Г.И. Баренблатт, В.М. Ентов, В.М. Рыжик - Теория нестационарной фильтрации жидкости и газа (1132325), страница 9
Текст из файла (страница 9)
(а) 7. (р) со О1= - —,'„'.— Кс(ы); харчо я 1 2пр соз 6 (П1.3.26) К„(а) = ( )„— (и >О)., (1П.3.27) В результате при п + О в (П1.3.24) можно пренебречь членами, содержащими К„и Х„+„н получить после некоторых упрощений В„= — — 2"(и — 1)1~ — ) . ач ь,— ь, „г пав 2ль~а ьз+ь~ ~ р1 ) (П1.3.28) При к = 0 имеем В,= — ~( — — 1)(С-,1 — ')+ — 1 ()~. (Ш.3.29) 43 (см.
(26, формулы 7, 15, 35)), что отвечает течению от источника в однородном пласте. Если а и рз велики (о велики, т. е. времена малы), то, как легко убедиться, вклад первого члена формулы (П1.3.25) зкспоненциально мал, так что решение совпадает с решением для однородного пласта. Это имеет место, очевидно, до тех пор, пока возмущение давления не достигнет круговой границы г = В. Рассмотрим подробнее противоположный случай, когда а, ра н ~)р„малы.
Тогда выражение (П1.3.24) для В можно упростить, используя извостные формулы для малых значений аргумента: Вклад выражения (1П.3.28) в решение равен а 1 — 1п ) 1 — — соа Й+ — 1) (П1.3.30) ад+аз 4ял,о ~ р1 р,' у (см. [40, формула 1.448.2)). Таким обрааом, отвечающее большим значениялг времени изображение распределения давления имеет вид: ру ~ У та+аз — 2аг созе + 2яало 1 ал аа 1 1 гааз+ Ла — 2агяа соа 6 ) В формуле (1П.3.31) выражение в квадратных скобках с точностью до постоянной совпадает с выралкеннем для распределения давления в соответствующей стационарной задаче; член, содержащий 1в — 1г —, прн обратном преобразовании дает логарифмн2Ук, ческий рост давления во времени, так что формула (1П.З.З1) обнаруживает в целом следующую картину: давление во внутренней кольцевой зоне распределено стационарно, т.
е. разность давлений между любыми двумя точками области имеет то же значение. что и при стационарном движении, а средний уровень давления медленно (логарифмическн) изменяется с ростом времени. При этом давление лишь постоянной величиной отличается от давления вблизи одиночной скважины, пущенной с постоянным отбором д в одяородном пласте проннцаемостью Й, и пьезопроводностью х,. 3. Рассмотрим теперь приток жидкости к вертикальной трещине длиной 2Ь, которую будем считать поверхностью постоянного давления. Положим, что полный отбор жидкости через трещину сохраняет иавестное постоянное значение.
Примем, как н раньше, начальное давление в пласте за нуль. При этом, учитывая симметрию относительно осей х и у, имеем дв = к ( ~", + — "', ) (0<х<; О<у< ); (П1.3.32) др(0,к) =0' др(х,0) =0 (0<х<г,); да до дР(х О) — 0 (Е« ) ( дР( О) сг = )"", о Используя асимптотическое выражение для Кв при малых значениях аргумента, имеем )о())=, ~Р(Ч. ь)~1п — — +С-;- ° -.~НЧ (Ш 337) -1 или, учитывая (Ш.З.ЗЗ), — '~р(Ч, ~) )пал-Ч~ИЧ=р.— — „",'. ~1п~- С).
(П1 3 38) -1 Заметим, что если бы вместо задачи (1П.3.32) мы рассматривали такую же задачу для стационарного движения, то, действуя тем же способом, получили бы интегральное уравнение вида: р 0 ( Ч ) (П1.3.40) ват, р'~ — Ч' Уравнения (П1.3.38) и (П1.3.39) эквивалентны, так что функция — ре (Ч) дает в рассматриваемом приближении такя1е и решение 1 исходной задачи. Иначе говоря, при Х (( 1, что отвечает большим временам (1)) Е'/х), распределение скоростей фильтрации по поверхности трещины можно считать стационарным. Подставляя в (Ш.3.38) р =-.= — р„(т1), получим 1 (Ш.З.41) Формула (П1.3.41) определяет асимптотику давления в трещине при больших временах.
Сопоставляя ее с формулой (П1.2.27), видим, что давление изменяется так же, как в скважине радиусом г 1 = — Ь, т. е. 2 ре(1)=.- ~~' Г1п +С+о(1)~. (1П.3.42) 16 1 1 — ~ р.(Ч) 1п!л — Ч ИЧ == 1; ~ р.(Ч)йЧ =- ф. ПП.З.З9) -1 -1 При атом постоянная в уравнении (П1.3.39) не определена, поскольку в соответствующей стационарной задаче давление определяется лишь с точностью до постоянной. Стаг1ионарную задачу можно легко решить, рассматривая ее как краевую задачу теории функций, и применяя формулу Келдыша — Седова ([63, гл.
