Дж. Лайтхилл - Волны в жидкостях (1132327), страница 109
Текст из файла (страница 109)
[Стивенсон вывел эти уравнения и построил точки (х, э) для трех фиксированных аначений ф (45', 70' и 80 ) при переменном О, в каждом случае получив пренрасное согласование с экспериментально наблюдавшимися им формами поверхностей постоянной фазы.[ 11.
Найти квавиодномерные «волноводвые>моды распространения волн в воде, заполняющей канал постоянной ширины Ь (с вертикальными стенками) и глубины, превышающей Ь. Определить фавовую и групповую скорости для каждой из них. Твердое тело, симметричное относительно центральной плоскости канала, может вращаться вокруг вертикальной оси в этой центральной плоскости.
В момент 1 = О оно начинает совершать вращательные колебания с частотой ю и махой амплитудой относительно указанной вертикальной оси. Показать, что колебания с частотой ы могут впервые достичь некоторого большого расстояния 1 от тела в момент времени, приближенно равный 1=2ыэ Ч (1 — я>е>Ь эы-«) >/э, если ю ) (лу)>>>Ь->/>, или, в противномслучае, не достигнут его совсем. Акустический волновод с жесткими'стенками имеет постоянное поперечное сечение в форме квадрата О < у < Ь, О < э < Ь. Мембрана громкоговорителя в точке [О, (1/2) Ь, О) вовбуждает своими колебаниями флуктуирующий объемный расход тт ехр (1ыз). Мембрана компактна (мала по сравнению с с/ю). Покавать, что величина Рмэ>(й), определенная согласно (481), принимает независимое от /« значение Рмт« = (2пСьгм) > 1ырэт> соз (Мп/2) для всех волновых чисел, которые может возбуждать мембрана.
Определить отсюда флуктуации давления, порождаемые как для Упражнения н главе 4 525 больших положительных, так и для болыпих отрицательных значений х. Аналогичная диафрагма расположена теперь в точке (!, ((/2) Ь, О), Она порождает своими колебаниями флуктуирующий объемныл расход вгг ехр (еюе). Показать, что специальный выбор отношения тг/ги, приведет к тому, что флуктуации давления обратятся в нуль при больших положительных а (появляясь иа самом деле только при больших отрицательных х) для всех частот вплоть до некоторого предела, который нужно определить.
В целях увеличения диапазона частот, для которых громкоговорители порождают звук только в направлении отрицательных а, в точке (О, (1/2) Ь, Ь) устанавливается другая аналогичная мембрана, порождающая объемный расход тг ехр (р и), в то время как в точке (Д ((/2] Ь, Ь) находится еще одна мембрана, порождающая объемный расход жг ехр (еюе). Показать, что при больших положительных х флуктуации давления исчезают теперь для всех частот вплоть до значения, вдвое превышающего предыдущий предел.
ЭпилОГ Часть !. Различные типы волн в жидкостях В гл. 4 мы описали несколько важных понятий и методов, которые могут применяться для изучения любой системы волн, описываемой линейными уравнениями, даже если она является анизотропной и диспергирующей. Мы также основательно исследовали одну такую систему — систему внутренних гравитационных волн в стратифицированной гкидкости.
Объем этой книги, как объяснялось в прологе, не позволяет провести подобное основательное рассмотрение всех систем воли в жидкостях. Однако он поаволяет очень кратко описать в этой части зпилога различные типы анизотропных и диспергирующих систем волн и указать, как они могут быть исследованы методами гл. 4. Аналогичное краткое описание некоторых важных нелинейных эффектов в диспергирующих системах см. в части 2.
Здесь обсуждаются такие волновые системы, в которых распространение воамущений определяется действием возвращающей силы, принадлежащей к одному из двух типов, ранее в атой книге не рассматриваемых: силы Кориолиса для вращающейся жидкости и магнитных сил для злектропроводкой жидкости. Оба типа систем имеют одну общую интересную особенность: их свойства могут быть поняты в рамках представления о силовых линиях поля, движуигихся вместе с жидкостью. В курсах по динамике однородной жидкости покааывается, что вихревые линии движутся вместе с жидкостью (если не считать некоторой диффузии завихренности, обусловленной вязкостью). Существует аналогичный результат, состоящий в том, что магнитные силовые линии движутся вместе с жидкостью (если не считать некоторой диффузии магнитного поля, обусловленной электрическим сопротивлением).
