Г.И. Баренблатт, В.М. Ентов, В.М. Рыжик - Теория нестационарной фильтрации жидкости и газа (1132325), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Считая, что радиус скважины мал по сравнению с расстоянием меьтду соседннмп скважинами 2а, воспользуемся упомянутым в предыдущем пункте выражением для давления, получаемым нз автомодельного решения. Имеем р= —," р* ~ К; ~ — ' '";з)' ' 1. (П1.2.11) Практический интерес обычно представляют два вопроса: темп снижения давления в скважинах цепочки и темп снижения давления на большом удалении от цепочки. Положим поэтому сначала у )~ а. Вычислим давление в точках, леекащеех на осп у. Имеем а -ео 2р 'е, 4 Е' р ~З~Е р~ е е р~ 4ке е и 1 а е (П1.2 18) Последнее выраеееепие можно преобразовать, используя тождество !41, Л(е 552, 6): ~~е~ехр( — )е'иа)= — 2+ ~" ~~ +~~~~е~ехр ( — л "", я. (1П.2.19) Имеем р(0, р)= — — р ) ехр ет — — ' 2 .) ~ 4аз е еееЕз а' аае — ра ) ехр( — — "",— ')~ехр ~ — —,) —,.
(111.2.20) ай а-е В последнем интеграле, в силу быстрой его сходнмости на нижнем пределе, мол<но интегрирование вести от нуля. После этого результат почленного интегрирования ряда может быть найден достаточно просто. Имеем (напрнмер, непосредственно по таблицам преобразо ванна Лапласа) ~ е хр ( — — '""' — — '"' ) — ",'~ — — — ехр ~ — — "" ) . (П1.2 21) 3 Таким образом, по мере удаления от батареи скважин различие давлений между отдельными точками прямой у = сопз1 быстро исчезает и уже при у = а им можно пренебречь.
Полученные результаты показывают, что вне полосы [у[~ а движение можно с высокой степенью точности считать одномерным; напротив, внутри атой полосы существенна неодномерность движения, связанная с наличием точечных стоков (скважин) вместо распределенных, Вычислим, используя формулу (Ш.2.22), давление в сквазкине, положив у = р (р (( а — радиус скважины).
Имеем р(0, р) =- —. р*~ — 1п — Р-+...). (111.2.26) Выражение (Ш.2.26) показывает, что давление в скважине отличается от давления на галерее с тем же дебитом на единицу площади сечения пласта лишь постоянным слагаемым р 1в~ — у. Это обсто/ лр 1 а ятельство позволяет'вести расчет батарей скважин так же, как и рассчет галереи, добавляя к перепаду давления величину рь 1п ~ — ~. /ярк Соответствующий метод (еметод фильтрационных сопротивленийэ) разработан Ю.
П. Борисовым [33[ первоначально для стационарного движения; его применение к нестационарным процессам дано в работе [113). Метод сводится к тому, что сопротивление притоку к скважинам разбивается на два соединенных последовательно: внешнее сопротивление, отвечающее движению вне галереи, и внутреннее, определяющее разность давлений между скважиной и фиктивной галереей. Применительно к нестационарному движению особо важное упрощение доствгается благодаря тому, что нестацнонарность следует учитывать лишь для внешнего давления; добавочное сопротивление при переходе от скважины к галерее можно считать постоянным. $ 3. НЕКОТОРЫЕ СПЕ11ИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ УПРУГОГО РЕЖИМА Рассмотрим теперь несколько более сложных задач, имеющих существенное значение для приложений.
1. Предположим, что плоский пласт состоит из двух областей с различными свойствами (проннцаемостью, пористостью и т. д.), разделенных прямолинейной границей (рнс. 111.1). Пусть в момент — 0 первоначально стационарное состояние возмущается в результате пуска скважины в точке (а, О) с постоянным расходом д. Тогда распределение давления в каждой из областей описывается уравнениями 1 др ~Р ~-'Р (1П.ЗЛ) — д" = ~~+ ~ — Р дб(у)б(х — а); (х)0). хг дс дх~ дд~ А 37 На границе х =.-.
О выполняются условия непрерывности давлений н потоков: Р(х — О, р)=:Р( +О и); !. ~, '' =-й. (И1.3.2) Во втором уравнении (И1.3.1) в правую часть непосредственно введен точечный источник интенсивностью д. Через б,каь обычно, У обозначена дельта-функция, определяемая условнямн (см., например, [106 1) д; ) 6Я)!($)д~=-!(0); 6(с)=0; Я+ О). (И1.3.3) Применив к уравнениям (И1.3.1) ьосинус-преобрааованне Фурье и преобразование Лапласа, получим р с.шл (И1.3.4) и ° ~~,) зь, где Р(х, ю, о)= (соевую ( е "р(х, р, т) Ю. (И13 5) о 0 Наличие в правой части уравнения второго порядка (1И.З.4) величины~ — ) 6 (х — а) означает, что Р удовлетворяет одяородг вч ~ зз,о,) ЬР ному уравнению при х + л, а прн х .--= а производная — претерлх левает скачок величинои —, тогда как сама величина Р непреве 2!чо ' рывна.
