Г.И. Баренблатт, В.М. Ентов, В.М. Рыжик - Теория нестационарной фильтрации жидкости и газа (1132325), страница 14
Текст из файла (страница 14)
(1Ч.1.36) Значение $0 (начиная с которого)(9, Л) ==О) получается в случае, если участив что Ч" (ро 9, Л)=:. О при р, 9 =" 1, откуда, а также иа (1Ч.1.34) следует, что В 90 «(к — вЂ”Ч = 2 О (О=; ~ )'8) (1Л7.1.38 ($~ у'8), имеющая «' (О, — '/0) = О. При Л( — т/0 «'(О, Л) положительно. Та64444ча 1у.1 1,ОО о,во 0475 о,во о,вб 0,90 О,об О,бб О,вб 0,50 0.8918 0,8850 0,89'ЗЗ 0.8876 0,8863 0,8982 0,89499 0,9 000 0,89 65 0,7756 0,78 28 ОУ735 0,78533 0,7 880 0,79688 0,7937 0,68788 0,6647 0,67339 0,67 08 0,6677 0.8772 0,7000 0,6957 0,6916 0,6841 0,5951 0,5699 0,5594 0,5778 0,5737 0 5663 0,6000 0,5816 0,4645 0.4573 0,46833 0.4723 0,4948 0,4764 0,5000 0.4899 0,3621 О, 3693 0,3656 0,3731 0,3586 0,3856 0,37?1 0,3902 0,3812 0,3950 0,2665 0,2?Т48 0,2913 0,2797 0,2762 0,2955 0,2834 0,2873 0,3000 0,1966 0,1718 ОЛ817 0,1791 0,1765 0,1742 0.11693 0,1933 14,24400 0,1902 0,1872 0,0911 0,0927 44444 ) 4.4444 ! 0,0840 0,0881 0,0962 0,0980 1,810 1,844 1,827 1,861 1,916 1,897 1,879 1,978 по формуле (1ъ'.1.34).
Результаты вычислений «(5, л) для ряда значений Л сведены в -табл; 1У.1 и Р7'.2 и приведены на рис. 1Ч.4, а на ряс. 1У.5 представлены функции $0 (Л) и ЛХ (Л) = — 01«~ (О, Л)/с79. Мы видим, что кривые «(9, Л), соответствующие Л) '/„обращены вогнутостью вверх; кривая, соответствующая Л = '/, является ломаной, составленкой из двух прямых; при Л ( 5/9 кривые «(9, Л) обращены вогнутостью вниз, причем вплоть до функции, соответствующей Л = — б/0, производная «' (О, Л) отрицательна. Значению Л =- — ~/ соответствует функция Табзаил 7У.2 м<х> ац» м<л> о,оо 0.05 010 0,15 0„20 О',25 о,'зо 0,6276 0,6714 О,'7134 О',7533 О',7925 0,8299 О.86Н 0,35 040 045 О,'5О О,55 0,60 0,65 О,9О<0 0,9349 О,968О 1,0000 1,031 1,'озг 1,091 одо О',85 О,9О 0,95 1,'ОО 1,120 1..149 1 176 1.'203 1.229 1 255 1,280 Функция 6 (Л) монотонно возрастает с убыванием Л, стремясь к бесконечности при Л, стремящемся к — 1 (решение, соответствующее Л = — 1, будет рассмотрено ниже).
7(В,") О > 7 Рис. 1У.4 Рис. 1У.5 70 б. Основные характеристики исследуемых автомодельных решений. переходя от функции 7 (6, л) к напору жидкости ь, получаем, что напор жидкости отличается от нуля в каждьш момент времени лишь в некоторой конечной части рассматриваемой области пористой среды, причем размер атой области со временем увеличивается. Конечность скорости распространения передней границы возмущенной области является характерной для рассматриваемого круга задач, отвеча<ощих нулевому начальному условию; она существенно отличает постановку задачи о пологих безнапорных движениях от задач, связанных с классическими линейными уравнениями параболического типа, для которых, как известно, имеет место бесконечная скорость распространения переднего фронта возмущенной области.