В обоих случаях распространение зависит от движений жидкости в волне, которые деформируют или невозмущенные параллельные вихре- Часть е. Равяичные типы ввян в жидкостях 527 вые линии во вращающейся жидкости, или невозмущенные магнитные силовые линии в проводящей жидкости. Другая общая черта двух систем состоит в том, что, хотя возможность лабораторного воспроизведения таких волновых движений ограниченна, их первостепенная важность связана с геофизикой, В особенности это относится к влиянию вращения Земли на океанические и атмосферные течения и к влиянию ее магнитного поля на движения в ионосфере и в жндкометаллическом ядре Земли.
Поле завихренности ьв в равномерно вращающейся жидкости принимает постоянное значение ьво = (З () ьсо) равное удвоенной угловой скорости вращения (здесь считается, что вращение происходит относительно оси 2). Боли пренебречь вязкой диссипацией, то в случае однородной жидкости вихревые линии движутся вместе с жидкостью. Это означает, что любое малое поле скоростей и (отсчитываемых относительно равномерного вращения) вызывает изменение вихря со ско- ростью д д — гоги=ос — н, о дс (2) мы получаем до до чтзн яо н дОо о дсо (5) пропорциональной скорости изменения н вдоль вихревой линии.
Более общепринятый способ вывода фундаментального уравнения (2) для поля скорости — это применение операции гоь к линеаризованному уравнению количества движения роднФГ= черо Роеоо Х н. (з) Здесь р, — распределение любого давления, избыточного по отношению к тому, которое необходимо для противодействия центробежным силам в равномерно вращающейся жидкости, а последний член — сила Кориолиса, связанная с любым движением со скоростью н относительно этого равномерного вращения. После того как уравнение (2) выведено каким-либо из этих способов, дисперсионное соотношение для волн во вращающейся жидкости находится в реаультате повторного применения операторов, содержащихся в левой части уравнения (2).
Так как для соленоидального векторного поля и го2го$н = — ч72н, (4) 528 Это простое дифференциальное уравнение в частных производных должно удовлетворяться каждой составляющей и по отдельности. Очень глубокая аналогия между зтим уравнением и соответствующим уравнением для внутренних волн наглядно проявляется в полученном дисперсионном соотношении. Решение вида плоской волны и = и, ехр (1 (Ы вЂ” /гх — 1у — тз)1 удовлетворяет уравнению (5), если ег' = Йгтг/(/л + Р + т') Таким образом, частота ег зависит только от направления, по не зависит от величины волнового вектора и может принимать любые значения, меньшие Й, (точно так же, как в случае внутренних воли, но с заменой У на Й,).
Соотношение (7) может быть записано через угол О между поверхностью постоянной фазы и осью з (осью вращения): ю= Й,зшО,' (О) что и на зтот раз совпадает с формулой для внутренних воли, но с заменой соз на з1п. Групповая скорость 1) = (дгз/д/г, дог/д1, де/дт) (9) для положительных ю/т может быть записана как (10) где член в квадратных скобках является единичным вектором. Так же как и в равд. 4.4, замечаем, что зта скорость переноса знергии волн направлена параллельно поверхностям постоянной фааы; действительно, она перпендикулярна волновому вектору и лежит в плоскости, обрааованной нм и вертикалью. Величина групповой скорости для волн длины Х может быть ааписана в виде (11) У = (ЙгХ/(2к)) соз 8. В противоположность атому поверхность, образованная гребнями, и другие поверхности постоянной фазы движутся перпендикулярно самим себе со скоростью волны с = (егХ/(2п)) = (ЙгХ/(2л)) зш О.
(12) Равенства (11) и (12) опять имеют такой же внд, как в разделе 4.4, если заменить Х на Йг и соз на з1п. Однако для волн во вращающейся жидкости составляющие волнового вектора 529 Часть Г. Раэличныс типы волн в жидкостях и групповой скорости по оси з имеют одинаковые знаки, поэтому составляющая переноса энергии по оси вращения имеет то же направление, что и аксиальная составляющая движения гребня.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
