Г.И. Баренблатт, В.М. Ентов, В.М. Рыжик - Теория нестационарной фильтрации жидкости и газа (1132325), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Допустим вначале, что рассматриваются малые'времена «» и — ~) 1. Тогда в выражении для Р (х, «) мошно все значения ег1с ш заменить пх предельными ег1с оо = О, за исключением члена ряда ег1с —,=. Аналогичным образом в выражешш для ~«(0) все члены 2 1»в« ряда обращаются в нуль. Имеем Р(х, «)= р»ег1с — * —; Д(0)= — ~~ . (ШЛ.1й) 2)з« ' р) яя« Р(0, «)=«(«) (Ш.1.15) 29 Полученные формулы имеют двоякий смысл. С одной стороны, они описывают распределение давления в пласте конечной длины Л прп малых временах к« ~( «». С другой стороны, они дают распределение давления в произвольный момент времени в пласте «бесконечной» протяженности « — со.
Цело в том, что конечное (не бесконечно-малое) изменение давления распространяется за заданное время лишь на конечное расстояние, и, если рассматриваются малые времена, можно считать пласт бесконечньпп Решение задачи для бесконечного пласта автомодельпо: независимые переменные х н « входят в решение не порознь, а лишь в комбинации х/'г'к«.
Автомодельность решения является простым следствием отсутствия в постановке задачи постоянных, из которых можно образовать величины размерности длины плн времени. Автомодельные решения будут подробно рассмотрены ниже (гл. 1У). Уравнение теплопроводности (П1ЛЛ) является линейным и в силу этого допускает суперпозпцию решений. Это позволяет, используя приведенное выше решение для скачкообразного изменения давления в начальном сечении пласта, построить решение, отвечающее произвотьнолгу граничному условию и обращающееся в нуль при с -" 0 п х — — Ь (интеграл Дсссалселя)с Р(х, Г)=-- ~ — „— Р,(х, 1 — т)с(т. Г ос(т) о В частности, для бесконечного пласта (П1 1.$6) с Р(х,1)= ~ «(» ег1с =-- с(т; сс(0)=- — — = Гс —" сст 2х 1'с — г и 1'зх с сст 1 с — т о о (П1.$.17) Если задано ие давление, а расход через концевое сечение бесконечного пласта (П1.И8) то решение, как нетрудно показать теи же способом, имеет внд: Р (х, Г) =- — — — ) д (с — г) ехр сл — ) —..
(Ш.1.19) сс 1х Г / хс л сст ",) ~;х. ) 1гт . о /л(х, г).—.. — роет(с 21 хс (П1.1.20) В силу симметрии очевидно, что сулпсарвое решение обращается в нуль при х = — А. Однако при х =.—. 0 построешше респеине уже ие равно точно ро. Чтобы сколспепсировать певязку, вызванную второй тепловой волной, добавим третью волну того;ке знака и направления, что и первая, и исходящую из точки х — — 2ь.
При атом возникает невязка н граничном условии при х = Г., для компенсации которой придется добавить обратную волну из точки х = 41 и т. д. Нетрудссо вндетоь что таким путем мы придем к решению (П1.1.13). Отсюда ясно, что пока рассматриваемые значения времени не слишком велики, достаточно ограничиться учетом волн от ссесколькнх 30 4. Решение (1П.1.14) представляет отепловую' волну», распространянсщуюся с момента 1 — 0 из точки х =- 0 в положительном направлении оси х. Позтому выражение (П1.1.13) можно рассматривать как результат суперпозиция тепловых волн той же амплитуды р", распространяющихся из точек х — — 2с и вправо и из точек х =- =-- 2Ьп влево, начиная с того же момента времени, причем волны, распространяющиеся влево, имеют обратньш знак. Таколсу толкованию можно придать простой фссзссческсш смысл.
Попытаемся удовлетворить уравнению (Ш.1Л) и поставленным краевым условиям при помощи решений тсспа тепловой волны. Очевидно, все такие решения удовлетворяют начальным условиям. Чтобы удовлетворить условию при х = 1, добавим к решенша (П1 1.14) тепловую волну, исходящую из точки х =. 21. в отрицательном направлении осп и имеющую обратньш знак: (ШЛ.21) Подьштегральное выражение убывает при ~ о ~- оо.
Это позволяет обычным приемом перейти к интегрированию по прямой, параллельной мнимой оси, но лежащей левее ее, добавив вклады от полюсов подьштегрального выражения, лежащих между прямыми. Полагая поэтому я»кЕ '( — с, ( 4я»хЕ ', имеем Р,(х, 1)=-р»(1 — — ) — — з1в~я(1 — — Яехр ~ — — "", )+ ( (4 — з) л»зс Я ( П1.1.
22) Первый член выражения (П1.1.22) представляет собой стационарное решение, отвечающее заданным краевым условиям; второй член вырви»ает основную, при больших временах, часть поправки к этому стационарному решению; наконец, посчедний член мал даже по сравнению с первым поправочным членом. Таким образом, приближение к стационарному режиму происходит экспоненцнально, причем характерное время выхода на стационарный режим — по- рядка .г г »к-3 2 (111.1.23) Оцепим это время для систем различных размеров.
