Дж. Лайтхилл - Волны в жидкостях (1132327), страница 116
Текст из файла (страница 116)
Усредненная плотность лагранжиана принимает вид :с (ы, )«, ц, з), где т~ =- — дФ)дт, (88) что приводит к системе из двух уравненийЛЭйлера Неустойчивость волн умеренной амплитуды обнаруживалась тогда и только тогда, когда отношение длины волны к тлубине Л/л было меньше 4,6. Перейдем теперь к волнам, для которых значения параметра Л!Ь лежат в диапазоне (прнмерно) от 40 до 20; иногда их называют «весьма длинными волнами».
Так как дисперсия этих волн мала, хотя ей еще нельзя полностью пренебречь, то в этом случае применима нелинейная теория распространения длинных волн, описанная в гл. 2, если внести в нее сравнительно небольшие изменения. Для таких «весьма длинных волн» (с 7»й ( 0,63) хорошей аппроксимацией взятого из линейной теории значения скорости волны с = (д/с-»сЫсй)'/» (90) служат два члена его тейлоровского разложения, т. е. формула с= сэ ($ — — Й»Й») (9$) $ тде с« = (дя)М«. Для волновых систем с небольшой дисперсией отклонение скорости волны от постоянного значения с«давае- 557 згаслзь 2, Неыиыейны«эффекты мого линейной теорией, часто описывается таким членом с /сз.
Это означает, что волны, распространяющиеся в положительном направлении оси х, близки к решениям уравнения до/дз + сзди/дх + од~э/дхз = О, (92) здесь о — постоянная, принимающая для «весьма длинныхз волн значение о= з сз«« (93) Эти замечания подсказывают, как нелинейную теорию одномерного распространения волн (гл. 2) можно видоизменить для изучения систем с малой дисперсией, такой, что соответствующая линейной теории скорость волны равна с, — о/сз при волновом числе /«. В гл.
2 приращение скорости волны, обусловленное нелинейпостью, обозначалось через и, и для описания недиспергирующих нелинейных систем использовалось уравнение дэ/дс + (с, + о) ди/дх = О. (94) (Для длинных волн э = (3/2) и, где и — скорость жидкости.') Объединив идеи, выражаемые уравнениями (92) и (94), чтобы учесть малые изменения скорости волны, вызванные как нелинейнымн, так и дисперсионными эффектами, получим знаменитое уравнение Кортевега — де Фриза дэ/д«+ (с, + и) дэ/дх + одзи/дхз = О, (96) которое в конце девятнадцатого века было предложено этими авторами для изучения весьма длинных волн.
С тех пор оно применялось ко многим нелинейным волновым системам с мачой дисперсией, Иногда используется координата Х = х — с«7, чтобы перейти в систему отсчета, движущуюся с основной скоростью волны сз (гл. 2). Тогда уравнение принимает вид дс/дз + сдс/дХ + одзи/дХз О (96) Хотя теория решений уравнения Кортевега — де Фриза (96) очень обширна, она изложена в настоящей книге менее подробно, чем нелинейная теория волн на глубокой воде; отчасти это вызвано тем, что уравнение, в котором игнорируется диссипация, сравнительно менее пригодно для случая мелкой воды, когда существенно трение о дно. Здесь в центре внимания будут наиболее важные изменения выводов гл.
2, связанные с наличием дисперсии. В уравнении (96) существенность нелинейного члена иди/дХ по сравнению с дисперснонным членом одзи/дХз зависит,от безразмерного параметра идУ/о, где и, — наиболыпее нрира- 558 Эвилоа щение скорости волны, а ь — характерное значение длины волны. В силу формулы (93) этот параметр пропорционален величине аьз/йз (97) поскольку и,/с, пропорционально отношению амплитуды волны а (определенной так же, как в формуле (49)) к средней глубине й.
Решения уравнения (96) показывают, что когда этот параметр аьз/йэ достаточно велик (больше, чем примерно 16), то сдвиговое искажение волнового профиля, обусловленное не- линейностью, может прогрессивно увеличивать крутизну переднего фронта волны (фаза сжатия) в точности как описано в гл. 2. Обсуждение возникающего в результате гидравлического прыжка будет продолжено ниже.
Напротив, для значений аУ/йз, меньших 16 (например, при "ь/й = 12 и а ( (1/9) й), оказывается возможным установление равновесия между дисперсией и процессом увеличения крутизны волнового профиля. Действительно, при указанных условиях снова могут существовать периодические волны неизменной формы, что обьяспяется равновесием между этими двумя аффектами. Грубо можно представить себе осуществление такого равновесия следующим образом. Если «основная» (самая низкочастотная) фурье-компонента волнового профиля есть а, соз йх, то первая гармоника а, соз 2йа распространяется благодаря дисперсии более медленно. Очевидно, что ее отставание по фазе соответствует появлению отрицательной гармоники з)п 2йх.
С другой стороны, легко показать, что сдвиговому искажению основной фурье-компоненты соответствует появление положительной гармоники зш 2йл. Это наводит на мысль, что возможно взаимное сокращение появившихся синусоидальных гармоник, а это приводит к решению типа бегущей волны с неизменным волновым профилем. Более строго, мы ищем такое решение с помощьюподстановки до/д~ = — о,дг/дХ (98) в уравнение (96).