Учитывая ато, легко выпясать решение уравнений (1И.З 4), удовлетворяющее условиям сшивка при х = 0 и стремящееся к нулю прн х — +.оо. Это решение имеет вид: Р(х, ю, а)=С)сйг,х+ — ' т елзтхД. (О(х(а); Р(х, св, а)=Ае "'; (а(хс 'оо); Р (х, о, о) = Се""; (х~О); ~/ю2 ! . з юй+ 1 (1И.З.О) где А— йдол ° од+ гл ода+ — вЬ ода азад Зд (1П.3.7) удод+ йыо Пусть оаз(хд )~ 1 (т. е. рассматриваются малые времена; 1 ~( с, ад/яд). В атом случае Р( +р) = — —,",", '„ (1П.3.9) Чтобы вычислить лапласово изобраясение давления, необходимо выполнить обратное косинус-преобразование: СО 2 г р (х, у, о) = — 1 Р соя оду Йо, (Ш.3.10) откуда р(а-)-р, О, и)=- — ~ Р(а-+р)йз. о (П1.3.11) Подставляя (П1.3.9) в (П1.3.11), имеем а С о зд - ~'Т - -"1~Т вЂ” — — — ддп= — 2 2л гдов — р).
(Ш.3.12) о Используем известное соотнодпение Тогда ~ 1д (~ — р)- —: ~ ~ 1 ехр( — ~~ )д(2=- — ~ Е1( — ~, ). (П1.3-13) 39 Проанализируем теперь полученное решение. Определим сначала давление в точке х = а + р, у = О (р ~~ а).
Имеелд Полученный результат, конечно, вполне очевиден; он означает, что для достаточно малых времен ()г (~ аг/хд) влиянием второи воны можно пренебречь, и давление распределено так же, как и в однородном пласте. ПУсть тепеРь имеетсЯ обРатное неРавенство: тг )) аг/хд„ так что а (~ хд/аг. Прп этом вклад первого члена (Ш,Зп8) не изменится; вклад же второго члена уже не будет пренебрежддмо малым. Представим его в виде: )сч 'дхР 1 — (2п+Р) од) / "д — )сг ( 2)с~)с~ (о~ — ог) ) (1П 3 14 4адо о, Х ад+Од (Од+ад) (О од+им l Первый член (1П.ЗЛ4) подобно выражению (П1.3.9) отвечает течению от источника, помещенного в точке ( — а, О) и пущенного Лд — дсг в момент 1.= — О с дебитом д —; его вклад может быть легко дсд+дсг ' вычислен.
Второй член (Ш.3.14) дает после обращения дд(о+Р о) — . — ) — --.- — -- — — — — — ' — сйо. (П1.3.15) РЧ Лг с охР1 — (2п+Р) од) од — ог я(й,+Ф,) о 3 о, Здод+дчс, о Интеграл (П1.3Л5) принимает при а = О конечное значение — с4 о. о. Это означает, что при болыикх временах распределение давления имеет весьма простой впд, причем опущенные члены стреиятсн к нулю прп 1 -с. оо: Я(Ь'+ог)з, /(о(Р )сг//сд)* (Рг= — хд/хг). (П1.3.16) В табл.
1П.1 приведены значения интеграла Ло для случая Ро =- й /)сг Тпб.сссца ТП-1 ос!ос осдос 0,267 0,534 1,030 2,030 11,400 0,01 0,1 0,2 0,333 0,5 П. Н. Полубаринова-Кочина !9Я рассмотрела аналогичнуас стацддонарную задачу и показала, что распределение давления в той части пласта, где находится источник, совпадает с распределением давления в однородной среде при действии двух источников интен- 40 — 0,022 — 0,195 — 0.120 — 0,123 — 0,106 1 2 3 5 10 100 гишначью д и ).д(где ). = ), расположенных симметрично а,+ьв ) ' опн>д.игольно границы раздела. Как мы видели вьяпе, то же имеет посто и для движения прн упругом режиме. При этом следует иметь в виду.
что появление дансинг>тельного члена Лв не противоречит сказанному„поскольку при стационарном движении давление определено г точностью до постоянной; при нестацяонарном же движении >якого произвола уже нег, так как естественным началом отсчета служит давление в невозмущенном пласте. Рассмотренную задачу впервые изучил В.
