Дж. Лайтхилл - Волны в жидкостях (1132327), страница 114
Текст из файла (страница 114)
стоянием от вершпны таким образом, чтобы могло удовлетворяться соотношение (46). На рис. 113 изображены графики зависимостей от )са безразмерных форм энергии волны на единицу площади И' - (И)!вИ'йз = (И) ' Й'к)(,'+ (И) ' И'г)с' (50 и ее составляивцих кинетической и'потенциальной энергий И'к и Игю Здесь, как обычно, )с = 2яй, так что )гошев = 0,444. Мы видим, что волны обладают не" 1олько максимальной амплитудой, но и максимальной энергией (этот максимум достигается в действительности при немного меньшей амплитуде, когда ка = 0,429).
При энергиях выше этого значения начинают действовать дополнительные механизмы диссипации энергии, характеризуемые появлением пены (ебараптков») вследствие захвата вбздуха водой. Вместо того чтобы исследовать это разрушение целостности пойерхности воды при превышении плотностью энергии волн определенного значения, мы исполвзуем свойства, на которые указывают рис..113 и 114, чтобы предложить некоторую общую теорию: Эта теория применима к лйбой консервативной системе, 547 Часть я, нелинейные эфу<екте допускающей однонаправленное распространение, при котором периодические волны могут существовать для любых значений волнового числа из некоторого заданного интервала (здесь Х ) 0,1 и, чтобы можно было пренебречь поверхностным натяжением) и для любой амплитуды из друго~о заданного интервала (здесь 0 а ошах).
Рис. 113 показывает, что хотя в линейной теории кинетическая и потенциальная энергии И"к и И'р на единицу площади с необходимостью равны, нелинейные эффекты заставлягот их тем не менее отличаться друг от друга. Разность (52) 2' = И'к — И7г вал'ность которой,как могло бы показаться на основании рис.113, незначительна, дает ключ к более широкому пониманию нелинейных эффектов в диспергирующих системах.
В формуле (52) рукописное Х используется для ооозначения нлетн<кти лагранжиана. В курсах по механике показывается, что свойства любой консервативной механической системы могут быть целиком описаны с помощью уравнений Лагранжа через лагранжиан 5. Он по определению есть разность кинетической и потенциальной энергий системы, рассматриваемая как функция ее обобщенных координат д„и их производных по временп д„(обобщенных скоростей). Принцип Гамильтона устанавливает, что уравнения Лагранжа эквивалентны вариационному принципу, а именно: интеграл по времени от лагранжиана (53) <, стационарен прн любых малых вариациях обобщенных координат, рассматриваемых как функции времени, если их вариации на концах <, и 1, временнбго интервала равны нулю. Мы кратко они<нем распространение этой теории на волновое движение в консервативной системе. Мы ограничимся исследованием одномерного распространения в пространственно однородной системе, хотя теория легко обобщается и на случай распространения в двух или трех измерениях, а также на системы, свойства которых в масштабе длины волны меняются плавно.
Для описания системы волн мы будем использовать дискретные обобщенные координаты д„, которые, однако, являются теперь функциями лик времени 1, так и расстояния х в направлении распространения. Лагранжиан 5= А (д„, дд„/д1, дд„/дх) = Ь (д„, д„, д,',) (54) зь Э залог определяется теперь как разность между кинетической энергией и потенциальной энергией, отнесенная к единице длинен Он зави- сит не только от д„и их производных по времени о„, но также и от о„' — их производных по пространственной переменной. Бак и в классической механике, потенциальная энергия не должна зависеть от обобщенных скоростей д„, тогда как кинетическая зноргия является однородной функцией второго порядка от этих скоростей. Это означает, что кинетическая энергия на единицу длины всегда может быть записана в виде (55) — Ч„'д5)г)Ч„.
Теперь принцип Гамильтона требует, чтобы иктеграл 1, х, ~ а~ Т.~х (56) х, был стационарен при малых вариациях д„(~, х), обращающихся в нуль в граничных точках 1 = 1п 1, и х =- х„х,. Так как адесь У вЂ” лагранжиан на единицу длины, то это вырая;ение, каь и выражение (53), является интегралом по времени от лагранжиана. Для применения теории к исследованию периодических волн иногда бывает удобно взять интеграл (56) по одному периоду и по одной длине волны. Можно показать, что в этом случае вариационный принцип продолжает оставаться справедливым, если на вариации о„просто наложить требование быть периодическими с этими же периодом и длиной волны.
