Дж. Лайтхилл - Волны в жидкостях (1132327), страница 112
Текст из файла (страница 112)
Раеяичние тики еоян в жидкостях 5о7 принимает характерное для вакуума значение 1,26 10-' Тл'. ° П '.и'). Получающееся магнитное давление, 10 е Н'и' пли 10 з бар, мало по сравнению с давлением газа в нижних слоях ионосферы, известных как область 1) и расположенных на высоте от 80 до 100 км. С другой стороны, давление газа сравнимо с величиной 10 е бар в области Е (высоты около 130 км), тогда как в области Г (выше 180 км) давление газа много меньше магнитного давления. Поэтому может быть очень интересным исследование совместного распространения альвеновских и звуковых воли как в случае, когда сл и с„сравнимы, так и в случае, когда альвеновская скорость намного превосходит скорость звука. В таком исследовании используются липеаризованкые уравнения неразрывности и количества движения для сжимаемой жидкости вместе с лннеарпзованным представлением р- (В„У — ~7 (В,.В)) (34) магнитной силы (28) и уравнением (31) для скорости изменения В.
Мы опустим подробности и дадим только выводы. Уравнение для параллельной силовым линиям магнитного поля составляющей скорости ш имеет решение в виде плоской волны: и =- ш, ехр (с (со1 — )сх — 1у — тх), (357 где )с + В = (сои — с'т ) (сох — сдта) [(с' -г сЦ сох— — с,'с~ать) '. (36) Уравнения для составляющих скорости (и, и), порпендикулярных силовым линиям, более слоя'ны, но опи упрощаются, если ограничиться двумерными операциями дивергенции и ротора для этого двумерного поля скоростей: Лы = ди)дх+ ди7ду и йы = ди!дх — ди(ду. (37) Величины Лы и Огг единственным ооразом определяют поле скоростей (и, и), стремящееся к нулю на больших расстояниях.
Из двух величин (37) Лм удовлетворяет соотношению Лы =1(т — озхс„'т ') ив, ехр (1(сое — )сх — )у — тх)), (38) так что ее изменения связаны с изменениями дш(дг (в действительности прямо пропорциональны им). Напротив, Пег удовлетворяет независимому уравнению дх1) /31' =- с~лдхц lдг'. (397 Уравнение (39) означает, что х-составляющая завихренности Я|г распространяется одномерно вдоль силовых линий Элиаса аа52 1,5 1 1,О 0,5 0,5 1,5 Рис. И2.
Поверхности волновых чисел Я для магнитогидродпнампческях волн в сжимаемой жидкости, имеющих скорость звука са и альвеновскую скорость ая. Магнитное поле направлено по оси х. По ося абсцисс отложена т, составляющая волнового вектора по оси а, по оси ординат (йа + Д)г/'. Точки с пометкой М суть точки перегиба, которые дают начало каустикам. Погда са/аа принимает отмеченные значения 1, 1,5, 2, 3 и «о (соответствующие ая/ар —— — 1, 2/3, 1/2, 1/3 и О), показаны поверхности с волновым числом, отнесенным к юа/са. Однако когда аа/аа превышает 1, принимая отмеченные значения 1, 1,5, 2, 3 и ос, показаны поверхности с волновым числом, отнесенным к юа/ся. (РЫ1.
Тгапв. Воу. Яос.) магнитного поля с яльвеновской скоростью са. Другими словами, сжимаемость не исключает такого одномерного распространения; оно просто ограничивается в этом случае х-составляющей завихренности. Поверхность волновых чисел (36) при распространении ш и Лгт показана на рис. 112 для различных значений сь/с„ лежащих между О и 1. За исключением предельного случая несжимаемой жидкости (сл/с, — ь 0), движение волны вдоль нормалей к этим поверхностям волновых чисел всегда порождает 539 Часть 1.
Раеличиае тики волн в жидкостях распространение возиущений со и Лы, излучаемых источником во всех трех измерениях. Когда эти возмущения становятся полностью изолированными от одномерного распространения Пы, движение, передаваемое вдоль силовых линий, должно быть чисто поперечным и соленоидальяым. Ясно, что при малых величинах са'со поверхность волновых чисел Я состоит по существу иа сфер радиуса ю'с„отвечающих изотропному распространению звуковых волн.
и пары плоскостей, отвечающих совершенно независимому одномерному распространению с альвеновской скоростью. Однако при больших величинах, таких, как са'со = — 1!2 распространение со скоростью, близкой к ся, происходит в конусе с углом полураствора 4,7', границей которого является каустика, исходящая пз точки перегиба на рнс. 112, хотя распространение со скоростью, близкой к сю и является еще почти изотропным. Заметим, что, поскольку со и сл входят в уравнение (36) для 8 симметричным образом, поверхность снова принимает ту же форму и при ся >св.
