Г.И. Баренблатт, В.М. Ентов, В.М. Рыжик - Теория нестационарной фильтрации жидкости и газа (1132325), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Можно показать также, чта при фиксированных напряжениях и изменение давления жидкости вообще не будет приводить к измепеншо объема скелета, независимо от того, какова сжимаемость его материала. Таким образом, рассматриваемый опыт даст нам зависимость пористости от нагрузки о, составляющей лишь часть истинных напряжений, действующих и скелете пористой среды: Р д =-о~=- н — р(1 — т). (1.3.4) Величину оГ будем в дальнейшем называть фиктивным напряжением. Важная особенность пористой среды, отмеченная выше, заключается в том, что изменения занятога ею объема могут происходить при весьма малых изменениях собственного объема твердого скелета, почти исключительно за счет его перестройки.
Простейшей моделью подобной системы рнс, Б4 меокет служить пружина, погруженная в воду (рис. 1.4). Объем цилиндрического тела, ограниченного пружиной, практически не изменяется при изменении давления жидкости и может сильно измениться, если приложить по концам противоположно направленные силы. В фархаду для вычисления осадки пружины следует подставлять величину истинных напри'ьений за вычетом слагаемого.
обусловленного давлением жидкости. Аналогичные соображения применимы и з более общих случаях. Таким образом, опыт, поставленньш в условиях произвольного нагружения, даст нам занисимость пористасти не от тензора истинных напряжений, действующих в скелете пористой среды, а от тензора фиктивных напра келий.
Ввиду того что при действии на пористую среду одного гидростатнческого давления касательные напряжения в пористой среде не возникают, касательные компоненты тензора истинных напряжений и тензора фиктивных напряжений совпадают, а нормальные компоненты отличаются на величину р (1 — т), имеем о(г- п7,: — р(1 — т)б, (Е, 1=-1, 2, 3...), (Б3.5) где ац — компоненты тензора фиктивных напряжений; ос; — компонеиты тензора истинных напряжении; бц .= 1 при 1 =- г', б~~ — — = О ири ~ =р у. Будучи величинаьги скалярными, пористость и проницаемость могут зависеть только от инвариантов тензора фиктивных напряжении. Следуя Н.
М. Герсеванаву [37!, зависимостью их от второго !3 п третьего инварнантов тензора фиктивных напряя'ений пренебрегают ', откуда т =- т (В, р); й = — й (В, р); В =.- о(--' о1- оз 3 (1.3.6) и,; = пм + тРб;; = о(1 + ($ — т) Рб;у + тРбм — — п(1+ Рбб. (1.3лч) Пусть р — суммарная плотность системы жидкость — пористая сРеДа, а Д1 — компонента вектоРа УскоРениЯ силы тЯы ести по оси ло Тогда уравнение равновесия системы жидкость — пористан среда имеет вид: (1.3.8) Считая жидкость слабосжимаемой, можно положить в уравнении (В3.8) р = р„, где рв — постоянное исходное значение суммарной плотности.
Таким образом, суммарное уравнение равновесия з Возможность такого пренебрежения связана с теы, что в действптельностп порпстосгь, пронпцаезюсть и т. и. зависят от отношенпй взпряжешпз к некоторым посгояввыы для среды велпчпнам типа козффпцпевтов юю1мземостп, которые не менее чем на порядок больше нзяряженпй. Поэтому превебреженпе вторыми н третьвмп ннзарпавтамп означает нз самом дезе пренебрежение квздратпчвьвш н кубнчньшп членамп, т. е.
лпнеарпззцпю. 14 где п„п„, аз — главные нормальные фиктивные напряжения, а г1— 1 1 среднее напряжеппе. Величину В можно связать с давлением р, если рассматривать напряженное состояние в пласте. Пусть Н вЂ” глубпна залегания власта, й — его мощность, а р„— средняя плотность горных пород. Обыкновенно нефтяные пласты располагаются па значительной глубине под дневной поверхностью и их мощность мала сравнительно с глубшитй залегания, т.
е. Ь (~ П. В атом случае удается свяаать изменение величины О с изменением давления р. В самом деле, лежащие над пластом горные породы поддерживаются скелетоы пласта и насыщающей пласт жидкостью, так что вес вьпиележащих горных пород уравновешивается систеыои напряжений в пористой среде и гидродинамическим давлением жидкости.
Составляюп1узз пласт систему жидкость — пористая среда можно представить себе как некоторую деформируемую систему, касательные напряжения в которой совпадают с касательными напряжонпями в пористой среде, а нормальные напряжения равны сумме истинных нормальных напряжений, деиствующих в пористой среде, и доли нормальных напряжений, воспрпиимаеиьгх жидкостью (зта доля равняется, очевидно, проичведеншо пористости иа давление жидкости).
