Г.И. Баренблатт, В.М. Ентов, В.М. Рыжик - Теория нестационарной фильтрации жидкости и газа (1132325), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Аналогия между безнапорной фильтрацией несжимаемой жидкости и фильтрацией термодинамически идеального газа может быть распространена на случай фильтрации газа с нронзвольным уравнением состояния и произвольной зависимостью вязкости от давления. При безнапорной'фильтрации этому отвечает часто встречающийся случай дани<ения в слоистом грунте, свойства которого переменны по вы'~=1/игр соте. Рассмотрим пологое без- напорное фильтрационпое тр движение несжимаемой жид- кости в грунте, проница- Ф р Фр емость Й и пористость т которого зависят от расстояния от горизонтального водоупора г.
Если уровень жидкости в данном вертиРзе. 1улз кальном сечении будет Ь, то в элементарном слое толщиной р(г и шириной Ь содержится объем жидкости и р;=(~ |>црр)р*. р1рре ~.а В то же время расход жидкости через это сечение составляет легко привести уравнение (]т'.5.57) и стандартному виду; (1Ъ'.5.59) я" з()дз где Р (РЯ) Рг К (Р) ~~Рз) (Рз) Ь (РЯ) (1У 5 6О) из=- рз,(ря)Ь(рз) (рз) (р) Ь (р,) (очсвидно, ер, т и Ь можно считать извеспзыми функциями Р). Решение уравнения (1Ъг.5.59) при условиях Р(О,х)=-Ря,, Р (р, О)=.Рз (1 т'.5. 61) автомодельно.
Будем рассматривать фильтрацию з сухой грунт, для которой Р, = О. Искомое решение представится в виде: Р(1,.) =Р.1(~); ~=-,]*,.-~ (Гт'.5.62) где функцияр($) удовлетворяет уравнению К (Р~У) Г (5) -, '2Ц' = О. (1Ч.5.63) Можно доказать, что если гз (г) и т (г) принимают при малых г конечные значения, то, как и в задаче изотермической фильтрации газа, движение за конечное время охватывает лишь ограниченный участок пласта.
Поэтому при с ~ сз Р = — — О. Кроме того, из условия непрерывности расхода следует, что 1' ($з) = О. Мы видим, что задачи, отличающиеся конкретным видом функций т (г), Ь (г) и и (г), сводятся к одзшаковой краевои задаче для уравнений, отличающихся между собой лишь видом коэффициента К. Поэтому желательно, не решая уравнения (1У.5.63), составить представление о том, как меняется решение с изменением коэффициента К. Приведем следующий наиболее простой пример. Пусть функция ~, удовлетворяет тем же краевым условиям, что и 1, и уравнению вида (]У.5.63), но с некоторым другим коэффициентом Ке. Предположим также, что функция К (Р) монотонно возрастает и что К, (Р) ) К (Р). Тогда при всех $ Уз (4) ~У К).
(1 т'.5.64) Доказательство этого утверждения дано А. М. Пирвердяном 19Н, который использовал его такзке для оценки одних решений при помощи других, допускающих элементарное выражение. садзчи и й 5. 1. Рассмотреть ссеспмметрпчвые азтомодсльиые решения задачи Коти Лля урззизипл изотзрмической фильтрации тзрмодивазптчесин идеального газа др 1 д дрз — =аз — — г —, (1У.5.
05) дз г дг дг ' удозлетзоригстцпе начальным условиям: р (г, О) = пг"; и =- сопят го; а = сопел ~ 0 (Г. И. Баревблатт 15, 13]). 8 Зязяз 1ВЕВ Ответ. Прн 0 (а ( 2 решение задачи существует для любого значения времени и выражается в виде: — г Г рэг (1 1 — и/2 (аэо1)гмз о) ~ где Ф (с) — решение уравнения ((т.2.39) при Ь =- а/2, удовлетворяющее на- чальным условиям Ф (О) =-1, Ф' (0) =-О. р =à — ") ( С(п)=11шФК)В 'Ь( — а/2)агз ( В с (1У.5. 67) При а = 2 решспнс выражается в конечном виде: огз Р(г, г)= 1 — 16азо~ (П'.5.66) Это решение существует лишь на коне*шом интервале значений времени и 0 ( 1 ~ Т, где Т =- 1/16ато.
Прп г = Т оно обращается в бесконечность одновременно для всех значений г. Прин ) 2 решение рассматриваемой задачи Коши не единственно, поэтому прн а 2 такая постановка задачи оказывается физически бессмысленной. 2. Рассмотреть автомодельные решения задаш Коши для движения гааа плоскими волнами р = р (х, г) в бесконечном пласте нрп начальных условяялг р (х, О) = огх'"' (я~О); Р (х, 0) = от ( — х) "* (х< О). 3. Рассмотреть случая выравго~ванпя скачка давленая (ат=Рг', оз=-Рз чь Рз, от=аз=О). По аналогии между безнапорной фильтрацией н фильтрацией газа репнине этой задачи н то же нремя описывает выравнивание уровней Ьг и Ь подземных вод нрн безяапорной фильтрация. Пря Ьг ь Н, Ь, = 0 этот случай отвечает распространению. первоначально вертикальной грансщы между жидкостью п газет! в пласте могцностью Н.
