Дж. Лайтхилл - Волны в жидкостях (1132327), страница 108
Текст из файла (страница 108)
Более того, даже если бы она и была иаотермической, было бы невозможно возбудить волну такой большой длины. Решения для (/сг + Р)'Р на плоскости т = 0 особенно обманчивы, поскольку иден горизонтально распространяющихся волн с такими большими длинами на первый ввгляд вполне правдоподобна. Тем не менее возбудить такую волну с плотностью энергии, постоянной в чрезвычайно большом диапааоне высот, невозможно. Настоящие горизонтально распространяющиеся колебания в гравитационно-акустическом волноводе (равд. 4ПЗ) для простого предельного случаи изотермической атмосферы имеют зг = 0 и ре, пропорциональное ехр ( — сг).
Другими словами, вертикальная составляющая т волнового вентора в этом случае нс обращается в нуль; она принимает мнимое аначеиие — 1а.) 3. Читателю предлагается получить второе приближение дисперсионного соотиогаения (74) для «волнообравной» моды при распространении волны на океаническом термоклине гг ( г ( гг с большим градиентом плотности, разделяющем области г ( гг и г > гд с пренебрежимо малым градиентом плотности. Из уравнения (71), в которое вместо 4/ (г) введена функция показать, что Я(г) = й — йгю"з ) (/«' [г))г бг+ ) (/сг — (2(г))г) с(г, Уиражиеиия к главе 4 Показать, что (74) всегда дает сяисияом висояую сцеику аз.
Получить второе приближение длн малых й (сс — зс) в виде юз = 67с (1 — 1с(1)с где С, как и в (74), равно (172) д )п (рз/рс), а 2 Н=2(!и Рс ) ~ ~)п — ~~ [!п ' ~сЬ сс имеет порядок толщины слоя с — с,. Превышает ли отношение групповой скорости к фазовой скорости для этих волн 1/2 или оио меньше атой величины) Перемещение цилиндра, нориальное его осв, как на рис. 77, производит в равномерно стратифицированной жидкости небольшое локализованное возмущение.
Показать, что если это вовмущенне не генерирует воли с длинами, превосходнщими некоторое максимальное значение ), то по прошествии времени 1 все волны будут находиться в двух цилиндрических областях радиуса Ю П(4п), которые касаются друг друга в точке расположения начального возмущения. 5. Рассмотрим.неоднороднукс систеиу волн, для которой дисперсионное соотношение в форме (100) медясмно меняется со среме>юяс. (Например, медленно меняющимся может быть внешнее магнитное поле, которое может действовать на волны так, как описывается в эпилоге.) Для волн, частота которых ю имеет вид функции ю = ы Ас Кю йз яы зз лас С)с медленно менлющейся как по зп так и по с в масштабе длин волн и периодов волн, определить то единственное уравнение среди уравнении (103) — (108), которое нужно изменить. Какое существенное изменение внесет это в свойства лучей'.
Показать также, как распространить на этот довольно общий случай принцсш стационарной фааы. Показать, что изменение фазы меисДУ моментами вРемени Г = й и 1= зс в точке, ДвижУЩейсЯ вдоль траектории я; = зс(1),на которой волновое число принимает значение Кс = йс(с), определяется выражением Сс ~ (ю [кз(1), зс'„(1), с) — из[с)з,'с)) й. Докааать, что вто ивмененне фазы стационарно относительно малых вариаций б*с (1) и бк; (1) функций тс (1) и кс (1), при которых начальная и коиечйая товий укаванной траекторйи остаются неивменными (так что бя; (кс) = бя, (зс) = О), тогда и только тогда, когда зта траектория является лучом. 6. Основываясь на предположении о равенственулю осредненной по объему избыточной плотности, покавать, что для авуковых волы в совершенном газе,с постоянным отношением удельных теплоемкостей 7 осредненнсе ко объему избыточное давление равно произве- Упражнения к главе 4 822 дению (у — 1)/2 на волновую энергию и единице объема И'.
Это можно рассматривать как предположение, согласно которому полное «радиационное напршкение» для звуковых волн можно аапнсать как сумму напряжения Рейнольдса (156) и иэотропного члена (1/2) (? — 1) й'бз/. Заметим, однако, что соответствующее среднее дэижение может быстро перестроиться таким обрааом, чтобы генерироэать раэное и противоположное среднее давление, приводящее результирующее дэижение к состоянию покоя. До какого значения оменьшнтся при этом осреднекная по объему избыточная плотность? 7.
Получить аналитическое ураанение луча,иэображенногозна рис. 81, т. е.луча, переносящего малые возмущения с частотой ы, меньшей постоянной частоты Вяйсяля — Брента Дз, э стратифицироеакном эоэдупзном потоке, который движется э направлении х со скоростью тз, линейно аоэрастающей с высотой. Показать, что луч, выходящий иэ точки (хо, О, 0), э плоскости у = 0 при эоарастающих х и з имеет форму х = хз+ з [Дг» (ы — йптз)-з — 1[»/з, изображенную на рис. 81.
