Дж. Лайтхилл - Волны в жидкостях (1132327), страница 115
Текст из файла (страница 115)
распространяющихся в одном измерении, когда свойства волны (волновое число и амплитуда) меняются очень плавно в масштабе длины волны. В нелкяейной теории по-прежнему предполагается, что можно, как и в равд. 3.6, определить локальную фазу а таким образом, чтобы она плавно возрастала между последовательными гребнями на 2л (хотя волновой профиль может быть совершенно отличным от синусондальяого).
Тогда, как и прежде, определения ю и л дают оэ = да/дг, й = — ди/дх. (64) Теперь рассмотрим тот самый интеграл (56), к которому применялся принцип Гамильтона, но выберем Г,, 1„х, и х, так, что интегрирование производится по длительному промежутку времени и по всей группе волн. Предположим, что везде, где параметры в масштабе длины волны меняются медленно, волна очень похожа на периодическую волну, в которой локальные значения оэ и х определяются по формулам (64). Тогда в выражении (56), в котором лагранжиан Ь интегрируется по очень большому числу длин волн и по очень большому числу периодов, его можно заменить в каждой точке соответствующим Часть л. Нелинейные э44екты 551 средним по длине волны;.или по периоду,аначениемо а имвнно .е (со, /с).
Тогда интеграл (56) принимает вид х, ~ Ю ~ Х(до/~дг, — дех/дх) с(х. (65) ь х,'"' Интеграл (65) стационарен для обращающихся в нуль в граничных точках вариаций а тогда и только тогда, когда выполняется условие Эйлера (66) Уравнение (66) — это фундаментальное' уравнение Уизема для одномерной нелинейной дисперсии. Его можно самым непосредственным обрааом толковать как вазон вохрянвния волнового действия д,ев/д/ == — дЯ/дх, (67) выразив входящие в него величины через плотность волкового действия (60) и поток волнового действия: , Я = — дХ/д/с., (68) С другой стороны, око может быть испопьаовапо для получения закона сохранения энергии дИг/дт = — д//дх, (60) где поток энергии имоет вид / = — содХ/сй.
(70) Это выражение получается потому, что формула (62) дает для плотности полной энергии волны 2Иск — л соотношение И' = содХ/део — Х, (71) так что в силу равенств (66), (64) и (70) В частном случае гравитационных волн на глубокой воде эти уравнения для плотности н потока волнового действия и энергии упрощаются, потому что (рд)-'Ж/г" является, как показывает рис.
113, функцией от юь/я/е. Из этого следует, что /е дХ/д/г+ — со дХ/дсо = — 2Ж, ' (73) 552 Э из аког а это значит, например, что: поток энергии 1 может быть выражен через приведенные яа рис. 113 величины в виде 1 О с ~2Х+ — со дУ(доз) = с (2Х+ И'») = с (ЗИ'» — 2И'р). (74) 1(роме того, поток энерии (45), переносимый назад по отноше- нию к гребням, равен сИ' — 1 = с (ЗИ'р — 2И"к). (75) Эта формула использовалась для того, чтобы изобразить на ряс. 113 (штриховая линия) в безразмерной форме дР (рЬЪ' = д (ЗИЪ вЂ” 2И'») lрс' (76) — волнообразующую мощность цилиндра длины Ь, движущегося со скоростью У в перпендикулярном его образующим направлении и создающего волны, имеющие скорость с = 'г', без диссппации энергии за счет вспенивания.
Здесь максимальное значение 0,0200 отвечает равному 0,02рЬРз(д критическому значению волнообразующей мощности (илн волнового сопротивления Ри, равного 0,02 рЬГЧд), выше которого должно существовать вспенивание волн вблизи цилиндра. Соотношение между волновым действием н энергией для волн, распространяющихся по движущейся со скоростью Г жидкости, будет несколько иным. Теперь лаграяжиан движения, происходящего относительно невозмущенного течения, зависит от обобщенных координат, которые в периодической воляе мох но выразить через х (смещение по отношению к певозмущенному течению) формулой (77) д„= („(ыг — )г (Гг + х)).
Это дает (78) д„=(е> — »Р) 7„' = еь(„', где ю „— относительная частота, определенная в равд. 4.6. Соответственно в выражении для плотности действия (61) получаем, что о~,дХ!доз равно среднему значению д„дЕ(дд„, которое есть 2И'», т. е. удвоенная кинетическая энергия волнового движения относительно невозмущенного течения. Для особого случая бесконечно малых волн она равна И~„что дает для плотности действия формулу й И',/в,. (79) Тогда можно показать, что фундаментальный закон сохранения волнового действия (66) для систем, свойства которых плавно Часть 2.
Нееинейные еедфекты меняются в масштабах длины волны, имеет интерпретацию„ использованную в равд. 4.6. Однако даже если никакого невозмущепного течения нет, закон сохранения волнового действия ясно показывает, каково. влияние нелинейности на дисперсию волн. Здесь мы приведем только одно такое указание. Раскрывая значения проиаводных в уравнении (66) для случая, когда ы и ес удовлетворяют соотношениям (64), мы получаем уравнение второго порядка для фазы а де.й д'а деХ д'а деХ д'а — — — 2 — — + — — =О, десе дп дес дв д~ дк дйе дне (80) коэффициенты которого являются функциями от первых производных (64). Среди подходов к этому хорошо изученному уравнению мы отметим следующий.
Рассмотрим волны, созданные колеблющимся с определенной частотой юс осциллятором, находящимся в точке х =- О. Предположим, что амплитуда его колебаний отличается от большого постоянного значения на очень малую величину, которая периодически изменяется с частотой 6, намного меньшей, чем сес. Это дает условия на осцилляторе — при х = 0— в виде а = сосс, дсидх = — /сс + е ехр (сгб), (81) где к — один из корней квадратного уравнения ~инск' + 2Х~кекб + 2:~~об' = 0 (83) Эти корни могут быть действительными или мнимыми. Их вычисление на базе приведенных выше данных показывает, что для гравитационных волн на глубокой воде они действительны при а ) 0,054 Х и мнимы при а ( 0,054 Х.
