480~ (481~ здесь См»< —— ~ ~ «рмп (у, г)«г<«у де. А (482) Формула (481) получена нз (480) в результате почленного интегрирования с учетом свойства ортогональности, согласно которому интеграл по А от произведения двух раашчных рмп равен нулю.
Полнота означает, что любую функцию 1 (у. г) в А можно представить в виде (480), где коэффициенты ~мы определяются указанным способом. В частности, для собственных функций (478) прямоугольника имеем (1/4) А, когда М и <<< отличны ст нуля, Смп= (1<2) А, когда талька одно вз вих ратно нулю, (483) А, когда и ЛХ, и <«' равны нулю, где А = Ьй — площадь прямоугольника; при атом разложение (480) является двойным рядом Фурье. Уравнение (476) показывает, что волны в волноводе могут распространяться только при частотах <а ) <емп.
Поэтому если е<ю — наименьшее положительное собственное значение <а»<н, то распространение звуковых волн при частотах, меньших <е<в, ограничивается недиспергирующей модой <<Х = Л' = = О, т. е. строго одномерным движением (473). Например, в прямоугольнике (472) уравнение (479) дает <а = саяЬ-<. Как покааывает (476), все другие моды (настоящие волноводные моды) диспергируют. Для << ) 0 это дает положительную фазовую скорость е<й = с<<а (<а' — а<мы) (484) преессходлщую скорость звука с,.
Однако волновая энергия переносится вдоль волновода с полон<ительной групповой скоростью Пмн = <«<а«У< = (о«««а) = с»<а (ю' — <амп) ~ (486) которая всегда х<еньше са. Когда частота уменьшается до <шороговой частоты» <амп, ниже которой волны не могут распространяться, групповая скорость (485) стремится к нулю. й, Внупьренние волне Интересно понять, каким обрааом источник с частотой ао генерирует волны с амк ( а„и только такие волны. Уравнение (301) для суммарного распределения источников, записанное через избыточное давление р, и текущие координаты (х, у, х), принимает вид с,"~д~р !ВР— '9'ор = Г(х, у, е) ехр ((а г). (486) Если функцию ~ (х, у, х) разложить по формуле (480), то у будет функцией х, которую мы представим в виде интеграла Фурье [мк(х) = ~ Рмк(Й) ехр( — Гйх) ~й. (487) Тогда решение уравнения (486) будет иметь внд )1 Г рмк (е) ехр 0 (аьо — ен)),ц м=о к=о ',О (488) где Вмк (а, Й) = — а с,' + Й + аякс,' (489) Рчя (й) ехр [( (Ооо — ЙнЦ дВмк (ао, )о)/до при Й=+с,')(ао — а к) (490) прн произвольных а и Й представляет собой коэффициент, на который умножается выражение (474) при подстановке его в левую часть уравнения (486).
Подинтегральная функция в интеграле (488) не имеет полюсов на действительной оси Й, если амк ) ао, в таком случае этот интеграл на больших расстояниях от источника становится зкспоненцнально малым. (Для больших положительных х, например, мы доказываем зто (равд. 3.9 и 4.9), опуская путь интегрирования в комплексной плоскости Й.) Физически это значит, что энергия всего движения в моде рмк сосредоточена вокруг источника. Если амк ао, то волны, распространяющиеся от источника, молоко определить посредством оценки выражения (488) с учком условия иалучения. Для болыпих положительных х при атом выбираются полюсы подинтегрального выражения с положительным Й, соответствующим тем волнам, для которых групповая скорость (485) положительна. Таким образом, асимптотическое представление интеграла в выражении (488) имеет вид е.1а.
ВюлггюаюдЫ 507 Подставляя это значение в (488) для всех колебаний с частотами вмк ( ва, получаем ггмя [аа (вю вмя) ~ ) Ра = Яг Х ~лл Рмя Ь з) а-г (вг — вг )цг Х югмга(ага х ехр ([ [вюг — (в, '— вмгя) ыз хс,'[). (491) Заметим, что амплитуда каждой моды в выражении (491) стремится к бесконечности (если Рмк (О) не обращается в нуль), когда в, 1 вмя. В теории, пренебрегающей диссипацией, это и следовало ожидать при приближении к резонансной частоте.
