Г.И. Баренблатт, В.М. Ентов, В.М. Рыжик - Теория нестационарной фильтрации жидкости и газа (1132325), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Это исследование показывает, что интегральные кривые уравнения (1У.4.6), удовлетворяющие второму условию (1Ъ'.4.7), распадаются на два класса, разделенные между собой интегральной кривой Р, (5, 0) =— 1, соответствующей, как легко видеть, ) = 0 (рис. [т'.12). Кривые первого класса, располагающиеся над кривой Р, ( $, 0): — 1, беспредельно близко подходят к оси ординат, асимптотически уходя в бесконечность при уменьшении до нуля. При $ -~- 0 функция Р, ( $, й) медленно воарастает по аакону г,з, ч-г-твт,-ощ. (1У.4. 8) 90 так что каждой из интегральных кривых первого класса соответствует свое значение параметра )., монотонно возрастающее от нуля до бесконечности по мере удаления от кривой Р, ( $, О) ив ы ' 1.
При 9-э.оо ординаты кривых обоих классов быстро стремятся к единице по закону Г,($, Х) =-1+0~-~-ехр ( — — Я. (1М.0) ХЯЫ1Ртрз Ч= ДРо (1У.4. И) (в втой формуле массовый расход д считается отрицательным). Следует отметить. что, создавая достаточяый перепад давления, можно, в принципе, закачивать газ в пласт с любым большим расходом через скважину сколь угодно малого радиуса.
Однако отбирать газ из пласта можно лишь при расходах, н е п р е в ы ш а ю щи х того расхода, который соответствует установлению у стенки скважины нулевого дав л е н и я. Дальнейшее увеличение расхода отбираемого газа возможно только при условии расширения скважины. Таким образом, в отличие от случая закачки газа, нельзя ставить задачу об отборе газа через скважину пренебрежимо малого радиуса. Кривые Р~ ($, Х) прн ), >О (кривые второго класса) соответствуют авто- модельным движениям, в которых отбор газа с постоянным расходом, 91 Кривые второго класса, располагающиеся под интегральной кривой Р~ (9, О) = — 1, не доходят до оси ординат, а заканчиваются, подходя под прямым углом к оси абсцисс (которая является особой линией уравнения (!т'.4.6), поскольку на атой линии обращается в нуль коэффициент при старшей производной в этом уравнении).
При этом вместо первого условия, которому удовлетворяют все интегральные кривые первого класса „соответствующие Х )О, эти кривые удовлетворяют условию . ьО (Ьф) == — )., (1 Ч.4.10) где $ (Х) — координата точки пересечения рассматриваемой кривой с осью абсцисс. Каждой кривой соответствует определенное значение Х, монотонно убывающее ' по мере удаления кривых ра, 1У т2 от интегральной кривой Р, (5, О) == 1 от нуля до — '"'. Интегральные кривые второго класса описывают автомодельные движения, в процессе которых происходит не нагнетание газа в пласт, как в случае движений, отвечающих интегральным кривым первого класса (Х ) О), а отбор газа из пласта с расходом, определяемым соответствующей этой кривой величиной Х: определяемым формулой (Ж.4.11), происходит через расширяющуюся скважину, радиус которой растет по закону В=5(Х) ~/а~Р1, (1У.4 12) причем у стенки атой расширяющейся скважины давление постоянно и равно нулю.
Заметим, что это расширение отбирающей скважины ни в коей мере не прешпствует применению рассматриваемых решений к практическим задачам, поскольку для значений параметра Л, представляювгих практический интерес, эта фиктивная скважина, как показывают проведенные расчеты (см. низке), всегда будет находиться внутри настоящей скваяшиы.
Далее„если взять часть любой интегральной кривой Р~ ($, Х), принадлежащей к первому или второму классу, от некоторого $ = =- т~ )) $ (Х) до $ = оо, то формула (1У.4.5) будет представлять собой автомодельное решение задачи, соответствующей постоянному начальному давлению и отбору или нагнетанию газа (в зависимости от знака Х) через расширяющуюся скважину. При этом у стенки скважины поддерживается постоянное давление, равное РРт(ть Х). Радиус Л расширяющейся скважины увеличивается по аакону (1У.4.14) Для дальнейшего изложения полезно выяснить, какой порядок величины Х = арра (пярзйРЧ ~ встречается в практических задачах.
Возьмем в качестве примера случай, для которого величина Х будет весьма высокой, этим самым определится порядок верхнего предела значений Х. Пусть через скважину отбирается 1 000 000 мз гава в сутки (имеется в виду объем при атмосферных условиях); такой расход является достаточно высоким. Пусть, далее, вязкость газа р равна 0,01 спз, проницаемость пористой среды й = = 1 д = 10 з смз, мошность пласта Н = 10 м, начальное пластовое давление Р = 30 кгс/смз (относительно небольшое давление для столь высокого отбора газа); за величины ра и ра возьмем соответственно 1 кгс/смз и плотность газа при давлении 1 кгс/смт, так что величина д/ра представляет собой заданный объемный расход гава, отбираемого через скважину.