Эта особенность была впервые обнаружена в работах Я. Б. Зельдовича и А. С. Компанейца (50) и Г. И. Баренблатта [4) путем исследования различных автомодельных решений. В работе Г. И. Ба- ренблатта и М. И. Вишика (16! было дано докааательетво конечности скорости распространения передней границы возмущенной области для задач пологих безнапорных движений (а также широкого класса более общих задач), соответствую1цих начальным распределениям напора жидкости, тождественно равным нулю вне некоторой конечной области. Координата движущегося переднего фронта жидкости для рассматриваемых автомодельных движений выражается формулой ао Π— юр) хо(г) = ее (1УЛ.39) (поскольку передний фронт соответствует $ = $„напомним, что параметры а и 2 связаны между собой соотношением 2 = и/(и + 1)).
Скорость распространения переднего фронта из представляется соотношением о, =-- — $,4~'ао(г — г,)" '(а+ 1). В частности, когда напор на границе пласта постоянен, т. е. и=О. то СО эа ° 2» — + — (' Уа+ ( (1 т" Л.41) а для потока жидкости при х = О, т. е. для скорости притока я идкости в пласт, в силу (1УЛЛО) — выражение ~ аь ~ сс'*« —.) ' ' — (ар~ (11 142) 2 ~а.л.„ 2а а ).1~~ \ Интегрируя обе части уравнения (1ЧЛ.7) по $ от $ = О до $ = оо или, что все равно, до $ = 5з, поскольку 7 ( $, Х) =..;.= О при $ ~ Ре, получаем Ь ,) ' ) $+22 ~4 ~2-о' так что формула (1Ъ'Л.41) приводится к виду: (1 т'Л.43) за+г 2ои ыо ы Π— со) ~ У)-~-а (1~т 1 44) 1+2а 7$ ха(() — -2,286 ~/ао(г — Ео); оо = 1,143 $/, (1У 1 40) Далее, для суммарного объемного количества жидкости в пласте М на основе уравнений (1тЛ.5) и (1т'Л.б) получается следующее выражение: ((Ъ 1.45) и уравнение (гЪ'.1.7) принимает вид: — + — Š— — — /=О.
~Ю $ д/ $ ~Г~~ 2 " ц$2 (! Ъ'.1.46) Как нетрудно проверять, функция 1 — Е/2 0 ~ $ ~ $о =- 2~ И, 1) = О (1Ъ" 1 47) удовлетворяет уравнению (1Ъ'.1.46) и всем условиям задачи; отсюда получается Ь(х, й) =а(С вЂ” Ю„) — —,=; 0 ~ х~ )/2ао(1 — Ц,); 1 2а/о Ь(х, г) =0; р'2аа(» — ~,) ~ х< с . (1У.1.48) 72 Таким образом, предыдущие соотношения показывают, что решения, соответствующие 0 (а ( со, т.
е. 0 ~ Л(1, отвечают возраставию напора жидкости ка границе и общего количества жидкости в пласте; для решения, соответствующего а =- Л =- О, напор жидкости иа границе постоянен в ходе всего процесса, количество н<идкости в пласте возрастает. При — '/з ~ и ~ О, т. е.
— '/ ( Л(0, напор иа грапице в начальныа момент бесконечен и убывает с течением времени до вуля„количество жидкости, первоначально равное, как и во всех предыдущих случаях, нулю, со временем увеличивается. При и — — '/„т. е. Л = — '/з, напор на границе в начальный момент бесконечен и с течением времени убывает до нуля; общее количество жидкости в пласте постоянно в течение всего процесса — жидкость через границу х =- 0 в пласт ие поступает. Во всех указанных случаях иа границе пласта л =- 0 во всякий момент времени достигается максимальное для этого момента значение напора. При — '/з ( а ( ( — '/„т. е.
— 1 ( Л <' — т/з, напор жидкости иа границе в начальный момент бесконечен и с течением времени убывает до нуля. Общее количество жидкости в начальный момент бесконечно велико и с течением времени убывает, стремясь к нулю, так что иа границе пласта жидкость уже не втекает в пласт, как в предыдущих случаях, а вытекает из пласта.