П1, % 31). Искомое решегше имеет внд: Зто обстоятельство позволяет определить размер трещины по наблюдениям нестационарного притока к ней (см. $4). 4. Приведенные примеры позволяют сделать некоторые выводы общего характера относительно нестационарных течений со сложной геометрией. В большинстве случаев рассматриваемые задачи сводятся к изучению поведения системы при локализованном воздеиствни достаточно простого вида (например, при скачкообразном изменении дебита в одной из скважин). Из получаемых таким образом решений при желании можно, пользуясь принципом суперпознцни, найти результат более сложных воздействий. Такая сосредоточенность изменений во времени и в пространстве приводит к тому, что асимптотические свойства соответствующих реп|еш«й оказываются весьма простыми.
В болыпинстве задач удается выделить три основные области. Первая из них— удаленная от места возмущения область, которая к данному моменту еще сохраняет свое исходное состояние и условия в которой еще не успели повлиять на поведение решения. Вторая область — непосредственно прилегающая к месту возмущения; движение здесь в известном смысле близко к стационарному (например, если возмущение заключалось з скачкообразном изменении расхода через трещину (п. 3), то поле скоростей вблизи трещины блпако к стационарному полю скоростей). Наконец, в третьей, сравнительно узкой и имеющей простую геометрическую форму переходной области и происходит собственно нестационарное движение.
Такая простая структура решения (присущая к тому же не только задачам упругого режима, по н пелинеиным яестационарным задачам) позволяет в ряде случаев легко устанавливать основной ход решения, используя известные стационарные решения для «внутреннейз части области движения и простые (например, автомодельные) нестационарные решения для внешней области. й «. ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ В вопросах геологии, особепно геологии нефти, широко используются решения обратных (стационарных и нестационарных) задач теории фильтрации. Общий принцип исследования пластов при пестацнопарном течении заключается в том, что путем изменения работы скважин в пласте искусственно создается нестационарный режим фильтрации н измеряется давление в зависимости от времени з одной или нескольких скважинах.
На основе данных об изменении дебитов скважин и об изменении давления в определенных точках пласта могут быть получены сведения о параметрах пласта — проницаемости, пьезопроводности, о расположении границ пласта и др. 1. Самым простым и наибочее употребительным способом создания нестационарного течения является остановка одной из скважин. Кривая зависимости давления от времени, при помощи которой проводится исследование пласта, может быть снята либо в самой остановленной скважине, либо в другой — неработавшей скважине (пьезометрической). Прн етом предполагается, что во время исследования дебиты остальных скважин меняются незначительно.
Типичный вид кривой изменения давления в остановленной скважине (кривой восстановления давления) изображен на рис. 1П.З в координатах р, 1п 1 (кривая 1). Решение задачи об изменении на постоянную величину давлеяия в бесконечном пласте после изменения дебита скважины было приведено в з 2. С точки зрения анализа кривых восстановления давления прежде всего представляет интерес асимптотический участок кривой р (!и 1) при болыпих 1, описываемый формулой (1П.2.28). Изменение давления в скважине, остановленной после того как она пВ ЯО В Ю с7 22 12 К Вуенз 1пс, сен рве.
111.3 работала на стационарном режиме с дебитом дд, может быть записано в виде: р(р, 1) — р(р, 0)=-~~'" (1вг+1п — "). (П1.4Л) Формула (1П.4.1) определяет прямую в координатах р, 1п и При построении кривой восстановления давления в остановленной скважине такой прямолинейный участок часто устанавливается через непродолжительное время (кривая 2).
Пусть уравнение асимптоты есть р = А 1п 1 + В. Тогда сравнение с формулой (1П.4.!) показывает, что А = — —, В = А 1п —. Поскольку значение д, юор 4х 4яьь ' урю известно, то, измерив по графику параметры А и В, можно найти йь х гидропроводность пласта — и отношенне —. в рз Следует иметь в виду, что радиус скважины, входящий в формулы для притока к скважине, обычно не равен истинному радиусу вследствие того, что, во-первых, скважина вскрывает пласт не на всю мощность, и, во-вторых, не вся поверхность скважины открыта для дви«кения жидкости (несоверп!енство скважины по степени и харакх теру вскрытия).
Поэтому, зная величину — нельзя по отдельности 9» определить х и р'. Для определения пьезопроводности пласта удобнее использовать метод гидропрослушнвання, т. е. исследовать изменение давлеш«я в другой скважине, не работавшей к моменту пуска «возмущающей» скважины. В этом случае характерным размером является не радиус скважины, а расстояние между. скважинами, Которое известно достаточно точно. Воспользуемся для анализа кривой изменения давления формулой, описывающей распределение давления в бесконечном пласте прн работе скважнны-источника, пущенного при ! = — 0 с дебитом д«! р(„,) р(„О)= ° Е1~ 4хьв ( 4х! / (Ш.4.2) После несложных преобразований формулу (1П.4.2) можно записать в виде: «' р(», !) — Р(г, 0) =-.
Лр= ч»р Г е «"' — т. (П1.4.3) 4лйс,! т о Обычный способ обработки кривых изменения давления в реагирующей скважине заключается в том, что на кривой фиксируется время появления каких-либо характерных точек — точки перегиба, точки касания и др. Удобно фиксируется, например, точка касания с кривой р (1) прямой, проведенной из начала координат.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