При этом для к примем характерное значение х = 10» см»/сея. В результате имеем: при Ь =-. 1 м (переходный процесс в одном куске-блоке породы) т = ОЛ сек; при» =-- 300 и (порядка расстояния между скважинами) т = 10' сек = 3 ч; »', = 10 км (порядка размеров местороя»дения) т == 10' сек = 100 суткам; Ь = 100 км (порядка размеров крупной водонапорной системь») т =- 10» сек = ЗО лет. В практических задачах часто приходится рассматривать нестацпонарные процессы в сложных системах, в которые входят элементы с различнымп собственными времена»и».
Оценивая время установления (стационарного течения) для каждого алемента по его размерам, мы упростим ближайших к рассматриваемой точке источников (это, конечно, легко увидеть и непосредственно пз (П1.1.13)). Таким путем можно получить простые выражения для достаточно длительного начального периода движения. г,з 5. Рассмотрим теперь противоположную асимптотику: » ~) —. В атом случае выражение (П1.1ЛЗ) неудобно тем, что приходится суммировать много членов ряда. Чтобы получить решение в более удобной форме, обратимся вновь к соотношению (Ш.1.7), полагая в нем опять ( =- р», Используя формулу обращения (1П.1ЛО), имеем ф 2. ОСЕСИЫМЕТРИЧНЫЕ ЗАДАЧИ И ЗАДАЧИ ИНТЕРФЕРЕНЦИИ СКВАЖИН ПРИ НЕУСТАНОВИВШЕНСЯ ФИЛЬТРАЦИИ 1. Рассмотрим теперь одномерное осесимметричное (плоско-радиальное) движение при упругом режиме.
Распределение давления определяется при этом как решение уравнения теплопроводности в полярных координатах (г, 0): — == к — — ~г — ) О<о ~ г ~ Л ( оо, (111.2.1) др 1 д ' дг х 'г дг'т дг) удовлетворяющее начальному условию р(г, О) =-1(г) (Ш.2.2) и граничным условиям при г = — р и г = Л. По-прежнему основной интерес представляют решения, отвечающие стационарному начальному распределению давления 1 (г) = = Ст 1п г + С . В силу линейности уравнения (1П.2.1) отклонения распределения давления от стационарного также удовлетворяют уравпспшо (П1.2Л), но уже с нулевым начальным условием.
Поэтому примем далее 1 (г) =— : О, понимая под р отклонение давления от стационарного распределения. Переходя в уравнешш (1П.2Л) к лапласовым изображениям, получаем уравнение (П1.2.3) общее решение которого имеет вид: Р(г, а) =Ст1о(г~1 ) — Сто (г~ — ) * (111-2 4) где го и ʄ— модифицированные Функции Бесселя от мнимого аргумента нулевого порядка. Задавая два граничных условия, мы можем определить постоянные Сы С, а вместе с ними и реопение. 2.
В приложениях особое значение имеет задача, в которой на скважине задается не постоянное давление, а постоянный дебит. Решение этой задачи используется в наиболее распространенных способах определения параметров пласта по наблюдениям нестационарного притока к скважине. Положим таким образом длт д = — — ~г — ~ =- сопзг; дг р ро = — ~; р (Л, 1) =-. О, зяв ' (П1.2.5) задачу. отделив те элементы, движение в которых уже можно счи- тать стационарным, и те, в которых нестаннонарный процесс нахо- доггся в начальной стадии. Используя таблицу преобразований Лапласа (см., например, (26, формула 5Л6 (35)), имеем йо( ) 2 р( ) ° (111.2Л2) Отсюда, используя связь между преобразованиями Лапласа функции и ее производной [формула (С.
3) приложения[, получим — Ко([гао) — ' ~ — ехр( — — )о[т= — ~ е о 3 2т ~ 4т! 2 ) г а/М 2 Е[( — 4 ). (Ш.2ЛЗ) Полагая теперь в соответствии с (Ш.2ЛО) оо = го/х, получим р(г, г)=- —,р*Е[( — — ) = ~~ -Е[( — —,). (Р11.2Л4) Выражение для давления в скважине р (р, 1) можно непосредственно получить из выражения (П1.2Л1), по таблицам преобразования Лапласа нли используя известную асиьштотику интегральной покааательной функцик Е[( — х) ==: С вЂ” ' !п х .. При этом получим (1П.2.
$5) р (р, г) = + — (1в — -+ С... ) — — — 1п — ' он l го т дв 2,25зо 4я/с ~ 4ьа ' ) 4яз го (Ш.2Л6) Последнее выражение широко используется прн интерпретации результатов исследования скважин (см. з 1П.4). 3. Рассмотрим теперь простейшие задачи ннтерференцни скважин при неустановнвшемся двюкеннв. Интерес ь этим задачам связан с тем обстоятельством, что на любом месторождении имеется большое число скважин, объединяемых в более илп менее правильно расположенные групшз (батареи), причем режимы всех скважин в батарее обычно являются примерно одинаковыми. При расчете удобно заменять батарею однотипных скважин дренажной галереей илн укрупненной скважиной: группа дисъретных стоков (нсточников) заменяется одним распределенным.
Пусть имеется бесконечная цепочка скважин, расположенных на расстоянии 2а друг от друга вдоль прямой, которую мы примем за ось х. Предположим, что вначале движения не было, а нри г = О из всех скважин начинается отбор с одинаковым дебитом д. Рассмотрим изменение давления в точке с координатами х, у, где для определенности счктается, что [х[ ( а. у ) О и что одна из скважин расположена в начале координат.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