На каких высотах, если они вообще сущестауют, могут возбуждаться кнутренние волны с частотой ы, большей зз/, для которых кривая, описыааемая приведенным выше уравнением, представляла бы луч, переносящий их энергию э плоскости у = 0 при аоэрастающнх х и з? А что произошло бы с люоой энергией, генерируемой на такой высоте, ио движущейся э плоскости у = 0 при возрастающем х и убиеаюи)ем з? 3. Большой объем жидкости имеет неэоэмущенное распределение плотности ро (з) = рз (1 — ез), где р, и е постоянны, и можно считать, что частота Вяйсяля— Брента имеет постоянное значение Дз = (уе]'/з (потому что е велико по сраанению с уе,', но эз мало э этом объеме жидкости). В момент 1 = 0 часть жидкости, имеющая форму горизонтального цилиндра радиуса а с осями х = з = О, внезапно делается однородной с плотностью рз.
(Это идеалиаацня эффекта очень быстрого перемешиэання, обусловленного турбулентностью а следе эа быстро движущимся э жидности телом,) Решить соотэетстаующую канально-краевую задачу о двумерних внутренних волназ, предполаган, что локальная вертикальная составляющая массоэого потока д равна нулю э начальный момент. (Другиии словами, турбулентность локально перемешала жидкость, которая аследстаие этого «эысаобождается иа покоям) Предстааить начальное значение ре (преаышение плотности над ее неэоэмущенным значением) э виде о Рот ~ ~ Р(/з, т)ехР[ — 1(йч-[-тз))Ы/вйт 523 3>лражне>виа к г»аве 4 и показать, что если рег равно +ргег при гг + г» ( аг и равно нулю во всех остальных точках, то зависимость г" (й, т) = >рггя 'агт (й»+ т»)-г 1» [(йз+ т»Я» а[ выражает г" через функцию Бесселя )г.
Показать, что волны в областв г ) 0 имеют внд с д= — гд>у г ~ ~ в(уг, т) Р(й, нг) ехр [Ев (й, т) à — йг — тг) в[йв)>л, 1 2 где Л[ [ й [ (й» [ т»)->,а 11, наконец, покааать, что эти волны для болылих г в точке г = = г зш О, г = г соз О представимы в виде д= — р>Л>а'г ' [ з>в 20,'), ()»»г-'а з[а О) ехр ()Л>г соз О).,' 1 2 [Здесь форма колебаний, представленных акспонентой, показывает радиальное направление гребней волн. Наличие функции Бесселя отражает тот факт, что волны с бблыпимн волновыми числаыи, сравнительно поздно приходящие в удаленную точку, генерируются с переменной фазой из-за начального разрыва плотности при г = а,[ 9.
Воспользоватьсяприближенным условием для захваченных волн (417), чтобы получить дисперсионное соотношение для «волнообразной» моды колебания (и = 0) на некотором термоклнне. Припять, что частота Вяйсяля — Брента равна нулю вне интервала гг ( г ( гг и равна Л> (г) = Л>, [1 — [ — гт [ (г, — г )-Ч в интервале гг ( г ( гг, где Л'ю представляет собой максимальное значение, принимаемое при г = гю = (гг + гг)> 2. Показать, что дисперсионное соотношение в «исцеленной лучевой теории» имеет вид й (г — г,) = я [(Лгвв-' — 1)га — вЛ> таг с)> (Л>тв-')[ '. Это приближение можно испольаовать в интервале частот между в = 0,5Л'ш и в = Л>>с, иогда, согласно етому прибли>кению, й (г, — г») меняется от 2,9 до еа.
Наоборот, показать, что использованный в упрая«пении 3 метод, пригодный для малых аначений й (гг — гг), дает г — г Г 5 вг= — Л>г й (г,— гД ~ 1 — — й (г,— г,) ], 8 ш ! 28 Зто приближение подходит для использования в дополнительном интервале значений й (г, — гг) между 0 и 2,9, где, согласно атому приблн>кению, в меняется от 0 до 0,48 >Ув.
Показать, наконец, что при частотах в, для которых «волнообразная» мода л = 0 имеет волновое число й, точно определяемое исцеленной лучевой теорией, варикозная мода л = 1 имеет втрое болылее волновое число. Управ«некие к >леве е 10. Горизонтальный цилиндр с осью в направлении у движется в жидкости с постоянной частотой Вяйсяля — Брента Л', имея постоянную скорость У в направлении, определяемом единичным вектором (эш «р, О, соэ ф), где О < ф < и/2.
Найти соответствующую кривую волновых чисел. Показать, что ее две ветви асимптотически приближаются к прямым у (/«з1л «р + т соэ «р) = ~А> соэ «р при больших значенилх й или >а (либо положительных, либо отрицательных), а также что они касаются оси т в начале координат. Нарисовать кривую волновых чисел хотя бы для одного значения «[> и указать стрелками,в каком направлении должны находиться волны с различными волновыми числами. Доказать, наконец, что координаты (э, э) точек на любой поверхности постоянной фазы имеют внд * = С р ')у (соз О з1в ф + соэ ф э1л О 10« О), э = Ср >Л'[соэ (О + ф) + 2соэ ф эш О 10 О[, где С вЂ” постоянная, а Π— параметр (определяемый в действительности обычным уравнением т = — /«10 0).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