Таким образом, форма Ь' для значений 113, 1~2, 2 3 и 1 величины со)сл такая же, как показано па рис. 112, если за единицу волнового числа вмосто о>о(ся взято сов!со. Предельный случай больших сл'со представляет значительный интерес и может иметь отношение к распространению в области ионосферы г. В этом случае поверхности волновых чисел превращаются в сферы радиуса ото'сл, отвечающие изотропному распространению с альвеновской скоростью сю и в пары плоскостей (40) ш == ~совс,-', отвечающие одномерному распространению со скоростью звука Такая неожиданная возможность однолсерного распространения звука может быть понята с учетом того.
что в этом случае натяжение силовых линий магнитного поля намного превышает давление газа. Прн этом оказывается возможным строго одномерное распространение в смысле гл. 2: звуковые волны могут бежать вдоль аффективно жестких трубок, образованных туго натянутыми силовыми линиями магнитного поля. Продольный характер волны виден из того факта, что в силу уравнений (35) и (38) величина Лы стремится к нулю, тогда как в согласии с уравнением (39) величина Птт распространяется с гораздо большей альвеновской скоростью. Тогда в самой звуковой волне они обе равны нулю, так что и н и стремятся к нулю, а ненулевой является только составляющая скорости в направлении движения со.
д и из се Если сх!с„велико, то частоты, излучаемые источником, могут быть слишком низки (при данных размерах источника), чтобы породить какие-либо возмущения, распространяющиеся со скоростью сх (т. е. сферические волны, переносящие Лы, или одномерные волны, переносящие ()ы). Волны, порожденные таким источником, могут быть только вышеупомянутыми звуковыьш во;шами, распространяющимися в одном измерении вдоль эффективно жестких трубок магнитного поля. Даже в кратком описании волн в ионнзованном газе необходимо упомянуть о существовании различных недиссипатквных эффектов, заставляющих отойти от идеального уравнения (27) для проводящей жидкости. Среди них мы выберем тот, который в первую очередь становится обычно существенным при увеличении частоты волны, а именно аффект Холла. В ионизовапном газе электроны из-за своей чрезвычайно малой массы дают пренебрежимо малый вклад в скорость газа и, определяемую как среднее локальное значенио количества движения на единицу массы.
Однако плотность электрического тока ) в газо зависит от электронов (с зарядом — е и, например, плотностью числа частиц п,~), движущихся со скоростью — )'(еп,~) относительно положительных ионов. В частности, если положительные ионы и нейтральные частицы имеют одипаковую скорость и, то скорость электронов составляет пы = и — 77епы' (44) С другой стороны, силовые линии имеют тенденцию двигаться не с газом в целом, а с электронным газом, поэтому уравнение (27) заменяется на уравнение (42) дВ7дг = го$ (п,1 Х В). Это объясняется тем, что инерция электронов пренебрежимо мала при рассматриваемых частотах.
Стало быть, если пренебречь также эффектами столкновений, дающими вклад в электрическое сопротивление, то средняя сила, действующая на электроны, — е (Е + п,1 у: В), равна либо нулю, либо члену, содержа1цегау градиент электронного давления, который не влияет на величину го1 Е. В любом случае уравнения (41) и (42) заменяют выведенное ранее уравнение (27). Обнаружено, что эффект Холла, кратко описанный выше, нарушает одномерное распространение поперечных движений вдоль силовых линий магнитного поля, происходящее со скоростью волны сю и превращает его в коническое распространение, ограниченное конусом с углом полураствора агсз(в (о>ре/Ввел.,). Часть е. еэееинейные эфйсеата В противоположность этому на другое одномерное распространение (происходящее со скоростью звука сь, когда она мала по сравнению с сл) эффект Холла не влияет.
Эта продольная форма одномерного распространения может, таким образом, существовать и при более высоких частотах, чем поперечная форма. В этой первой части эпилога было дано очень краткое описание различных типов волн в жидкостях. Это было сделано главным образом для того, чтобы показать широту круга проблем. Подробное описание любого из упомянутых типов волн смотрите в книгах, на которые даны ссылки в библиографических комментариях. Часть 2.
Нелинейные эФфекты при распрастранении диспергирующих ВОЛН Под нелинейными эффектами распространения волн мы понимаем любые особенности реальных волновых движений, которые не могут быть воспроизведены при линейном анализе, т. е. при анализе, не учитывающем квадратов возмущений. В основной части этой книги (гл. 1 — 4) нелинейные эффекты описываются только для недиспергнрующих волн (равд.
2.8 — 2.14), преимущественно для звуковых волн, а также для длинных волн в каналах. Прн изучении нелинейных эффектов есть веские причины отдать предпочтение нвдиснервирующим волнам, для которых они могут принимать такие впечатляющие формы, как ударные волны и гидравлические прыжки; при этом, как показано в равд.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
