Г.И. Баренблатт, В.М. Ентов, В.М. Рыжик - Теория нестационарной фильтрации жидкости и газа (1132325), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Входящий в эту формулу приведенный радиус р" определяется из решения задачи о стационарном притоке к скважине в пласте с заданным распределением трещин. Например, для в вертикальной трешины длиной 2Ь р" = — —,', как это следует из решения, приведенного в э 3, п. 3. Ряд других задач о притоке к скважине с трещинами в призабойной зоне решен В. А..Максимовым (75). Если значение к«известно, например, по кризыи гндропрослушивания, то по кривым восстановления давления можно определить р* — наиболее важный параметр для расчета дебита.
Анализ кривых восстановления давления позволяет также обнаружить существование неоднородности пласта на больших расстояниях от скважины. Важнейшей задачей такого рода является определение .расстояния до прямолинейной границы. разделяющей области разной проницаемости. Решение соответствующих задач о притоке к скважине приводится в т 3. При малых т, т. е. больших а, функция Ч" (т) имеет вид, соответствующий однородному пласту.
Поскольку всегда а )) р, то на кривой Ч' (1п т) имеется начальный прямолинейный участок, соответствуюпн1й формуле (1П.4Л1) для однородного пласта. Для малых а люжно воспользоваться форцулами (1П.3.8), (П1.3.12)— (П1.3Л5), из которых следует Р (а+ р, а) = — — ~~ — ~К„~фl — р)+=„', '2 К (2а~)+ А~~. (П1.4.15) Пользуясь асимптотическими выраженинми для К„получим ф(о)= — = — — ~ 1па+ 1и — + 1п — + А21 Ра Р Г 241 Р' э1 — 22 ар д 4ял, ~ 4Х+аа ' 4ит Э1-~42 2х1 (П1.4.16) Ч" (т) = — Г) 1п т+1п — — ~, Г 2Э1 , 4 х1 1 4яэ1 Л1+ Лр У Р где приведенный радиус р* равен 1« р*=)'2рл( —,' ) " 'е'. (П1.4.17) Из формулы (П1.4.17) следует, что при больших т кривая Ч' (1п т) имеет асимптотнческий прямолинейный участок, наклон которого к оси абсцисс в 2й1/(721 + йэ) раза больше, чем наклон асимптоты для однородного пласта.
Расстояние до границы раздела зон разной проницаемости может быть определено по второму слагаХ1 емому формулы (П1.4Л7), есчи известно отношение —. Если неизвестная граница непроницаема, то можно положить 722 = О. При этом наклон асимптоты в два рава больше, чем в однородном пласте, а р* .= $~2ра. Таким образом, сравнивая даа прямолинейных участка преобразованной кривой восстановления давления, моя<но найти велин а чины — и —. Если известны значения н или р по отдельности, ро то может быль найдено искомое значение а. Рассмотренные до сих пор методы исследования относились главным образом к случаю монотонно изменяющегося дебита скважины. Иногда представляет интерес исследование скважин при периодическом изменении дебита.
Такой метод был предложен С. Н. Бузиновым и И. Д. Умрихиным (35!. При атом в пласте возникают волны давления, аналогичные тепловым волнам. Предположим, что дебит скважины в однородном бесконечном пласте, начиная с т == О, изменяется по закону Ч=- Чоз1вюб Таким образом, требуется найти решение уравнения (П1.2.1), удовлетворяющее нулевым начальным условиям, а также условию 2лаьр / др ~ — — — — — =д з1вый р ~ д,).- о (П1.4.18) Используя преобразование Лапласа Р (г, о), получим, что Р должно удовлетворять уравнению (П1.2.3) при граничном условии 2лвь дР ~ восо (П1.4.13) р дг ~~ р оо+оя Тогда, используя формулы, полученные в $ 2, имеем Чарно (г — ) 2лльр ~' Для больших времен, когда р1Н <4' 1, выражение для Р (г, о) г н упрощается: ( ~/а) Р (г, о) = — Р ' ~ =-- чи" Ф(о).
