Дж. Лайтхилл - Волны в жидкостях (1132327), страница 113
Текст из файла (страница 113)
2.11, достаточно малые нелинейные члены в уравнениях движения могут по истечении достаточно долгого времени превратить обычный волновой профиль в столь впечатляюще отличный от исходного. Именно для этих систем изменения волнового профиля в последовательные моменты времени могут «суммироваться», пока не превратятся в очекь сильное изменение. Напротив, наличие дисперсии (зависимости скорости волны от ее длины) моя;ет существенно ограничить возможность существования такой кумулятивной последовательности малых нелинейных эффектов.
Единственной основной скорости волны с„ с которой перемещается волновой профиль, одновременно подвергаясь все болыпему сдвиговому искажению в результате малых отклонений скорости волн от основного значения с„больше Элиз»» не существует. Вместо этого у каждой новой фурье-компоненты, которая может появиться при нелинейных изменениях, ость своя основная скорость волны. Возникшие изменения становятся, таким образом, пространственно разделенными, что маскирует их неуклонное накопление.
Другая область, в которой малые нелинейные эффекты обладают кумулятивным действием,— это обычная механика однородной жидкости. Для вихря основная скорость волны равна нулю (равд. (Д). Знакомое положение о том, что вихревые линии движутся вместе с жидкостью, включает в себя и это утвер»кдение, и утверждение о существенно нелинейном действии вихревого поля на самого себя. Накопление этих воздействий порождает, например, сложный характер некоторых, отличающихся сильным искривлением вихревых линий, течений жидкости, называемых турбулентными.
В дпспергирующих системах отсутствует кумулятивное действие нелинейных эффектов, проявляющееся всегда, когда существует единственная скорость волны (нулевая, как для поля впхреи, илп ненулевая, как для недиспергирующей системы). Дисперсии предотвращает их накопление, поскольку различные фурье-коьшоненты волновой системы оказываются смещенными друг относительно друга, Зто может означать, что»»еханика «простой» однородной жидкости в действительности более сложна, чем механика стратифицированной жидкости или механика однородной равномерно вращающейся жидкости; причина здесь, по существу, в том, что возмущения для этих систем не остаются рядом, а подвергаются трехмерному рассеиванию, так как всем волновым векторам соответствуют разные групповые скорости.
Аналогично, наиболее полезные сведения о волнах на воде могут быть получены из чисто линейной теории, подобно тому как было сделано в гл. 3. Действительно, если небольшие нелинейные эффекты не имеют тенденции к кумулятивному воздействию, то от такого линейного анализа всегда можно ожидать полезных результатов. В этой части 2 настоящего эпилога мы продолн<им рассмотрение трех вопросов, подсказанных предыдущим обсуждением. Во-первых, мы остановимся на таком явлении, как гравитационные волны на глубокой воде, для которых линейный анализ (равд.
3.2) относительно прост и предсказывает высокую степень дисперсии. Мы в общих чертах прикинем, насколько сильно свойства этих волн могут быть изменены существенными нелинейными эффектами, сопровождающими большие возмущения поверхности воды. Во-вторых, мы рассмотрим волны, для которых характерна малая степень дисперсии, вроде «весьма длинных» волн на 543 %Вать Х. Незинейнае эффекта воде.
Это волны, длина которых Х только немного не достигает таких значений (превышающих в 20 раз глубину воды), когда дисперсией можно пренебречь совсем. Как мы увидим, для «весьма длинныха волн влияние малых нелинейных эффектов и влияние малой дисперсии могут почти уравновешивать друг друга. В-третьих, мы очень кратко опишем подход к исследованию статистического ансамбля диспергирующих волн. Главным образом мы будем стремиться показать, почему некоторые свойства такого ансамбля могут быть проще, чем свойства его недиспергирующих аналогов, в том числе турбулентного течения.
Изложению придает единство использование понятия волнового действия, которое, как впервые показал Дж. Б. Уизем, имеет общую значимость для нелинейных диспергирующих волн. Исследование хода трубок лучей при ветре (равд. 4.6) уже подтвердило важность понятия волнового действия для ограниченной совокупности линейных систем, однако мы обнаружим, что оно имеет намного более широкую значимость. Линейная теория предсказывает, что в случае гравитационных волн на глубокой воде периодическая волна длины л по форме является в точности синусоидальной и движется со скоростью (43) с = (д),!(2я))'Гз. Мы начнем с вопроса: возможно ли существование периодических волн с длиной Х, если их амплитуды настолько велики, что пренебрегать квадратами и более высокими степенями возмущений болыпе нельзя, Следует ожидать, что существование таких периодических волн возможно (хотя они не обязаны быть точно сияусоидальными и хотя их скорость с не обяаана точно удовлетворять соотношению (43)) по следующей причине.
