Дж. Лайтхилл - Волны в жидкостях (1132327), страница 117
Текст из файла (страница 117)
Думается, что эта изменчивость нуждается в объяснении, так как измерения не слишком трудны. Действительно, результаты (105) дают значение аХв/Ье 8яв/Зе/в 5 1 (106) Рис. 116 показывает, что оно недостаточно мало, чтобы можно было пренебречь нелинейными эффектами. Таким образом, волны за прыжком должны быть кноидальными. Фактически наблюдается, что они имеют кноидальные волновые профили и их длина, скорость волны и амплитуда подчиняются соотношениям для кноидальных волн. Довольно удивительно, что пересчет с использованием полной нелинейной теории кноидальных воли показывает, что скорость оттока энергии назад цо отношению к гребням не может принимать полное значение (101) для какой-либо амплитуды волны.
Однако она может принимать любое лгяьиеее значение1 Конкретно, значения а/(Ь, — Ье), равные 0,6 (полученные согласно линейной теории или усредненным результатам измерений), соответствуют скорости оттока энергии, составляющей 0,8 ее требуемой потери. Следовательно, они соответствуют гидравлическому прыжку, в котором за счет действия вязкости или вспенивания рассеивается 20в/е требуемой потери энергии.
По этой нелинейной теории большой разброс наблюдаемых значений величины а/(Ье —, Ьв) от 0,3 до. 0,9 в ундулярном прыжке соответствует большому разбросу значений потери энергии эа счет-вязкости и (или) вспенииапия,„встречающихся эв-оыоо 662 Ээи.во« при различных условиях эксперимента — от 75 до 5« требуемых полных потерь. Для еще более сильных прыжков вспенивание является интенсивным и отвечает за почти всю требуемую потерю энергии.
Гидравлические прыжки часто наблюдаются в ручьях как стационарные явления. Гидравлическая теория показывает„ что стационарное течение, скорость которого превосходит скорость длинных волн, может замедляться до скорости, которая меньше скорости длинных волн, только разрывным образом— посредством гидравлического прыжка. Обычно это проявляется как вспенивание (см. рис. 49); однако ундулярный прыжок также может возникнуть, если начальный избыток скорости был незначителен.
В кратком обзоре теории весьма длинных волн в каналах, приведенном выше, не слишком подчеркивается важность уединенной волны, которая в этом контексте выглядит не более чем экспериментальной диковинкой, едва ли наблюдаемой в природе. В курсах по уравнению Кортевега — де Фриза показывается, однако, что для приложений, в которых диссинация отсутствует, решение (99), часто называемое «солитоном», может играть ключевую роль. Действительно. можно доказать, что произвольное начальное движение в конце концов распадается на «ансамбль солитоновэ... Для каждого упомянутого в атом эпилоге свойства поверхностных гравитационных волн существует соответствующее свойство внутренних волн. Амплитуда граничных волн между двумя жидкостями не может превышать определенного значения; ее дальнейший рост невозможен, так как начинается быстрая диссипацня энергии из-за взаимного перемешивания двух жидкостей, аналогичного вспениванию.
Для непрерывно стратифицнрованных жидкостей возможно установление равновесия мен.ду днсперсионными и нелинейными эффектами; в частности, были использованы мощные методы нелинейного анализа, чтобы доказать, что и в этом случае может существовать уединенная волна. Больше того, гидравлический прыжок в стратифицированной жидкости может быть очень эффектным. Там, где поток холодного воздуха, стекающего с подветренной стороны горной цепи, развивает скорость, превосходящую скорость волн, длинных по сравнению с глубиной потока, его замедление может осуществляться в громадном скачке, подобном знаменитой боре (рис.