Таким образом, из всех волновых движений с данными периодом и длиной волны в действительности осуществляется движение с таким волновым профилем, для которого интеграл (56), взятый по длине волны, стационарен. Это то же самое, что сказать: средняя плотность лагранжиапа Х (усреднение проводится по длине волны) стационарна.
В чисто линейной теории это может означать только то, что У равно нулю. Действительно, все энергии являются в линейной теории в точности квадратичными функциями от всех параметров возмущения. Следовательно, если каждое из д„ заменить на (1+с) д„(особенно простая малая вариация), то Х заменится на (1 + е)'Х. Зто изменение может быть нулевым только тогда, когда Х сама равно нулю; зто знакомый по линейной теории результат: средние значения потенциальной и кинетической энергий равны. Заметим, что. нелинейная теория может предсказать единственную волну с данной длиной )' и периодом Х)с. Например, Часть г'.
Неоиоейнае *ффекты рис. 113 означает, что при заданной Х выбор с (в определенных пределах) фиксирует амплитуду, а следовательно, и форму волны, Однако энергии в нелинейной теории могут зависеть н от вторых, и от более высоких степеней координат. В соответствии с этим требование равенства нулю стационарного значения У отсутствует. Для периодической волны все обобщенные координаты должны иметь впд о„= 7„(оог — йх), (57) где, как обычно, А = 2лй, оо = 2яс)). (58) Тогда величина, стационарная для реальноговолновогопрофиля, может быть записана в виде га Х(оо, )о) =(2л) ' ~ Ь((„(а). о>(;,(а), — 7о7'„'(оо))да, (59) 'о т.
е. как среднее от лагранжиана (54) по фазе со== оМ вЂ” йх. Теперь мы можем определить величину, которая имеет больпюе значение в теории диспергирующих волн — плотность действия .4 --= д2:/доь (60) Она является скоростью иаменения плотности лаграпжиана с частотой при постоянном волновом числе. Когда величина (60) вычисляется с использованием выраяоения (59) для Х, пет необходимости учитывать малые изменения волнового профиля /„(со), которые сопровождают малые изменения оо. так как У стациояарпа по отношению к любым малым возмущениям волнового профиля! Таким образом, мы можем вычислить величину (60) для фиксированной („(а) по формуле д2'/дог.= (2я) ' ~ 7';, (а) (дЬ)дд„) На. о В силу этого юдам!доо становится средним от д„дЛ!дд„что по формуле (55) равно 2И'к — удвоенной средней кинетической энергии на единицу длины.
Плотность действия з может быть соответственно записана в виде (62) „о =- дХ,'доо = 2Икоо г. И только лишь для линейных систем это выражение принимает вид И ос ' (плотность полной энергии волны, деленная на частоту), укаэанный в равд. 4,6. Элилоэ Когда описанная выше теория применяется к случаю волн с длинными гребнями на воде, все энергии определяются на единицу длины гребня, так что введенные выше энергии, отнесенные к единице длины, становятся плотностями энергии на единицу площади горизонтальной поверхности.
Тогда для волн с данной длиной равенство (62) количественно определяет, насколько возрастает избыток Х кинетической энергии пад потенциальной, когда оэ увеличивается по сравнению с ее значением (ф)ы', даваемым линейной теорией: И'к — Ь'г = У вЂ” — ~ 2И'коо ' йо. (63) <аю'1' Правильность вычислений, на основе которых построены рис. 113 и 114, была подтверждена тем обстоятельством, что результаты удовлетворяли соотношению (63) с точностью до большого числа значащих цифр.
Одно нз преимуществ линейной теории состоит в том. что она приводит к полезным тождествам, подобным (63); позже мы найдем также выражение для потока энергии волны т. Однако еще большее преимущество — то, что она позволяет расширить саму. теорию дисперсионных процессов так, чтобы включить в нее нелинейные эффекты. Вкратце покажем, как это делается, для случая простого исследования (равд. 3.6) развития во времени протяженной группы волн.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