Предположим, что большое цилиндрическое препятствие движется в горизонтальном положении в глубокой воде со скоростью Р, направленной перпендикулярно его оси. Тогда оно должно испь1тывать волновое сопротивление, даже если линейное исследование этого сопротивления (равд. 3.9) не является точным. Таким образом, мы ожидаем, что энергию уносят гравитационные волны позади цилиндра. С другой стороны, относительно цилиндра течение должно быть стационарным, иметь скорость г' и обтекать покоящееся препятствие; все гребни волн в нем должны быть неподвижны.
Следовательно, эти гребни должны двигаться вперед по отношению к невозмущенной воде с одной и той же скоростью волны (44) Эавваов это условие имеет ту же форму, что и в линейной теории (равд. 3.9). Заметим также, что если И' — энергия волны на единицу площади горизонтальной поверхности, а 1 — поток энергии в волне на единицу длины гребня '), то выражение сдв — 1 (45) представляет собой поток энергии, переносимой назад по отношению к цилиндру, движущемуся вперед со скоростью с =- Г Выражение (45) представляет собой мовйность волнового сопротивления на единицу длины цилиндра (который предполагается достато шо большим и, стало быть, порождает только гравитационные волны).
Гели пренебречь затуханием энергии, то можно ожидать, что волны поаади цилиндра имеют постоянную аьшлитуду, так что поток энергии (45) постоянен. Таким образом, они должны быть периодическими волнами, длина и амплитуда которых определяется величиной (44) для скорости волны и величиной (45) для потока энергии, переносимой назад по отношению к гребням. Такая картина была с успехом использована при вычислении паралтетров периодических волн, рассчитываемых как стационарное течение в системе отсчета, в которой гребни неподвиткны.
Тогда потенциал скорости вр удовлетворяет даваемому уравнением Бернулли условию на свободной поверхности —, (дср(дх)'+ — (дср)дг)а+ д",.= соязг при г = ~. (46) 1 2 $ Движение на больших глубинах является равномерным движением со скоростью с по отношению к гребням, что дает вр сх при г — в. — со. '(47) Введение функции тока т)в, такой, что уравнение свободной поверхности принимает вид тр = — О, упрощает решение. 11редставление х =..
с ввр — ~~~~ Ьаего"ада зтп (2иявр!сХ), (48) г =- с в вь -~- ~~, 5 в аз" "ода соз (2 пяц7с) ), а 1 в котором х и г записаны в виде рядов Фурье по ср, удовлетворяющих уравнению Лапласа как функции от ср и в(в, соответствует волнам длины Х (так что период по ~р составляет сХ).
т) В линейной теории раад. 3.9 величина 1 равна авив, где у — групповая скорость. Часть 2. 17екинейные эффекты о,оз О,сб 0,04 О,ог 0,2 Аа 0,4 о,з Рис. 4(3. Периодические гравитационные волны большой амплитуды ка глубокой воде. Сплошные липин — значения скорости волны е, энергии волны И'и ее кииетической и потенциальной составляющих и'и и И'р для воли длины 2ягй и меняющейся амплитуды а (определеикой по формуле (49)). Штриховая линия — см. ниже соотиошекие (76). Расчеты, показывающие, как зти волны меняются с амплитудой, определяемой выражением 11 = 2 (эгеэ1 11гсивв) г (49) связаны с очень сложным вычислением коэффициентов рядов Фурье и применением хитроумных высокоточных методов ускоренного суммирования рядов.
Мы дадим лишь конечный результат. Существование волн возможно для всех значений а вплоть до максимального значения ггвэат = 0,0706)., (50) Скорость волкыйменяется от значения (43), даваемого линейной теорией, до величины, лишь в 1,092 рава болыпей при а = а „х (рис. 113). Волновой профиль остается симметричным относительно гребня, но все болыпе отклоняется от синусоидального по,мере возрастания а до а (рис. ',114).
В пределе а -+- аю,х верхушка гребня принимает вид угла, величина.,которого. равна 120'. В вершине этого угла вода неподвижна относительно гребня, причем квадрат ее скорости линейно возрастает с расЗб-01100 546 ул +о,оз -о,оз Рис, 114. Волновые профили периодической гравитациоииой волльг с амплитудой а иа глубокой воде. В используемом масштабе все вертикальные размеры увеличены по сравнению с горизоитальиыми в 2' раза. Штриховой линией отмечена плоскость симметрии'иа каждом гребне. з — иевозмушепиал поверхность воды;:Ь вЂ” волновой профиль длл а = 0,015 Х; с — волновой профиль для а =- 0,050 Х; д †' волновой профиль для а = = 0,065 Х~ е — волновой профиль длл максимальной амплитуды а = 0,0106 Х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