(П1.4.21) 2лаи од+со 2лЛЬ Для определения оригинала по изображению (1П.4.21) воспользуемся теоремой о свертке, которая дает р(Л) =- ЛМ ор(Л)=- ЧМ 1 — ехр~ — — 1з1пю(Л вЂ” т)сот. 2лвй 2лЛЬ д зо ~ йнт ~ о (П1А.22) Нас, однако, интересует изменение давления в скважине при г = р. Во всех практически интересных случаях период колебания 55 2л — значительно превышает характерное время. Тогда функцию в Ф [о) можно приближенно представить в следующем виде: Ф(а) =-. — — — — [и уо — — —,— — [и —, (П1.4.23) о ур2 2 во+со о 2 во.+от 4л Оригинал второго слагаемого есть — 1и —.
з1и вй Для вытрз 2в 4м числения оригинала первого слагаемого снова воспользуемся теоремой о свертке и формулой Е [1и 1) = — — 1и уо. Тогда о ~р(Х)=- — ) 1птсозв(г — т)Ыт — —,1и — -з[ив1 (П1.4.24) $ г $ ур' 2 ) 2в 4м о откуда можно получить р (р, Е) =-. — [ з1и оМ С[ (вт) — соз оМ Я (см) — з[в вс 1и — — ~, ч,рг. у' р~в 1 4яйз[ х (П1.4.25) где С1 (вт) и Я (вт) — интегральные косинус и синус (см. [46[). Функции С1 (в1) и Я (вт) при больших значениях, вт (превышающих 1) могут быть выражены асимптотическимп формулами: С1 (вс) =; Я (вс) = —,— —. оввс . я созвс вт 2 вт Тогда формула (1П.4.25) примет вид: р(р 1) = [' — — 'созвг — 1и — — з[иом+ — ~~ ° Чор ров 4яйь 'ч 2 4 х вс (1П.4.26) Из (П1.4.26) видно, что с течением времени изменение давления в скважине становится сипусоидальным с периодом 2я/в.
Последним членом в скобках, выражающим влияиие начальных условий, можно пренебречь уже через 2 — 3 периода. По изменению давления в скважине можно в соответствии с формулой (П1.4,26) по амплитуде и сдвигу фаз колебания давления (по сравнению с фазой колебания дебита) найти зиачения гидропроводности и параметра р'/х. 1'лава 1У НЕЛИНКЙНЬ1Е ИНВАРИАНТНЬ1Е ЗАДАЧИ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ ЖЦДКОСТКЙ И ГАЗОВ З $. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ИНВАРИАНТНЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ НЕСТАНИОНАРНОИ ФИЛЬТРАЦИИ.
АВТОМОДЕЛЬНЫЕ ПОЛОГИЕ БЕЗНАПОРНЫЕ ДВИЖЕНИЯ ПРИ НУЛЕВОМ НАЧАЛЬНОМ УРОВНЕ ЖИДКОСТИ 1. Общая характеристика инвариантных задач теории нестациоиарной фильтрации. В главе 11 было показано, что основные задачи гидродинамической теории нестационарной фильтрации приводят к краевым, смешанным или начальным задачам для нелинейных, как правило, дифференциальных уравнений в частных производных параболического типа. Нелинейность вообще характерна для многих актуальных задач современной гидродинамикя: газодинамики, теории волн, теории движений вязкой жидкости и т.
д. В настоящее время не существует сколько-нибудь общих аффективных аналитических методов решения достаточно широких классов нелинейных задач математической физики; это в полной мере относится и к теории фильтрации. Поэтому в теории фильтрации ~как и во многих других разделах математической физики вообще и механики сплошных сред, в частности) уже давно привлекли внимание своеобразные частные решеяия, которые выражаются через функции одной переменной. Вначале эти решения обратили на себя внимание только потому, что их получение сводилось к решению обыкновенных уравнений и представлялось (особенно в домашинную эру) более нростыи, чем решение уравнений в частных производных в общем случае. При построении различных приблия1енных методов решения, более общих, эти решения часто использовались как эталоны, позволяющие оценить точность метода.