$17). В заключение отметим егце более сложную область теории неяинейной дисперсии,' .в" которой развиваются' исследования пбтеициалйно очень'большой вйжностя.'Здесь'рассматриваются ~э 563 Часть 3. Нелииейиые вффекты Рис. 117. Бора. Воздух, стекающий с горной цепи (вдесь справа палево), приобретает большую скорость и затем внезапно замедляется подобно тому, как происходит в стационарном гидравлическом прыжке (видно в левой части фотографии). [Фотография Р. Саймонса ив книги Р. С. Скорера еОблака мирав.) нелинейные процессы, благодаря которым спектр волновых чисел статистического ансамбля волн эволюционирует во времени. Первоначально теория была развита для малых нелинейностей.
При атом возможен обмен энергией между частями спектра, соответствующими волновым числам йю )гз и )тз из триады величин, которые вместе с соответствующими частотами ш„шз и юз, даваемыми линейной теорией, удовлетворяют соотношениям "г+ )гз -т )гз =() шт + шз+ о)з = О (107~ (Иногда рассматриваются и тетрады.) Эта теория имеет много общего со статистической теорией турбулентности.
Однако в одном отношении она менее сложна. Относительно простые статистические свойства, которыми обладает гауссово распределение, обеспечиваются центральной за. предельной теоремой во всех случаях, когда случайная величина является суммой болыпого числа статистически неаависимых случайных величин. В случае диспергирующей волновой системы это следует из того обстоятельства, что в любой точке системы сигналы состоят из большого числа пакетов слабых волн, распространяющихся с различной групповой скоростью иэ самых разных точек.
Таким образом, хотя в статистической теории турбулентности остается нерешенной мучительная проблема «замыкания», связанная с негауссовой статистикой вихревых линий, движущихся с жидкостью, рациональное исследование статистики слабо взаимодействующих диспергирующих волн оказалось легче осуществимым. В частности, оно начинает проливать свет (в смысле количественных характеристик) и на спектр океанических волн, и на важный вопрос, который аатрагивался в равд.
4.6: как в устойчиво стратифнцированной жидкости достигается вертикальный перенос горизонтальной составляющей среднего количества движения при помощи статистического ансамбля внутренних волн, вааимодействующих друг с другом и со средним сдвиговым потокомт Библиографические комментарии Часть 1. Основная литература Для того чтобы ао-вастоящему повять материал данной квиги, желательво предварительвое эвакомство с четырьмя реаделами мехаиики и математики: основами общей механики, включая теорию колебавий; освовами гидродввамикв; элемеитами теории интегралов и рядов Фурье; элемевтарвой теорией функций комплексного переменного. Прежде всего мы приведеы адесь основную литературу по укаааввым четырем областям науки, а аатем и по другим вопросам, свяааввым с материалом даввой квиги.
И хотя читатель сможет с успехом приступить к чтевию давкой квиги и беа эвакомства со второй группой вопросов, ои ораву же эаметит, что каиса содержит мвого утверждеиий, свяэаввых с этими вопросами, и, воэможво, аахочет поэвакомиться с вими более детально. Хорошим учебвиком по всем освовяым вопросам механики, рассматриваемым в настоящей ивисе, является мовография Грияодд (бгееаыоой Р.Т.).
Ргшс!р)ея о( йупаппся.— Еад1еыоой С)!Ия: Ргеп11се-НаН, 1965. В вей иалагается общая линейная теория колебаний. Более элемевтарвое ияложеяие теории колебавий с укааавием полеэвой авалогии между механическими и электрическими колебавиями, которая проводится в равд. 2.3 — 2.5, можно найти в кввге Джонс (уоаея Р,Я.). Е1есгг1са1 апй шесЬаа1са1 оясП!а11оая.— 1оайоа: Коа11ейде аай Кебаа Раа1, 1961. Хорошо иаложеввая и свяааввая с теорией авука теория колебаний содержится в книге Море (Могяе Р.М.). т1Ьга1(оа аай яоапй.— 2ай ей.— Меч Уогйл МсбгакН(П, 1948. Современным учебвиковяпо механике, в особеввости полеавым при чтении апилога (часть 2), может служить каиса Голъдстэйн (бо1йя1е!а Н.).