Здесь оз является скоростью волны всистеме координат (Х, г); следовательно, скорость волны в исходной системе координат (х, г) равна с, + о,. Решения полученного обыкновенного дифференциального уравнения легко находятся. Их совокупность состоит из отдельного бесконечного семейства решений типа периодических волн и одного предельного решения.
Решения типа периодических волн называются кноидальными волнами, потому что они имеют форму квадрата эллиптической функции Якоби сп; зто обстоятельство было Часть 2. Нелинейные еффекты 559 4/а 3 Рис. Иб. Профили квоидзльных волн с длиной Л и амплитудой а из воде глубины Ь длв жести значений «ЛЕ/ЬЗ:0 (синусоидзльнзв волна), 3, б, 9, 12 и 15. Снизу таким же обрезом варисов»на уединеннзл волна, когда ее аффективная длина Л определяется тзк »ко, кзк в равенстве (100).
э=9пс),с)т) 2 (пе/о)"'Я вЂ” п»1)Я (99) Оно описывает не периодическую волну, а распространение одного изолированного «горба» неиаменной формы. В первой половине девятнадцатого века Скотт Рассел экспериментально обнаружил, что такая «уединенная волна» при надлежа|цим образом подобранных длине волны, амплитуде и глубине воды моя<ет распространяться практически без изменений (кроме очень медленного затухания, вызванного трением о дно). Позднее Релей нашел решение (99), прежде чем оно вошло в общую полезным, когда они впервые были вычислены, хотя и не существенно при наличии современной вычислительной техники.
Профили кпоидальных волн изображены на рис. 116. Для малых значений аЛ»/лз нелинейность вызывает малые отклонения от сииусоидальной формы. Когда аЛ»/Ьз увеличивается, в начальной стадии хорошо видна первая гармоника (когда гребни становятся острее, а впадины глубже), а за ней следуют гармоники более высокого порядка. При аЛ»//ез = 15 периодический цуг волн почти вырождается в последовательность изолированных «горбов», разделенных плоской водной поверхностью. Благодаря этому факту кап«ется менее удивительным (чем оно могло бы) существование знаменитого предельного решения уравнения Кортевега — де Фриза (96): Эпилог приближенную теорию весьма длинных волн, принадлежащую Кортевегу и де Фризу.
Можно утверждать, что уединенная волна обладает длиной Л, имея в виду не пространственный период, а длину промежутка, на котором подъеМ поверхности воды превосходит, скажем, 3% своего максимального значения. В этом смысле Л =- 4 (Ыиэ)ч~'аг сЬ ((0,03) Ч~), что дает аЛтЙэ =- 16. (100) РоПИ (Й вЂ” ЙоИ4Й~). у = (дй, (Й~ + Й,)!(2Й~))г/' (101) Здесь (102) есть скорость распространения прыжка в спокойную воду. Гидравлический прыжок, интенсивность которого (Йт — Йэ)(Й, меньше, чем приблизительно 0,3, сопровождается лишь незначительным вспениванием (если оно вообще возникает), но за ним следует цуг периодических волн со стационарными относительно прыжка гребнями.
Мы исследуем их сначала с помощью линейной, а потом нелинейной теории. Вода, следующая за прыжком, движется относительно него со скоростью, равной в силу закона сохранения массы СЙз(Й,. По линейной теории эта величина должна равняться скорости волны, т. е ~1Й,~Й,,=, (дй г 'ь)) ЙЙ,)'l', где Й = 2яЛ, (103) На рнс. 116 уединенная волна (нижняя кривая) изображена с использованием этого значения длины волны. По виду она похожа на предельный случай кноидальных волновых профилей.
Таким образом, влияние дисперсии может противостоять увеличению крутиапы волнового профиля, пока параметр аЛЧЙз не достигнет предельного значения (100). Если он выше этого предельного значения, волновой профиль не может быть неизменным. На практике передний склон волны становится, как описано в гл. 2, все более крутым, обраауя гидравлический .прыжок. Теперь мы наконец можем более исчерпывающе рассмотреть гидравлический прыжок, чем в равд. 2.12, и в особенности необходимость с определенной скоростью избавляться от энергии в процессе его распространения. Для прыжка, в котором глубина воды увеличивается от постоянного значения Й, до другого значения Й„требуемая скорость потери энергии на единицу ширины составляет 66$ йаеень е.
Нелинейные вффенти если Х вЂ” длина находящихся позади прыжка волн со стационарными относительно него гребнями. Скорость оттока их энергии назад по отношению к гребням, т. е. отнесенную к единице ширины величину (45), можно приравнять требуемой скорости потери энергии (101). По линейной теории это дает для волн с амплитудой а соотношение р (/д (Ье Ье)в/(4Ье) = реваз(ее/Ье/Ье) (1 — 2ЬЬе (зй 2ЬЬе) е). (104) Численное решение уравнений (102) — (104) дает результат, который с точностью до 2 значащих цифр имеет вид ЬЬ, = 3 ((Ь, — Ь,)/(2Ь,)Р/е, а/Ь~ = 3-'/' (/ее — Ье)/Ьо (105) Таким образом, предсказывается, что амплитуда а составляет примерно 0,6 высоты прыжка Ь, — Ье. Среднее значение наблюдаемых амплитуд близко к 0,6 (Ьг — Ье), но их индивидуальные значения распределяются довольно случайным образом от 0,3 (Ь, — Ье) до 0,9 (Ь, — Ье).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