(Приближенные методы аналитического решения сохраняют, особенно в теории фильтрации, свое значение и сейчас, прк широком внедрении машин, поскольку эти методы дают аналитические формулы, козволяющие наглядно проследить влияние различных параметров, а высокая точность в теории фильтрации не представляет особого интереса.
Эти методы будут рассмотрены в следующей главе.) В ряде случаев задачи, описываемые такими решениями, представляют н самостоятельный интерес. Однако главная ценность таких решений была осознана позднее. Оказалось, что они представляют собой асимптотические представления решений весьма широких классов задач именно там, где детальная структура граничных и начальных условий перестает быть существенной, а этн области часто бывают наиболее интересными (например, спустя некоторое время после начала отбора из скважины, пока воровка депрессии не достигла ооласти влияния соседней скважины и т. д.). Поэтому, зная такие решения, мы фактически получаем возможность судить, по кранней мере качественно, о поведении очень в~ирокого класса фильтрационных двшкений.
Ваниным свойством рассматриваемых ниже решений является их инвариантностга для одних из зп«х решений — «автомодельныхя — распределение давлений, напоров, плотностей и т. и. оказывается все время подобным самому себе, для других — перемещается как твердое тело с постоянной скоростью и т. д. Это свойство свяаано с особым характером задач, приводящих к таким решениям. Выполнение определенных преобразований зависимых и независимых переменных оставляет уравнения, граничные и начальные условия задачи неизменными. Как говорят в математике, зти задачи инвариантны относительно некоторой группы непрерывных преобразований. Такие задачи называются инвариантными, они рассматриваются ниже.
2. Автомодельные пологие безнапорные движения прн нулевом начальном уровне жидкости. Ниже будут рассмотрены точные решения некоторых нелинейных задач нестационарной фильтрации, характеризующихся нулевым начальным условием. Исследование этого класса движений представляет, помимо непосредственного, также прннцнпиальнып интерес, поскольку в подобных задачах наиболее сильно проявляется существенно нелинейный характер рассматриваемой проблемы и обнаруи«иваются некоторые свойства нелинейных движений, резко отличающие их от соответствующих линейных задач и неизбея«но утрачиваемые при лияеарнзацнп. Для определенности при исследованни задач с нулевым начальным условием будем рассматрпвать безпапорные пологие фильтрационные движения в первоначально сухом грунте, имея в виду, что в силу обнаруженной Л.
С. Лейбензоном аналогии (см. гл. П) все результаты непосредственно переносятся на задачи изотермической фильтрации газа. Излагаемые ниже в атом параграфе решения были получены Г. И. Баренблаттом [4, 5, 91. Рассмотрим полубесконечный пласт, имеющий снизу плоскую горизонтальную непроницаемую границу — водоупор, а со стороны канала — плоскую вертикальную границу (рнс. ГЧ.1), перпендикулярную оси х и проходящую через точку х = О. Пусть начальный напор жидкости в пласте равен нулю, а напор на вертикальной границе пласта изменяется по степенному закону, начиная с исходного момента 1 =- 1,: Ь(О, 1)=а(1-1е), (1У.1.1) где а )О, а а — некоторая константа, которую будем выбирать в пределах — —, (а (оо.
В частности, константа а может рав- 1 в няться нулю; в этом случае напор на границе мгновенно принимает некоторое значение с и остается постоянным. В случае фильтрации газа сформулированная задача отвечает закачке газа в первоначально не заполненный однородный пласт постоянной мощности при изменении давления газа н начальном сечении пласта х = О по закону (1У.1.1). Линиями равных напоров будут линии х =- сопз1, параллельные границе пласта. Таким образом, напор Ь (х, 1) удовлетворяет уравнению дЬ дтЬс С Ьрд де дхт ' 2т 2тр ' — =а=; а= — =- —,(1У.1.2) ,7777 . 7 получающемуся из общего уравнения Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