Когда они являются мнимыми, комбинация решений вида (82), которая удовлетворяет граничному условию (81), имеет вир, а = ы„с — й„х + (6-' зЬ бх) з ехр [1 (г — х~Т„-')6[. (841 где частота да)де принимает постоянное значение ео„тогда как амплитуда, а следовательно, и волновое число — да/дх, модулируются с частотой б. Отклонение фазы а от линейного значения юс~ — йся с точностью до первого порядка по е должно удовлетворять.
уравнению (80), коэффициенты которого заменяются на постоянные Уыы„Х ьс и Ханс, равные значениям трех вторых производных от У при со = сос и ес = есс. Решением является линейная комбинация выра'кений ' ехр [1 (16 — хк)1, (82) Э»и»о» Здесь С« — «эффективная групповая скорость» (скорость распространения амплитудной модуляции), даваемая формулой ~7« = — ~»»а(~а»» (85) з р — скорость экспоненциальяого усиления модуляции с расстоянием, даваемая формулой ге~5 = (атее«~»»« — Уа»ю)"~ Лу»»о. (86) Наличие гиперболического синуса в формуле (84) указывает на то, что периодическая волна с конечной амплитудой а ( ( 0.054 Л на глубокой воде слабо неусл»ойчива в том смысле, что чем дальше продвигается волна, тем резче выраженной становится ее медленпая модуляция, Неустойчивость исчезает при амплитудах выше а = 0,054Л. Когда корни уравнения (83) являются действительными, фаза (84) все еще остается решением задачи, но величина, определенная равенством (86), становится чисто мнимым числом.
Тогда модуляция распадается па две модуляции с постоянными и равными интенсивностями, которые распространяются с двумя различными «эффективными групповыми скоростями» Г, и (у„определяемыми соотношениями »б а 6+ ! 1 ~ б«б ' ~7«б (()! (87) В своих ранних работах по вариационному методу Уизем указал, что одним из влияний нелинейности па дисперсию может быть такое «расщепление групповой скорости». Как показывает рис. 115, в интервале амплитуд а ( 0,054Л эффективная групповая скорость 0» является медленно возрастающей функцией, лишь немного превышающей значение 0,5«»»И„' предсказываемое линейной теорией; параметр 2лб'«р76 возрастает до максимального значения 0,7 и потом спадает до пуля. Этот параметр есть логарифм отношения глубины модуляции для точек, соответствующих последовательным максимумам амплитуды волны, расстояние между которыми равно 2лУ»!б.
Таким образом, величина 0,7 означает, что глубина модуляции, связанная с определенным (движущнмся) пином амплитуды, удвоится приблизительно к тому моменту времени, когда осциллятор породит следующий пик амплитуды... Интересно, что при амплитуде, превышающей а = 0,054Л, одна модуляция распространяется с эффективной групповой скоростью б ю близкой к значению, даваемому линейной теорией, в то время как другая малая модуляция этой основной воляы, обладающей значительной амплитудой, перемещается вперед с существенно большей эффективной групповой скоростью Уп Часть е.
Нееикейаае аффекты 1,5 1,0 0,5 0,025 0,05 0,075 а/Х У ис. 115. Волны, порожденные осциллятором, колеблющимся с фиксированной частотой шеи с амплитудой, отклоняющейся от большого постоянного аначения на малую величину, которая изменяется периодически с частотой Ь, намного меньшей юе. Построен график скорости экспоненциального усиления модуляции р с расстоянием вместе с аффективной групповой скоростью Уе как функции амплитуды а. При амплитуде, превышающей а = 0,054 7., эффективная групповая скорость расщепляется на дае (Уг и Г7е), тогда как р спадает до нуля. Был проведен ряд более сложных расчетов, связанных со слабой неустойчивостью волн умеренной амплитуды ва глубокой воде.
Когда глубина модуляции увеличивалась настолько, что коэффициенты в уравнении (80) менялись существенным обрааом, зти расчеты указывали на измененную форму модуляции. Грубо говоря, гребни тех волн, амплитуда которых максимальна, движутся вперед быстрее остальных, что уменьшает длину волны перед фронтом амплитудяого пика и увеличивает ее за ниы.
Тогда энергия переносится вперед быстрее за фронтом и медленнее перед ниы, что приводит к сильно локализованноыу усилению амплитудного пика. За конечное время он приобретает заостренную форму, и тогда предположения теории (о плавно меняющейся амплитуде) нарушаются. На практике зто ограничивает рост амплитудного пика: ряд расче- тов предсказывает, что он возрастает от своего начального значения на 24 — 57%. Рост медленной модуляции волн умеренной амплитуды был впервые экспериментально продемонстрирован в работе Бенджамена и Фейра. Было обнаружено, что на поздних стадиях развития (после достижения гребнем заостренной формы) наблюдаются сложные изменения кривой модуляции.
Напротив, те модуляции, которые были недостаточно плавными, яе растут. В современных, улучшенных теориях дисперсии в плотность латранжиана (52) вводится дополнительный член, пропорциональный квадрату от градиента амплитуды, и они дают намного лучшее согласие с этим и аналогичными экспериментами. Уизем развил также вариационный метод для волн на мелкой воде. В нем потенциал скорости может содержать медленно меняющуюся апериодическую часть Ф, соответствующую среднему значению, градиент которой дФ/дх = з представляет собои среднее значение скорости горизонтального течения, создаваемого волнами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
