Г.И. Баренблатт, В.М. Ентов, В.М. Рыжик - Теория нестационарной фильтрации жидкости и газа (1132325), страница 6
Текст из файла (страница 6)
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФИЛЬТРАЦИИ ГАЗА — +а1чра=-О дац> д! (11.4.1) изменением пористости лг во времени можно пренебречь, так что получим т —,+йтри= — О. др (П.4. 2) Для того чтобы получгггь замкнут.,чо систему уравнений, снова нужно использовать связь плотности газа р с его давлением р и температурой 7': (11.4.3) При исследовании фильтрации газа основное значение имеет тот факт, что сжнмаемость газа обычно на несколько порядков превьипает сжимаемость пористой среды.
С учетом этого обстоятельства в уравнении неразрывности поэтому в задаче появляется новая переменная Т, и для замыкании системы уравнений нужно добавить еще одно уравнение — уравнение энергии. Однако, если в среде отсутствуют источники выделения плн поглощения знерппц то изменения температуры в процессе движения газа к ~айне малы, и прн расчете поля давления газа ими можно пренебречь. Это обстоятельство легко понять, если учесть, во-первых, крайнюю малость скорости фильтрации и, во-вторых, наличие теплового балласта — скелета пористой среды, аффективна подавляющего изменения температуры. Будем позтому считать.
что (П.4.4) р==- р(р, Т.) =-р(р), где Та — постоянная температура. Присоединяя к уравнениям (П.4.2) и (П.4.4) уравнение закона фильтрации (предполагаемого линейным) ь и= — — дгайр, р (П.4гй) получаем затгкнутувз систему уравнений. Исключая скорость фильтрации,имеем л зг йб'т ( ~ кгас) р)' (П.4.6) В уравнении (П.4.6) р — известная функция давления.
Аналогично и вязкость газа, зависящая в общем случае от давления и температуры, может быть представлена в виде: р=р(р, Та)=р(р). (П,4.7) Таким образом, и вязкость может считаться известной функцией одного лишь давления. Введен теперь функции Р (р) = й ~ Р (аР) ~Р; к (Р) =- ( — Р ) а Уравнение (П.4.6) принимает при зтом вид: — =к(Р) ЬР. (П.4.8) (П.4.9) р = сопз1, р = —— РоР Ро (П.4. 16) Можно показать, что уравнение для давления сохранит форму (П.4.9) п в случае, если учитывается деформируеиость пористой среды, т. е. зависимость от давления пористости и проницаемости (среда по-прежнему считается однородной).
В простейжетг случае, когда газ можно считать термодинамически идеальным, с вязкостью, не зависящей от давления, (ра и рв — постоянные). При этом Р(Р) = — — "'; х =-— а гт. л.~ 2ргв ' гар и уравнение (П.4.9) преобразуется к виду: ар~ ар — = — Лра дг п(и (П.4.11) (П.4.13) — = — Лрт. (П.4.13) д~ 2мр Уравнения (П.4.12) н (П.4.13) выведены в предположении постоянства температуры газа Т . Поэтому нх обычно называют уравнениями изотермнческой фичьтрации газа. Уравнение (П.4.13) — основное для теории фильтрации газа— получено впервые Л.
С. Лейбензоном (70), а затем, несколько позднее, в работе Маскета и Ботсета [148). Преобразование (П.4.8) тагске берет свое начало от работ Л. С. Лейбензона. Поэтому будем называть функцию Р (Р) функцией Лейбензона. Далее уравнение (П.4.13) совпадает с уравнением Буссинеска (П.3,12) для напора прп пологих безнапорных фильтрационных движениях. Эт» аналогия, впервые обнаруженная Л. С. Лейбензоном, позволяет рассматривать исследование изотермнческой фильтрации газа и пологих безнапорных движений несжимаемой жидкости ьак одну задачу. Глаза 111 ТЕОРИЯ УПРУГОГО РЕЖИМА ФИЛЬТРАЦИИ $ !. ОДНОМЕРНОЕ ПРЯМОЛИНЕЙНО-ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ Под упругим режимом фильтрации, как уже упоминалось аыгпе, понимается фильтрация упругой слабосжимаемой жидкости в упругой пористой среде.
В зтих условиях распределение давления описывается классическим уравнением теплопроводности (Н.2.3). Хорошо рааработанная техника решения етого уравнения при различных начальных и краевых условиях применима н к задачам теории упругого режима. Разнообразные конкретные решения могут быть заимствованы, например, из руководства Карслоу н Егера 154) и из других исто~ников.
Однако задачи теории фильтрации имеют свою специфику, связанную с наличием некоторых малых параметров (например, отношения радиуса скважины к размеру пласта), которая в ряде случаев существенно упрощает решения. Позтому приводимые ниже примеры предназначены не только проиллюстрировать постановку и способы решения основных задач, но и обратить внимание на зту специфику, отличающую зги задачи от задач теплопроводности.