С1аяя1са) шесЬаа!ся.— Веай!аб, Мажл Айй!яоп-Ъ7ея1еу, 1950. (Имеется аеревод: Гольдстейв Г. Классическая механика.— Иад. 2.— Мл Пауэлла, 1975.) Все освовпые вопросы дввамики жидкости, которых мы касаемся в дапвой книге, блестяще изложены в мовографии Бэтчолор (Ва1сЬе1ог б. К.). Ап 1аггойасиоа со ЛаЫ йуааш1ся.— СашЬгЫйе Пп!тетя(гу Ргеяя, 1967. (Имеется перевод: Бэтчелор Дж. Введение в механику жидкости.— Мл Мир, 1973.) Другим весьма подходящим, по несколько более коротким пособием служит книга Г(дрл, Дэоис (Саг1е И., Рат(ея Н. 1.). Мойегп 11аЫ йуааш1ся.— Ьопйоп: тгап Жоя1гаай, 1968. Наиболее совремеввое иэложевие аффектов погравичяого слоя, в особеввости вопросов, свяааввых с материалом равд.
2.7, 3.5 и 4.7, содержится в сборвике Роэеняед (ред.) (ВояепЬеай Еч ей.). Ьага!ааг Ьоаайагу 1ауегя.— Ох1огй Рп1тегя11у Ргеяя, 1964. Заметим, что методы авалиэа раэмериостей, как, например, использованвые в равд. ЗЛО, подробно объясвяются во всех укаааавых квигах. Хорошим пособием по всем основным математическим вопросам, рассматриваемым в даввой пиите, может служить работа Библиографические комментарии Ансон|ел (Аров|о1 Т. М.). Ма|Ье|паИса1 апа1ув!в.— Ееайюйч Айй!воп%ев1еу, 1957. В ней содержатся необходимые сведения как по теории рядов Фурье, так и по теории функций комплексного переменного. Краткое, но ясное элементарное изложение теории интегралов и рядов Фурье содержится в монографии Стюарт (ЯСпагС Е. В.).
Ап 1п|гойпс|!оп Со Ропг!ег апа1ув!в.— Ьопйоп: Мегйпеп, 1961. В равной степени хорошее краткое изложение теории функций комплексного переменного содержится в книге Филлинс (РМП!рв Е. 6.). РппсИопв о1 а со|пр1ех тат!аЫе.— 8|Ь ей.— Ей!пЬпгЯЬ: 01]тег апй Воуй, 1957. Современным учебником, который охватывает оба зти предмета и содержит дополнительные сведения по многим вопросам, рассматриваемым в гл. 3 и 4 (например, изложение метода стационарной фазы с интегрированием по действительной переменной), является книга ,7лссфрис Г., Дхссфрис Б. (1еНгеув Н., ЗеНгеув В.
Я.). Ме|Ьойв о1 шаСЬешаИса1 рЬуюсв.— СашЬг!66е ПЫтегв!Су Ргевв, 1950. [Имеется перевод: Джефрис Г., Свирлс Б. Методы математической физики.— Мл Мир, 1969.] Никакие специальные знания в других областях не предполагаются. Тем не менее ниже мы унан|ем литературу по каждой из близких областей науки, на которые делаются важные ссылки в данной книге. Блестящее изложение теории уравнений в частных производных содержится в книге Гарабсднн (6агаЬей1ап Р. В.).
РагИа1 й1Негеп|!а1 едва!!опв.— ]ч]ест г'огйк| СУПеу, 1964. В ней, например, читатель найдет общую теорию характеристик нелинейных гиперболических уравнений (равд. 2.8) и доказательство теоремы о числе собственных значений, рассмотренной в равд. 4.13. Более элементарные сведения можно найти в книге Снсддс|а (Япеййоп 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