А. 1>1аксимов (75, 3). Приведенная упрощенная форма решения удобна прн анализе <>ешеиия для участка пласта вблизи скважины. Для удаленных д.частков пласта решение может быть представлено по-другому. Выполним это для точек, расположенных на оси у, считая у )) а.
При этом Р (О, о>, а) =- С и р(О, у, о) = — ~~ С ~ . (111.3Л7) я<> а,< в +(<дд)<дд) вз * в При у ~) а и ава/кд ~( 1 главный член выражения (Ш.3.17) имеет вид: р(О, у, а)=— рч г влы лада 3 вд+ <дд) вдвв в <дч (1/ а ) ядуд (' сов взг (вд — дв) ><в> яа (<с>+ >гд) в <у яд в/ <ддка (<дд+ ив) ) дд (дд+ <>в/>ддвг) о > '(гь Р, )дь>)дд)= ~~ г- г сов д<в г<т ,) у'<+ч ()'Г+чд+р'р+тд)(У(+дв+Ьзяд)гр +т)' (ы=ч <>о/х,; — рд< мд/хв; т)=-уу'а/~).
(111.3.18) р(х, у, <) = ~у 1(1, 6), д (П1.3. 19) г д)де с =; г и тд — полярные координаты. 2 Укдд Полученная асимптотика имеет простой смысл. Если точка, в которой рассмйтривается решение, удалена от начала координат на расстояние, ббльшее по сравнению с а, то точное положение скважины уже не имеет значения. В частности, можно в первом приближении считать скважину располоя;енной непосредственно на грашще пластов. В видоизмененной таким образом задаче уже отсутствует хараятерный размер, и она имеет автомодельное решение вида: др 1 д я» д» г дг г —.)+ — —, — — Ь(г — а) 6 (6) (гс 'В); ~-) зри ( д-р Рч дг ) го дно йн 1 др 1 д / др Х 1 д'Р— — =- — — ~г — )+ — —.- (г гВ), я» дг г дг~ дг) г"' део г =- В выполняются условия сшнвнп: р( — О, Е, 1)=р(В+О, Е,(); др(Н вЂ” О, 8, «) др(К+О, 9, «) й — — -' — ' =й дг (1П.3.20) а на границе (1П.3.21) Представив решение рядом Фурье, получим для коэффициентов я оо Р„(г, а)=.— — д1 ) е «р(г, О, ()сов иОАИО (П1.3.22) 2 г о о выражения Р„= СХ„()гга(х г) (г( а); (1П.3.23) Ро==ВХо((lа/х, г)+ Х)К« ЯоЯг) (а(г(В); Р„==- АК„(ДI о7~ г) (г ~В).
Здесь В= "д Х„(а) Х Ко(Р») 1Ко «(рро)+ Ко» ЯроМ вЂ” рКо г (Ро) Ко Яро) — рКп (Ро) Кол ЯР«) Хо (Ро) (Ко+» (РР»)+ Ко-»(РРоИ+()Кл(РР») (тон (Ро)+то-» (Ро)) Приведенное выше выражение (П1 3.18) отвечает значению 6 =- я/2. Можно уточнить рассмотренную асимптотику, учитывая следующие члены разложения. Чтобы понять смысл последующих членов разложения, заметим, что, «сдвигая» источник в начале координат (т. е. полагая а =. О), мы вносим ошибку, которую можно компенсировать, добавив «пару» нз стока в начале координат и источника в точке (а, О). Действие этой пары можно приближенно заменить действием= «днполя» интенсивностью да, расположенного в на/гнл ~ ° Лт, лт чапе координат. Отвечающее ему решение * также автомодельно. Подобным же образом может быть произведен учет высших поправок.
В результате решение для больших г окажется представленным в виде наложения Рво. П1.2 автомодельных решений сравнительно про- стого вида. 2. Рассмотрим теперь аналогичную задачу о влиянии неоднородности пласта, считая, что неоднородность имеет круговую форму (рис. 1П.2). Имеем [7 е качо за~о А= — --, ' —; Г«(рз) Ка(оа) . кп(роз) ' кп(равд ' т кт ' я~ ' (П1.3.24) р=)/ — г. а.=- ~/ — а Выберем точку г =- а — 6, 0 ~ 6 (( а. Имеем Р„(а — 6) =В1„(р) — Рч К„(а) 1„(р) . (П1.3.25) ваго Соответствующий второму члену разложения (П1.3.25) ряд Фурье суммируем. Тогда р (р, 6, о) =. — Р„+ ~~ Р„соз пВ = л 1 ОЭ = — — "'- ~ К, ( ) 7. (р)+ г К.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
