Г.И. Баренблатт, В.М. Ентов, В.М. Рыжик - Теория нестационарной фильтрации жидкости и газа (1132325), страница 5
Текст из файла (страница 5)
'+~ — +й)тр ).О. дГ (11.1.3) 2 Заказ 1865 17 откуда в силу произвольности элемента У и вытекает уравнение неразрывности й 2. УПРУГИЙ РЕЖИМ ФИЛЬТРАЦИИ 1. Самым простым и наиболее изученным случаем нестацнонарной фильтрация является фильтрация слабосжимаемой жидкости в упругодеформируемом пласте (в технических пряно>пениях этн задачи получилн название задач упругого режима фильтрации). В основу исследования кладется система уравнений закона фильтраппн и уравнения неразрывности: дтр,, -.
— + п1т ри =- О; и == — — ягаг) р. дг ' 1г Для того чтобы получить замкнутую систему уравнений, нужно воспользоваться тем, что свойства жидкости (плотность р и вязкость р), так же как и порнстость и проницаемость пористой среды, являтотся функциями давлюшя (мы предполагаем движение нзотермнческим). В силу (1.3,12) змеем др др др дт дт дб дт др Гдт дттдр + =~ / д1 др дз ' дт дб дГ др дс 'ядр дб/дс" + 1 ) дР+Рпгп ~газ ( 1 + 1 + 1 )(йгаб )з1 б Если бр — характерное изменение давления. а / — характерная длина, то первый член в скобках имеет, очевидно, порядок бр// з, а второй (бр)з/1 зй.
Отсюда следует, что вторым членом в принятом приолиженни также следует пренебречь г. Таким образом, имеем — -=хггР=- Я( — + — и+ — - 1 др Г дпр дпр д"р т дг ' ~ дяп дупр дпп /~ где коэффициент (И.2.3) (11.2.4) ' Ср. с нрвяечзяяея нз стр. 14 о возможности пренебречь завнсяяостью зорястосги и нрояицаеиоств ог второго и третьего яязаряантов тензора наяряя'еяяз. Исходя из предположения о слабой сжимаемости жидкости и пористой среды, можно считать относительные пзмененпя величин р и вс малыми и козффицненты при дР/д1 в предыдущих формулах постоянными: Опытные данные показывают, что в реальных случаях (Р— Рп)/тгт'у,1' (Р— Рп)/гго(~1 и т д. 1!одставляя второе уравнение (11.2.1) в первое н преобразуя получающееся соотношен|ге с учетом (11.2.2), находим, пренебрегая малинн величинами, ар -[- р — р ~ = — 1 (х, у, з, г) (П.2.5) и задать начальное распределение давления в области В (11.2.6) р (х, у, ть О) =-гр (х, у, г), то существует распределение давления р (х, у, х.
г), и притом единственное, удовлетворгпощее уравнению (11.2.3), непрерывное в замкнутой области Р, включая границу,и удовлетворяющее условиям (Н .2.5) п (11,2.6). Сформулированная задача охватывает почти все основные задачи теории упругого режима фильтрации. Рассмотрим подробнее физический смысл тех или иных дополнительных условий. Область, в которой ищется распределение давления жидкости, обычно представляет собой пористый пласт, частично имеющий непроницаемые границы, а частично сообщающийся с другими пластами и вскрывающими его скважинами.
На непроницаемых границах должно удовлетворяться очевидное условие отсутствия потока— равенство нормальной компоненты скорости фильтрации нулю: и„=- О, откуда, используя закон Дарси,получаем (дг ар)„= —,=-О. др (11.2.7) На участках границы с областями, в которых перераспределения давления практически не происходит (»области питания»), давление можно считать постоянным н известным, так что р[г=1(х у з). (Н.2.8) Такое условие справедливо, если, например, рассматриваемый пласт граничит с высокопрошщаемой областью, запас жидкости в которой весьма велик. Давление на границе такой области близко з» ~з носит название козффициента пьезопроводности. Уравнение (11.2.3) обычно называется уравнеяием упругого режима или, по предложению В.
Н. Щелкачева, уравнением пьезопроводностн. Оно совпадает с хорошо известным классическим уравнением теплопрозодности. Постановка задачи об упругом режиме пласта бгзла дана в работах Тейса [160[, Джекоба [138[ и независимо В. Н. Щелкачевым [123). 2. Рассмотрим постановку основных задач теории упругого режима. Определим распределение давления р в некоторой замкнутой области пространства 11 на протяжении промежутка времени 0 ~ ~ г ( Т. 1! з теории уравнения теплопроводности известно, что если задать на границе Г области В линейку»о комбинацию давления и его производной по нормали к границе области и„л(з = — — л(з.
Л'д р д где и, — нормальная проекция скорости фнлгярации на рассматриваемом участке границы. Отсюда имеем др Лэр Л-'р' — +- — —. — =- сопзг, дп ЛА ЛХ (11.2.9) т. е. условия третьего рода. Все три типа условий являются частнымп случаями общего условия (11.2.5). Таким образом, задавая начальное распределение давления и указанные условия на границе, получаем однозначно разрепшмую задачу. й 3.