Задача о таком движеяпн границы возникает прн проектировании подземного лранеяня газа (34). Глава г' ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НЕСТАЦИОНАРНОИ ФИЛЬТРАЦИИ Если не считать линейных задач, получение эффективного точного решения задач нестационарной фильтрации окажется скорее исключением, чем правичом. Однако и решения линейных задач, в принципе всегда доступные, не всегда удовлетэоряагг требованиям простоты и обозримости. В еще большей мере это относится к решениям 1в отой книге не рассматриваемым), получаемым при помощи электронно-вычислительных машин.
Разнообразные технические задачи необходимо решать в сравнительно простой аналитической форме, допускающей качественный анализ решения в аависимости от параметров задачи. В связи с этим широкое применение получили приближенные методы. Большинство этих. методов не имеет строгого обоснования, и их использование оправдывается главным образом тем, что при сопоставлении результатов с иавестными точнымн решениями получается удовлетворительное совпадение. Прежде чем перейти к конкретному рассмотрению вопроса, укажем специфические особенности задач нестационарной фильтрации, которые во многом обусловливают успех применения приблиягенных методов.
1. Большинство задач нестационарной фильтрации сводятся к уравнениям параболического типа, для которых характерно сглаживание воамущений со временем и по мере продвижения их внутрь области, для которой рассматривается решение. 2. В ряде задач, представляющих интерес для техники, решение имеет в некоторых точках области движения известные особенности, а вне окрестностей этих точек состояние системы близко к невазмущенному или к стационарному. Зго обстоятельство имеет тем большее аначение, что нелинейность многих задач проявляется лишь прн значительном отклонении системы от стационарного состояния.
3. Практический интерес представляют интегральные характеристики регпения. 115 5 1. СХЕМА МЕТОДА Н1РТЕГРАЛЬНЫХ СООТНОШЕНИИ. ПРИТОК К ГАЛЕРЕЕ В БЕСКОНЕЧНОМ ПЛАСТЕ ПРИ УПРУГОМ РЕЖИМЕ Рассмотрим прон«де всего несколько одномерных задач теории упругого режима. При этом, как известно, распределение давления описывается линейным уравнением теплопроводности — =к~7 Г дг д1 (УЛЛ) и использование приолиженных методов свяаано не с невозможностьтополучения точных решений, а с их слоя«костью. Кроме того, решение ряда задач имеет чисто методическое значение.
1. Ранее (см. гл. Ш, з 1) было уже приведено решение задачи о пуске галереи в бесконечном пласте, которое имеет вид: р=- р — (р — р,) ег1 —, 2 хс (т'Л.2) где р« — начальное давление в пласте; рл — давление на галерее. Разность между начальным давление«« и его мгновенным значением быстро убывает. Используя определение функции ошибок в виде интеграла, легко показать, интегрируя по частям, что Поэтому естественно ввести понятие об об«асти влияния галереи, т. е.
области, в которой давление ааметно отличается от своего первоначального значения. Из предыдущей«формулы и из сообрая«ений размерности ясно, что размер области влияния 1(1)=-с Г «Л, (У'Л.З) 1Ш Отмеченные особенности задач нестациопарной фильтрации определяют и характер приближенных методов. В основном они состоят . в том, что вначале ставится задача, близкая к данной и имеющая эффективное решение, а затем ищутся малые поправки к этому решению. В тех случаях, когда исходная задача имеет особенности, естественно ставить и вспомогательную задачу с теми же особенностями.
Приближенные методы различаются в зависимости от того, какие задачи используются в качестве «близкихл и каким образом в решение внося«си дополнительнт«е поправки. Применение приближенных методов к конкретной задаче имеет свою специфику, особенно в связи с требованием эффективности. Поэтому, не пытансь дать готовые рецепты для ка.щего метода, приведем примеры, нз которых будет ясна и техника применения метода, и возможные осложнения прп использовании его в иных обстоятельствах. где с — постоянная порядка единицы, значение которой зависит от того, как определена область влияния. Будем теперь искать приближенное решение задачи.
Предположим, что впе области влияния галереи дви;кения нет, а внутри пее давление распределено так же, как при стационарной фильтрации, т. е. линейно. Примем далее, что давление непрерывно. Тогда р (х, 1) =- р, + (ра — ра) — (О ( х ~ Х Щ а (У.1.4) р(х, С)=-р„ (х~Х (й)). Теперь достаточно определить вид зависилшсти 1 (8), чтобы завершить построение приближенного решения. Выбор соотношения для определения Е (Ф) является в известной мере произвольным, так как нельзя указать то единственное соотношение, удовлетворив которому, можно достичь наилучшего соотвотствия между приближенным решением (У.1.4) и точным решением поставленной задачи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