Читатель, заинтересованный в ознакомлении с другими аспектами теории упругого режима„может обратиться н книгам (124, 125, 3, 38), где рассмотрено большое число задач, от самых простых до весьма сложных задач движения в неоднородных пластах. 1. Рассмотрим движения жидкости, для которых скорость параллельна оси х и не зависит от координат у и х. Давление при атом удовлетворяет уравнению (П 1.1.1) Наиболее интересны случаи, для которых в начальнгкй момент движение в пласте стационарно. Поскольку стационарное распределение давления также удовлетворяет уравнению (П1.1 1), удобно отсчитывать давление в каждой точке от стационарного зна- 26 Р(х, 0)=-0.
(1П.1.2) Предположим, что в плоскости х = А давление сохраняет постоянное значение, равное начальному: Р(й, г)=0. (ПП.1.3) Такое условие выполняется. если, например, рассматриваемая область граничит с обширным хорошо проницаемым водоносным пластом. Обозначим через г' (г) функцию, описываюгцую изменение давления в начальном сечении х = О. Чтобы получить решение уравнения (П1.1 1) при указанных начальных и краевых условиях, применим к нему преобразование Лапласа [42, 43, 6Я: Е [Р(х, Г)) =Р(х, а)=~ е-'»Р(х, г)й, » (П1.1.4) в результате чего для траисформанты Р получим уравнеиие (1П 1.5) при граиичных условиях Р(О)=г [1(г)[=Р( ), Р(т)=-О.
Искомое решение уравнения (П1.1.5) имеет вид: (1П.1.6) »и [[Š— х) 1 о/х! Р=-Р (а) »[~ (е 1' о! х) (1П.1.7) Кроме распределения давления в пласте для приложеиий обычно важно знать также поток жидкости через начальное сечение пласта а =-- 0 и через удаленную границу (контур питания Ь). Расход жидкости, приходящийся на единицу площади, равен (П1.1.8) Используя (1П.1.7), получаем для траисформанты () выражения (П1.1.9) 27 чеиия Р» (х). Введенная таким образом разность Р == р — р» удовлетворяет уравнению (П1.1.1) с пулевым иачальным условием Соотношения (П1 1.7) и (111.1.9) дают решение поставленной задачн, если воспользоваться общей формулой обращения для преобразования Лапласа; т-!«О Р(х, г) =- —,—, ~ Р(х, а) е"сЬ, у>0.
(!П.1.10) 2. Примененне такого операционного метода и задачам упругого -режима удобно в том отношения, что позволяет леы;о нсследоштть аснмптатпческое поведение полученного решения при балыках п малых значениях времени, да'т'е не выписывая ега полностью. Это обстоятельство особенно важно применительно к сложным задачам, для которых аффективное осуществление сора«ваго прсобрвзовання затруднено. Кроме того.
ано дает значптельпые упрощения прп решеннп обратных задач, когда речь идет об определеннн гидроднпамнческнх характеристик пласта по данным намерений давлений п расходов (ср. $ 4). Из формул преобразования Лапласа (Ш.1.4) и (1П.1.10) непосредственно видно, что поведение решення прн малых значениях времени г определяется аспмптотпкай изображения прп больппгх ~ о( и обратно — поведение преобразованной.функцпп пря малых (о( определяет аспмптотпку оригинала при болыпнх б Различные приемы определения аспмптотпк и пх оооснованпе можно наптп в кшггах [42, 031. Конкретизируем теперь впд функции 1(т), прпняв ее равной пастонннай Ро.
Прп етом предполагается, что в начальный момент давление на гранпце пласта принимает новое фиксированное значенпе; прн этан Г = Ро/а. Из (П1.1.7) и (П1.1.9) имеем Рассмотрпм вначале поведенпе решеншо прп малых временах, т. е. будем рассматрпвать (П1.1.11) прп больпшх (о(.
Выразиьг в (П1.1.11) гиперболические функция через показательные и, считая -2Г. ~' 2Ь )у' — )» 1, разлоя;пм зтп выраження в ряды по степеням е Тогда Р(х о) = — зу ехр [ — ог — (х+27,гг)))— «-о (П1.1Л2) Производя почвенное обращение рядов (П1Л.12) (соответствующие формулы обращения выводятся, например, в книге М.А. Лаврентьева и Б. В. П1абата (63), гл. 6, 2 1), имеем Р(в, «) =.р' ~~»~ [ег(с = — — ег(с — =- — ~; (П1ЛЛЗ) 2«п+х 2Е (» 61) — »1 2 Уз« 21' к« -» 3. Полученные ряды, как нетрудно убедиться, сходятся при всех «п,т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