УРАВНЕНИЯ БЕЗНАПОРКОЙ ФКЛЬТРАЦИИ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ 1. Общая постановка задачи. Под безнапорным фильтрационным движением понимают движение со свободной поверхностью, на которой давление жидкости постоянно н равно внешнему атмосферному давленша. Наиболее часто приходится встречаться с безнапорным движением подземных вод; безнапарное движение нефти встречается сравнительна редко, только при шахтной добыче. 20 и среднему давлению в ней и ввиду ее болыпого абьема мало зависит от процессов, пронсходящпх в исследуемой области.
Характерным примером является нефтяная залежь, окруженная со всех сторон обширной водоносной областыа. При рассмотрении нестационариых процессов в залежи давление в водоносной области можно сппать постоянным. Следует, однако, отчетливо представлять себе, что понятие области настоянного давления ие является абсолютныль Чем более длительный характер носят изменения давления, тем на ббльшую область ани раскростракяются. Часть границы области фильтрации обычно образована стенками скважины или дренажных галерей.
На втой части границы чаще всего задается либо давление жидкости, либо поток ее через стенки скважины. Выбор того или иного условия завищгг ат режима работы скважины нли галереи. Могут быть и более сложные условия, когда задается связь давления с расходом жидкости. Задание потока гкидкости согласно закону Дарсп эквивалентно заданию нормальной производной от давления.
Ус.ловил этого типа вьшолняютск на тех участках. границы, через которые может происходить обмен жидкости с соседними пластами через сравнительно слабопроницаемые перемычки. Если толщина перемычки Л мала, а давление р' за ней можно считать постоянным, то расход вытекающей жидкости через участок перемычки площадыа л(з составит (Р ' . Это количество жидкости РА должно быть равно Рассмотрим безнапорное движение в однородной и изотропней пористой среде, область течения будем предполагать ограниченной снизу непроницаемой и криволинейной поверхностью — водоупором. Закон Дарси в рассматриваемом случае можно записать в виде: и= — СрайЬ; Ь==вчьр/рд.
(11.3Л) Величина С, иьгеющая размерность скоросы|, называется козффициентом фильтрации, Ь вЂ” напором, а функция СЬ вЂ” фильтрационным потенциалом. Заметим, что для безнапорного движения изменения давления обычно настолько малы, что пористую среду можно считать недеформируемой, а жидкость несжимаемой, так что С = сопз1, рд =- солзг. В точной постановке исследование безнапорного фильтрационного движения представляет исключительные трудности математического характера; относящиеся сюда постановки аадач н результаты можно найти в книге П.
Я. Полубарнновой-Кочиной 194). Позтому приходится обращаться к некоторым упрощенным постановкам. Большое значение имеет приближенная постановка задачи о безпапорной фильтрации. соответствующая случаю движения, которое будем называть п о л о г и м. Под пологим фпльтрацнонным дви. женисм понимается движение, происходящее в пластах с конечной глубиной водоупора, в котором вертикальная компонента скорости фильтрации и, мала сравнительно с горизонтальной компонептойг. Так как характерной скоростью в безтгапорном фильтрационном движении является скорость С, то горизонтальная компонента скорости фильтрации может быть либо порядка С, либо малой сравнительно с С. В обоих случаях ясно, что вертикальная компонента и.- мала сравнительно с С, т.
е. (11.3.2) Зто неравенство можно переписать еще так: (П.3.3) 11о — представляет собой ту часть вертикальной компоненты Ри~ ь градиента давления, которая обусловлена фильтрацией .кидкостн. Неравенство (П.3.3) показывает таким образом, что вертикальная компонента фильтрационного градиента давления мала сравнительно с гидростатическим градиентом давления. Поэтому распределение давления по вертикали можно в случае пологих движений считать гидростатическим. Выведем важное для дальнейших рассу'кдений соотношение. Рассмотрим объем $', ограниченный свободной поверхностью жидкости и некоторой цилиндрической поверхностью с вертикальными образующими. Обозначим через Ь расстояние от свободной 21 Поскольку, по'предыдущему, давление распределяется по вертикали с точностью до малых величин по гидростатическому закону, величина Ь вдоль каждой вертикали будет постоянна и равна Н: Ь (х, у, з, г) =Н(х, у, з, г)+ О (и,!С); и =- — С нгаб Н+ О (и,).
Таким образом, скорость и можно, пренебрегая малыми велггпгнами, вынести из-под знака интегрирования по верткчгали в соотноьтенин (П.3.7), определяющем вектор ю. Тогда получаем ю= — СЬдгай Н. (П.3.10) Подставляя (П.3.10) в (11.3.17), имеем — = — бру (Ь ягаб Н). дь С дс и (11.3.И) В это уравнение следует подставить соотногпение Н(х, у, г) =- Ь (х, у, г) + Ь, (х, у), определяющее вертикальную координату свободной поверхности Н через ее расстояние Ь до водоупора и расстояние Ь от водоупора до плоскости отсчета г — О; получим окончательное уравнение для определения Ь.
В частности, если поверхность водоупора представляет собой горизонтальную плоскость, то ее можно принять за плоскость отсчета и, следовательно, Ьа (х, у) можно считать разным нулю. Тогда П =- Ь, и уравнение (П.3.11) принимает вид: — =аггЬз4 а= дл с 'ли (П.3.12) д! " 2т 2мр ' Уравнения (П.3.11) и (П.3.12) были даны Буссинеском (1331- 4 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