Изгеем, таким образом, выражение для компоненты суммарного напряжения о;;: системы жидкость — пористая среда оьончатечьно записывается в виде: доы ать +Рад;=-О (1.3.9) Значение Ьрмькс/родН обычно не превышает одной-двух десятых; величина Ь/Н исчезающе мала, так что изменение напряжения во ' Если пласт вакяоввый, то вместо всртпкаяьвото нормального вапряжевпя следует взять вапряжевпс, перпевдпкулярпоо направлению вапяастовавия, которое обычно пмсст тот я<с порядок. 1,> п, как видно, это уравнение не зависит от времени. Пока'кем теперь, что и суммарные напряжения на кровле и подошве пласта (т. е.
на верхней и нижней ограничивающих пласт поверхностях) можно с большой степенью точности считать пастоянвымн. Физически объяснение этого факта сводится к следующему: упругое смещение, обусловлнваемое изменением давления жидкости, насыщающей породу пласта, пропорциональное, очевидно, мощности пласта, распределяется на всю огромную толщину Н вышележащего массива гарных пород, так что соответствующие относительные деформации в этом массиве малы и, следовательно, малы возникающие в нем дополнительные напряжения, в частности дополнительные напряжения яа кровле и подошве пласта. Поясним зто несколько подробнее.
Предположим, что давление жидкости, насьпцающей пласт, изменилось по сравнению с исходным моментом на величину бр. Обозначим величину изменения давления жидкости в том месте, где оно максимально, через бря,„„,. Для поддержания вьппележащих горных пород необходимо, чтобы напряжение в скелете пористой среды внутри пласта изменилось также на величину порядка Ьр. Соответствующая относительная деформация в пласте составила величину порядка бр/Е, где Š— некоторый эффективный модуль Юнга системы, а полное вертикальное смещение точки, например кровли пласта, — величину порядка в =- /сбр/Е, где й — мощность пласта. Заметим теперь, что, закрепив точки свободной поверхности, т.
е. обеспечив на свободной поверхности равенство нулю упругих смещений, а также заменив во всех точках пласта бр на бр„„„мы можем тишь увеличить возшшающпе дополнительные напряжения. Таким образом, если на свободной поверхностп вышележащего массива смещение равно нулю, а на глубине Н оно имеет величину порядка и„,, = Мрм„„,/Е, то, очевидно, соответствующее, напряжение о„„„, ямеет величину порядка омьяс = т,„сЕ/Н.
Отношение этого дополшгтельного напряжения к действующему на глубине Н вертикальному напряжению сжатия т, имеющему порядок ройН (ро — средняя платность горных пород— величина, примерно равная 2,5 г/смз), равно по порядку величины брмькс роХН Н веем вьнпележащем массиве и, в частности, на его границах мало сравнительно с исходным напряжением.
Позтому можно считать, что при изменении давления жидкости в пласте напряжения, действующие на кровле и подошве пласта, остаются постоянными. Предыдущее рассуждение существенно основано на том, что иодуль Юнга системы жидкость — пористая среда Е и модуль вышележшцего массива горных пород Е, имеют одинаковый порядок величины (что обычно имеет место в действительности). Если бы зги модули Юнга сильно отличались между собой, то выражение (1.3.10) содержало бы дополнительный множитель Е,/Е и при Е, » Е отношение напряжений могло бы и не быть малым.
бтизпчески зто означает, что в случае, когда вышележащая толща сложена из очень жестких пород, могут образоваться своды, и прп изменении давления жидкости напряжения на кровле и подошве пласта будут меняться. Если теперь пренебречь влиянием таких границ области фильтрации, как стеннп скважин (зтн границы имеют сравнительно очень малую протяженность; их влияние будет оценено ниже), то из незаввсимости от времени уравненгпй равновесия системы жидкость— пористая среда (1.3.9) и напряжений на кровле и подошве власта следует важный вывод о независимости суммарного напряженного состояния в системе жидкость — пористая среда от времени, так что — ~=0, откуда (1,З.И) Свертывая уравнения (!.ЗЛ1) (т. е.
полагая ~, 1 =- 1, 2, 3 н суммируя получающиеся уравнения), имеем в — „(от,+из.+а.'.+Зр) =О, отнуда вытекает важное соотношение Tлава 11 ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ й 1. УРАВНЕНИЕ НЕРАЗРЫВНОСХН Рассмотрим баланс массы жидкости в произвольном элементе объема пористой среды У, ограниченном поверхностью 8. За бесконечно малое время Нг приток жидкости внутрь элемента равен согласно определению скорости фильтрации — Ж ~ ри„йо =.
— 6 $ ') р (и и) г)о (П.1 1) (и — единичный вектор нормали; за положительное направление нормали принято направление внешней нормали к поверхности; и„— нормальная к певерхности Свставлягощая скорости фильтрации). Приращение массы жидкости внутри этого элемента равняется (11.1.2) Приравнивая выражения (11.1.1) и (11.1.2) и используя формулу преобразования поверхностного интеграла в объемный ~ри„с)о= ~ й)ч(ри) с)р, находим ) ~ — —; о(ч ри) ии = О, дмр, .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
