Г.И. Баренблатт, В.М. Ентов, В.М. Рыжик - Теория нестационарной фильтрации жидкости и газа (1132325), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Как видно из приведенного вывода, закон Дарсп является следствием предположения о беаынерцпонности движения жидкости. Фильтрационное течение, следующее закону Дарси, является частным случаем ползугдего течения (широко известным примером ползущего течения является стоксовское обтекание сферы). Течения такого типа характеризуются преобладанием вязких сил над инерционными, т.

е. очень малыьш числаьш Рейнольдса (Ве (( 1). 1!оэтому представляются нецелесообразными многочисленные попытки получить закон Дарси путем осредпенпя уравнений Навье — Стокса. Ясно, что любой такой вывод будет сводиться в конечном счете к попытке вычислить пронш1аемость по известной геометрической структуре пористой среды. Закон Дарси имеет весьма широкую область приложения и на его основе получены основные результаты теории фильтрации.

Существуют, однако, случаи, когда линейный аакон фильтрации Дарсп не применим. Эти случаи, необходимые обобщения закона Даров и возникающие при этом нелинейные задачи теории фильтрации будут рассмотрены ниже (гл. УН1). Пока же будем считать все рассматриваемые движения подчиняющимися закону Даров. До спх пор предполагалось, что пористая среда пзотропиз. Если пористая среда не является изотропнои, то и» общих соображений можно утверждать, что в произвольной ортогональной декартовой системе координат х„х., хз компоненты вектора йгай р выраигаются через компоненты и! вектора и следующим обрааом г: дэ .=- — тки„, (1.2.7) д-г где с;.

— некоторый тензор. В случае безынерционных движений компоненты тензора сэ! могут зависеть толы'о от вязкости жидкости р, тех нли нных геометрическйх характеристик пористой среды и модуля вектора скорости фильграции и. Аналогично вьюоду формулы (1.2.7) можно показать, что сэ! = ргг), где тензор гд зависит только от геометрических характеристик пористой среды и нааывается тенаором удельных фильтрационных сапротпэлеяий; компоненты тензора гэ! имеют размерность обратной площади. Выражая, наоборот, козшоигиты вектора скорости через компоненты вектора градиента давления, получаем !п„др э!=..

— '" — -, 9 дх„' где тензор йй является обратным тензору гб. также зависит только от геометрических характеристик пористой среды, имеет размерность площади и называется тевзором проницаемости. Эта зависимость представляет собой закон Дарси длч анизотропной пористой среды. Г!окажем теперь. что тензор сопротивлений гм и теизор проницаемости );э! являвпся симмстрнчиычп, т. е. гц = гд, Фд — — йг!. В самом деле, иа пористую среду со стороны фильтрующейся жидкости действует объемная сила, пропорциональная градиенту давления; безра:пжрный множитель пропорциональности зависит только от геометрических зарактерисъзэк лорнетов среды. Удельная работа этой силы, т.

е. работа за единицу времени иа единицу объема системы жидкость — пористая среда. разная удельной диссипацпп энергии жидкостью в пористой среде. равна скалярному произведению (дгапр, иг =: и.=- — рг. э и др дх (1.2.9) (1.2.8) Очевидно, что удельная работа спл взапмодейсвия жидкости с пористой средой не должна зависеть от выбора осей координат х„х„хз. Но для того чтобы квадратичная форма г1,иэи„, пропорциональная этой удельной работе, не зависела от выбора спстемй координат.

необходимо и достаточно, чтобы г„з --- г . Аналогично можно показать, что 1;з -- йзх В ирило веяиях особую роль играет анизотропия естествепных пористых сред, связанная с осаднонакоплениеи. В этом случае проницаемости вдоль слоев имек1т одно значение, а в перпендикулярном направлении -- другос, обычно авачптельно меньшее.

!!оэтому одна пз главных осей тензора проницаемости — хз перпендпнуляриа плоскости напластования, а две другие— .г, и х„зэожно выорать произвольно в плоскости напластования. Спсгезга т, х„. хз будет главной систезюй в каждой точке пористой среды; в этой системе имеем бы й- йщ — Л; йзз=1о! йщ =Гзт = йщ=-. Гтз= — йз! =-Ага = О!. (1.2 19) Закон Даров в выбранной системе координат записывается в силу соотношений (1.2.10) следуюэцпч образом: й др ! др Ро др (!.2.1!) р дхг' )г дхз* р дхз ' Здесь и далее иы будем предполагать сзъншрование по всем значениям повторяюиигхся греческих иадексов, так что, например, сы и., означает гэ,и, + г~ аз ! сэзах й 3. ЗАВИСИМОСТЬ ПАРАМЕТРОВ ЖИДКОСТИ И ПОРИСТОЙ СРЕДЫ ОТ ДАВПЕНИЯ Поскольку движение жидкости в пористой среде вызываешься перепадом давления, окончательная формулировка болыиинства задач теории фильтрации заключается в составлении дифференциальных уравнений для распределения давления и в установлении соответствующих начальных и граничных услошш.