Переходя к одинаковыи единицам измерения и подставляя приведенные величины параметров в выражение для Х, примем Х ~ 0,04. Стало быть, в реальных случаях параметр Х равен 0,01 — 0,02 и менее. На рис. 1У.13, а, 6 изображены кривые Р, ($, Х), отвечающие нескольким аначениям параметра Х, как положительным, так и отрицательным, а также соответствующие кривые — $дРт~/Н ч. Эти кривые покааывают, что в довольно значительной области вблизи точки $ = 0 (соответственно вблизи $ = $ (Х) для кривых, отвечающих Х ( 0) функция — $оРдэ/о'~ близка к своему аначению при $ = О )й;М б су зто свойство постоянства функции = $НГтт(Н $ в области, где Г ~ ( ь, Л) существенно отличается от единиша, выражено еще более резко. В табл. 1Ч.4 приведены результаты численного расчета кривых Р~ (с, Х), соответствующих Х = —.0,009999 и Х = — 0,004994.
Через $ обозначено аначение аргумента $, обладающее тем свойством, что при $:; $ значения — $ИРд/о'$ отличаются от Х меньше, чем на 0,01%. Стало быть, при $ ий $з с этой же степенью точности выполняется соотношение $ —.= — Х дауд' <Ц (Гт.4Л5) откуда при $( $ имеем с той же степенью точности, с которой вычислены таблицы, р;а, Л)-й'за„))= — Ип 11 . (1У.4.16) (соответственно при с = $ (Х)), т. е. к А. При атом основное изменение функции Г, (С; Х), т. е. основное изменение давления газа, сосредоточивается именно в этой области. При тех же значениях $, для которых функция — $НРтд/Н$ уже существенно отклоняется по величине от Х, функция Р~ ( $, Х) оказывается достаточно близкой к единице. В практически наиболее интересной области значений параметра Х, равных по абсолютной величине одной сотой и менее, 7'абаиза 11'-а Ь= -О,ОО4994 Х== — 0,009азз Р~ (В, 51 х,(4, Ц ПозтомУ значениа Р, (ь", Х) пРи 5 ( $,„в табл.
Гт'.4 не пРиводятся. Проведенные численные расчеты показывают, как зто видно из табл. Л'.4, что пРи ~Х((0,01 величина Рт (ва, й) отличается от единицы менее чем на 0,03, так что при 5 ~ ва справедливо неравенство 1 ~ Р» (й, Х) ) 0,97. Отсюда следует, что с практически вполне достаточной точностью в этой области уравнение (1У.4.6) для функции Р, ($, й) можно заменить линейным относительно Ра (9, Х) уравнением —,— $ — '+ — — -=-0 1 б 4к$ й Ы,' й бй 34 4 бй (1 т'.4. 17) (в последнем слагаемом уравпения (1У.4.6) добавлен множитель г'( ($, Х), согласно предыдущему мало отличающийся от единицы). Это линеиное уравнение легко интегрируется и дает $ — '=Се 10, ~1$ (1 ~' 4.16) где С вЂ” константа интегрирования.
Определим эту константу из условия что при 5 = за величина 5 — -- = — й. Имеем Д1~ Ф <Ц С= — Хехр( — '(зЫ) 'Гак как для рассматриваемой практически интересной области ~Х~ с 0,01 значение $а весьма мало (~ 0,01) и е ""' отличается от единицы не более чем в шестом десятичном знаке, то можно полагать С = — Х. 5. =О.О057В7 О,'01157 0.01929 0,03472 О',06558 0,09645 О 1582 0,2И6 0,5285 О',7754 1,269 1,763 2,751 3,738 0,9701 0,9737 0,9763 0,9793 0.9825 о',9845 0,9870 0,9899 О,'99ЗО 0,9948 0,9970 0,9982 О,'9994 0,9999 0,009999 О,'ОО9999 О,ОО999В 0.009994 0,009987 0,009963 О',ООоаоо О.'0(Е653 0,0092 О 0,008167 0,006770 0,003879 О,'ОО1 743 3. = 0,003836 0,01555 0.03109 О,'06218 О',1244 0,2487 0,4974 0,9949 1,492 2,487 3.482 0,9842 0,9877 0,9894 О,'9912 О,'9929 0.9947 0,9964 О',9980 о,'9988 0.9996 О',9999 0,004994 О,ОО 4994 0,004993 0,004992 О,'004984 0,004955 0,004841 0,004412 0,003779 О,'002305 0,001098 Интегрируя уравнение (1Ч.4.18) еще раз, получаем при Рдз(1, Ц-=  — Л ) — е ~ Ыдд$.
(1Ч.4.19) Константа интегрирования:0 находится из условия, что при Ь = 4 величина Рд ($ю Л), соответствующая решению линейного уравнения (1Ч.4 17), совпадает с величиной г д($, Л), полученной численным интегрированием. Это дает при гд 1зь' Л)+ 2 Ед ( ) 2 Ед ( — — ), (1Ч.4.20) где Ед — интегральная показательная функция. При $ -э оо функция, определяемая уравнением (1Ч.4.20), строго говоря, не удовлетворяет второму условию (1Ч.4.7) — при в — оо эта функция стремится ве к единице, а к величине о =- )Г Рд ($... Л)+ — Е1 ( — — ') . Гд (й, Л) — ф~ 1 — — Е д ( — — ) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