Интересно выписать волновую энергию Ъг'мя на единицу длины волновода в одной из мод (474). Она получается интегрированием величины р,'с,'р,' по площади поперечного сечения А. (Произведения двух различных собственных функций Рмя (У з) не дают вклада в волновую энергию в силу их ортогональности.) Используя интеграл (482) от функции [р я (у, з))г, получаем И мгч 2 и Ра Смгч (ва вгяи) [ Лмя [са (ва вмя) [[ (492) Скорость передачи волновой энергии в этой моде получается в результате умножения (492) на групповую скорость (485).
Суммируя полученное выражение для всех колебаний, распространяющихся в направлении положительных х (моды с гг ) О), и складывая с аналогичным выражением для колебаний с га О, распространяющихся в направлении отрицательных х, получаем выходную мощность источника Р 2 язра саега ~ '~~ Смя (ва вми) Пмк (вю) (498) "мичеа где имя (ва) = [ьми [сю (ва вмк) [! + + [р и[ — с,'(в,' — вмя)"'[[г. (494) При приближении к резонансу (вю 1 вмя) полученная выходная мощность (493) становится бесконечной (снова если Рмя (О) ча О).
Мы видим, что этот факт аналогичен случаям, описанным в конце равд. 4.12; там, где скорость распространения энергии (485) стремится к нулю, флуктуации давления вблизи области источника возрастают (поскольку волновая энергия высвобождается очень медленно) и могут экстрагировать большую энергию от источника. 4. Внутренние ванна При любой частоте еоа ( во выражение (493) не содержит членов, характерных для волновода; строго одномерный член, соответствующий М = вт' = О, дает ~'Ро'соса,'Соо()Р«о (с,'ваа)!'+ !«оо ( — со'вао) !') (495) Из уравнений (477) и (482) вытекает, что С„= А. Для компактных источников (размер области определения которых мал по сравнению с сова,') выражение (495) принимает вид = и Ра сааЧ Соа ! « оа (О)! ~ где, согласно (481) и (487), выражение Ю (496) 2яС»«Г«а(0)=С»о ) 7«а(х)ах=- ~ сех ~ ) ((х, у, г)дуаег (497) Р = уа (1) /(4я р,со); (499) по существу, это основывается на том, что границы волновода находятся при этом в «дальнем поле» (на расстояниях от источника, больших по сравнению с со/а»о).
Приближение (499) для представляет амплитуду суммарной напряатенности источника, обозначавшейся в гл. 1 через д. Поэтому если ввести среднее значение квадрата массового расхода истечения уо, то выходную мощность (496) можно записать в виде Р =- — р,'соА 'да. (498) Значение (498) совпадает с результатами для «одномерного источника», приведенными в равд.
1.4, где, однако, исследовались звуковые волны, излучаемые только в одном направлении флуктуирующим источником с массовым расходом д (Г) в этом направлении. Выражение (498) соответствует сумме мощности, излучаемой одномерно в направлении положительных х флуктуирующим массовым расходом (1/2) д (~) в этом направлении, и такой же мощности, излучаемой в направлении отрицательных х переменным массовым расходом (1/2) д (~) в этом направлении. 7)юбой компактный источник в волноводе излучает в соответствии с одномерной теорией и, следовательно, с частотами, меньшими во . И наоборот, можно ожидать, что при очень больших частотах источник будет излучать, как в неограниченной жидкости, с выходной мощностью, определяемой (разд. 1.4) выражением 4.1З. Вввиввввы выходной мощности говорит о том, что в таком предельном случае источник производит диффузное излучение, которое скачет вперед и назад вдоль трубки без заметного изменения условий вблизи источника.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