Как при составлении этих уравнений, так и при решении их необходимо знать, как зависят от давления характеристики пористой среды и насыщающей ее жидкости. 1. Рассмотрим прежде всего влияние давления на свойства ;кпдкости — плотность р и вязкость р. Для капельных жидкостей —. воды и нефти — изменения плотности обычно невелики. Встречающиеся в фильтрационных движениях перепады давления (десятки кгс/сме) весьма малы по сравпеншо с модулями объемного сжатия Хг капельных жидкостей (5 ° 10а— 2 1О' кгс/см'). Поэтому для приложений достаточно ограничиться линейной аависпмостью (1.3.1) Следует, однако, иметь в виду, что хотя сжимаемость капельных жидкостей и мала, она играет значительную роль в тех случаях, когда возмущеш~я давления захватывают обширные области (здесь существенно то, что нефтяные залежа обычно граничат с пластовой водой, суммарный объем которов значительно болыпе объема нефти в залежи, "в результате этого расширение воды при снижении дазлеппя может полностью компенсировать извлекаемый объем нефти).

Зависимостью вязкости капельяых жидкостей от давления при изменении давления в тех же пределах можно обычно пренебречь '. грпльтрационные движения газа характеризуются тем, что прп пх исследовании, с одной стороны, почти всегда можно пренебречь изменениями температуры, считая нх малыми, а с другой, — тем, что ввиду больших абсолютных значений давления и перепадов считать газ идеальным можно лишь с болыпой натяжкой. Уравнение состояния газа обычно записывают в виде: Р ( 7)йТ (!.3.2) Преимущества такой записи связаны с тем, что для функции з (р„Т), называемой коэффициентом сверхсжимаемости, составлены таблицы и графики, охватывающие ряд практически важных случаев, и имеются простые способы приближенного вычисления ее для ' Сказанное ве относится к нефти, находящейся в контакте с прпродпып газом.

В атом случае при повышекип давления увеличивается количество растворенного в вефтя газа, н ее вязкость заметке падает. газовых смесей [271. Температуру в этом уравнении обычно можно считать постоянной и рассматривать как параметр. Отклонение з от единицы (газа ог идеальности) анаштельпее для более тяжелых углеводородных газов. Согласно элементарной кинетической теории газов, вязкость газа но должна зависеть от давления. Это утвер'кдение тагике 'не применимо ь условиям, характерпып для газового пласта. При фиксированной температуре вязкость газа может изменяться на десятки процентов прп изменении давления на десятки атмосфер. 2. рассмотрим теперь вопрос, как зависят от давления жидкости свойства пористой среды — ее пористость и н проницаемость Е Обе эти величины характеризуют структуру порового пространства.

[ и их изменение в любой точке определяется давлением жидкости и тензором напряжений, действур ющих в скелете пористой среды. л Прп этом следует отмели ь, что в опытах определяется нх зависимость не от истинных напряжений, действующих в скелете, а от некоторой их части. которую мы назовем фиктивными напряжениями. Рис. 1.3. Для выяснения этого обстоятель- ства разберем следующую элементарную схему опыта.

Пусть (рис. 1.3, а) в цилиндрическом сосуде с п,тощал ью поперечного сечения, разной единице, находится некоторый объем пористой среды, в котором содержится жидкость под давлением р. 11а верхней грани этого объема лежит непроницаемый поршень. ио другую сторону которого находится жидкость под тем же давлением р. В силу известного прннципа гндростатпкн — принципа отвердевания — эта система находится в состоянии равновесия. Для выяснения зависимости порпстости от нагрузки приложим к поршню дополнительную нагрузку д. Вычислим сжимающее нормальное напряжение, действующее в сечении объема пористой среды плоскостьэц параллельной норинко; для этого составим уравнение равновесия части рассматриваемого объема, ограниченной поршнем и плоскостью сечения (рпс.

1.3, б). Пренебрегая силами трения о степки вмещающего сосуда п собственным несом среды и жидкости, получаем и+ тр = д — р; о = д -,'- р (1 — т), (1.3.3) где а — исппшое напряжение. действующее в пористой среде (в расчете на единицу площади общего сечения) и, очевидно, не равное приложенной нагрузке о. Изменение пористостп в зависимости от давления при фиксированной нагрузке в целом мало существенное, учитывается отдельно (зто пэменение обусловливается ся<имаемостью материала зерен.

сосгаэляющих пористую среду, которая мала сраэ- нительно со сжимаемостью пористой среды в целом, так как изменешю пористости происходит в основном за счет более плотной упаковки зерен и лишь в очень небольшой мере — за счет их снсатня; если вообще не учитывать сжнмаемость материала зерен, составляющих пернету~о среду, то пористость при фиксированной нагрузке не будет зависеть от давления жидкости).

Характеристики

Список файлов книги