Тогда иа границе пласта напор жидкости уже. не будет максимальным; максимальная величина напора достигается в некоторой внутренней точке пласта, различной для разных моментов времени. 6. Линейное возрастаиие со временем напора жидкости иа границе пласта. рассмотрим теперь частный случай, соответствующий линейному возрастанию напора жидкости на границе пласта, т. е.
когда а = 1. Здесь Ноордината переднего фронта жидкости х (Ф) выражается следующим образом: хэ(1) =- )/2ло(1 — 1„), (1Ч.$.49) а постоянная скорость распространения переднего фрокха п.=-1'Ъ . (1Ч.1.50) Таким образом, график распределения напора жидкости в пласте представляется отсекаемым осями координат отрезком прямой линии, перемещающейся параллельно самой себе с постоянной скоростью. Этот качественный результат был экспериментально проверен В. Ы. Шестаковым Н22] на щелевом лотке, часто применяемом для моделирования безнапорных движений жидкости в пористой среде (г теорией щелевато лотка можно ознакомиться по книге В.
И. Аравина н С. Н. Нумерова (2)). Щелевой лоток представляет собой две близко поставленные вертикальные стеклянные пластинки; щель между этими пластинками имеет непроницаемое горизонтальное дно к соединена с сосудом достаточно большого объема. Движение вязкой жидкости в щели подчиняется тем же закономерностям, что и безнапорное движение 'кпдкости в пористой среде; место соединения щели с сосудом соответствует границе пласта. Равномерно поднимая уровень' глицерина в сосуде, В. М. Шестаков Н22) получил распределение уровней глицерина в лотке, хорошо согласующееся с приведенным выше теоретическим результатом. й 2. ПОЛОГИЕ БЕЗНАПОРНЫЕ ДВИЖЕНИЯ С НУЛЕВЫМ НАЧАЛЬНЫМ НАПОРОМ: ПРЕДЕЛЬНЫЕ АВТОМОДЕЛЬНЫЕ ДВИЖЕНИЯ, ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ АВТОМОДЕЛЬНЫЕ ДВИЖЕНИЯ Ь(, 1)=0.
Пусть, далее, напор жидкости на границе пласта со временем по экспоненциальному закону: (1Ч.2.1) возрастает (1Ч.2.2) удовлетво- (1Ч.2.3) Ь (О, 1) =- Ьзе"' Напор жидкости внутри пласта Ь (х, г) по-прежнему ряет уравнению дд д-'Ы С сЧ дз- ' вт ' 73 1. Предельные автомодельные движения. Рассмотрим теперь для того же полубесконечного пласта несколько иную аадачу.
Вудом исследовать движение на полубесконечном интервале времени ( — оо, г), поэтому начальное распределение напора по пласту несущественно. Предположим, что на больших расстояниях от границы пласта, т. е. при х -~- оо, напор жидкости равен нулю; следовательно, Составим полный список аргументов, от которых зависит это решение. Помимо координаты х н времени 1, в этот список войдут также величины Ьз, к и а. Тогда размерности всех определязощит параметров решенйя представляются в виде: (х)=.б; (!)=т; (а) =(ь)-.ь т-', (ь,) =(ь); (к) =т-, (1У.2.4) где по-прежнему символы Л, Т н (Ь! означают соответственно раз- мерности длины„времени н напора. Иэ пяти аргументов (й".2.4) с тремя независимыми размерностями можно составить две независи- мые безразмерные комбинации, которые удобно взять в виде: х~l — „, х1; отсюда на основе я-теоремы решение рассматриваемой задачи будет Ь Ь Р(1~ ~~, и!), (1~7 об) Таким образом, сдвиг во времени влияет лшпь на некоторое преобразование величины Ьз, и постановка задачи оказывается инварнантной по отношению к группе преобразований переноса по времени; для определения Ь в переменных х, !', а, к, Ь;, получается та же задача, что и для определения Ь в переменных (1Ъ'.2.4).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
