Г.И. Баренблатт, В.М. Ентов, В.М. Рыжик - Теория нестационарной фильтрации жидкости и газа (1132325), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Из первого соотношения (1Ъ'.5.26) получаем 2Г(1+ — ) Г( — ) Г( —."+ — ') 2 (П+)) (П -)-2))п«2 ео и =-( —. (1Ъ'.5.29) е — 2 + — ~) ( ( +~) 1 = (и (1 — )) + 1 (1Ъ1 5.30) — — и 2« О«+2 (1У.5.31) 2Г ( — + — ) 2 (п+ $) (Зп+ 2) "[оп+2 Ц где à — га21ма-функция Эйлера, Окончательно имеем выраяоония для распределеник плотности газа в виде: 1 П .*ъ! 1, „( "',— 11 оо 2 ) (2(п+1)( +г)(Ео " ( Мпоо,! О «= г = 1", (1); 1 0 г~го=)Гео ( о ) '[ (1Ъ'.5. 32) Заметим теперь, что ь'"11 ( ь) стремится к нулю при ь -э-О, иначе интегралы в условиял (1Ъ'.5.26) раслодились бы при 5=0. Поэтому. полагая в уравнении (1Ъ'.5.27) 5 = 0 и используя условие (1Ъ'.5.26), получим Со = Со = Сз — — О.
Имея это в виду и интегри- руя еще раз соотношении (1Ъ'.5.27), легко найдем выражения для 7,(ь) в виде: П -~ '/П то(З) =( ( +--(-,+ (Е, — Со)1; О З УЕ,; У,(5)='0 (В ~ )ге,), О = г ~ гт (Г); (1Ъ'.5.33) 0 г~ гг(() = )апет ( — ' — -„--) Г с П и(ллт) ыач 1 2(и+1)(за+2) )ииа ~ 1аи+ и (4лт)" / 1 ( а2т2Д (~ 2(и+1) (и+2) ) ( иа ) Воспользовавшись формулой Стирлинга для Г-функции при больших значениях аргумента 1 Г2л 3 ° Г (е) ~~ — е-' [е (е+ з)) е (з 3) $) (1Ъ' 5 35) и тем, что Г ('!з) = (г' л, получим при и — О известное выражение для решения типа мгновенного источника классического линейного уравнения теплопроводпости: т т )~а~иЮ (1Ъ'.5.30) (отсутствие обычной двойки в знаменателе объясняется тем, что мы прийяли полную массу газа равной ЗМа, а не ЛХи).
На рис. 1Ъ"ЛО изображены распредечения плотности газа в некоторый момент времени, соответствующие различным значениям л пря одинаковых значениях всех прочих параметров. Еак видно (06 0 ( г ~ гз (Г); (1У.5.3Я 1 0 г '=- г (С) = ф ез ) Как видно, эти решения непрерывны и обладают непрерывной производной дри+'/дг. Однако производная др/дг имеет в точке г= = г, (О разрыв, так что построенные решения не относятся к классическим решениям уравнения в частных производных (1Ъ',5Л8) и являются его обобщенными решениями.
Интересно проследить, как при стремлении и к нулю решения (1У.5.32) — (1У.5.34) переходят в известные решения типа мгновенного источника классического линейного уравнения теплопровод'ности. Рассмотрим это на примере решения (1Ъ'.5.32), Имеем при г ~ га(8) из рисунка, прн л )1 кривая распределения плотности подходит к границе области, занятой газом, под прямым углом. При н = 1 эта кривая подходит к границе области, запятой газом, под острым углом. При О ( н (1 криван распределения плотности газа подходит к границе области, занятой газом, под нулевым углом, касаясь оси абсцисс в конечной точке, координата которой возрастает с уменьшением и. Во всех этих случаях имеет место конечная скорость распространения переднего фронта области, занятой газом.
Предельному случаю н = О (классическое линейное уравнение теплопроводности) соответствует, как 'известно, бесконечная скорость распространения переднего фронта. Рассмотренные выше движения были впервые исследованы в работе Л. Б. Зельдовича и Л. С. Компанейца (50) применительно 1 2 3 4 Р с. В.1Е Рис. 1УЛ7 ь математически аналогичной задаче теории теплопроводности и независимо — применительно к задаче теории фильтрации в работе Г.
И. Бзренблатта (5). 4. Задача о растекании бугра жидкости на непроницаемом горизонтальном водоуноре. Полученные в предыдущей рубрике решения могут быть использованы, благодаря аналогии между пологими безнапорными движениями неся'имаемой л~идкости и изотермической фильтрацией термодинамически идеального газа (см. гл.
П), для построения решения некоторых интересных задач пологих безнапорных движений. Предположим, что в пласте бесконечной мощности, лежащем на непроницаемом водоупоре, тем или иным способом создается бугор жидкости, который затем растекается под действием силы тяжести по всему водоупору (рис. 1У.17). Рассмотрим две простейшие схемы. В первом случае предположим, что бугор жидкости сильно вытянут в одном направлении, так что картину движения можно считать не зависящей от координаты, ото штываемой в етом направлении; обозначим ее через р.
Таким образом, возвышение свободной поверхности над водоупором Ь зависит только от времени Ф и координаты л, отсчитываемой в перпендикулярном направлении, и удовлетворяет уравнению дь з дз/Ф з ддд л~ . ° лс— дС дзз ' 2тр (1Ъ.5.57) $ 07 Предполагая, далее, что бугор жидкости в начальный момент сосредоточен в очень узкой области вблизи линии х = О, получаем начальное условие н условие па бесконечности в виде Ь(х, 0) = О (х + 0); Ь (сс, С) = О. Далее, суммарное количество жидкости, приходящееся на единицу ширины бугра в процессе движения, постоянно, так что ЬсСх = — а..
а (1У.5.38) Эта задача в точности аналогична рассмотренной ранее задаче о мгновенном источнике при изотермвческой фильтрации гааа плоскими волнами (н = 1), причем вместо плотности газа фигурирует высота Ь свободной поверхности. Переписывая решение (1У.5.32) при н = 1 в новых терминах, получим решение задачи о растекании сосредоточенного паоского бугра в виде: Г мг гчы* Фа*' аг Ь =- ~ — ' — ~ — 1 — — — —,— 1 ° (1У.5.39) 1 агдас ~ г2 ~ сам,а с ус. о =-,(с) =~ т сзыоагс х'с и Ь=-=О при и) х„(с).
Во втором случае предположим, по форма начального бугра жичкости симметрична относительно некоторой вертикальной оси. Тогда и все последующее движение будет обладать симметрией отпоа сительно атой оси, и возвышение свободной поверхности будет удовлетворять уравпснисо ври — =ау — — — г —., ау= — —, (1У.5.40) дс г дг дг ' ' 2сар ' где г — расстояние от оси симметрии. Если считать, что начальный бугор сосредоточен в малой оърестности оси симметрии, то начальное условие и условие на бесконечности имеют вид Ь (г, 0) == О, (г + 0); Ь ("-'>, с) = О. Условие постоянства всей массы я;идкости в пласте Мс имеет вид: 2ит ') Ь(г„с)гс)г М.
а (1Ъ'.5.4$) Эта задача в свого очередь в точности аналогична задаче о мгновенном источнике при изотермической осесимиетрнчной фильтрации газа, только вместо плотности газа в задаче учитывается высота свободной поверхности. Полагая в решении (1У.5.33) а = 1 и переписывая его в обозпачениях новой задачи, получаем решение этой задачи в виде: 2зпв эХ ап О ( г ( гг (1) =. ~/8 ~ — ' — ~ ' аз (1У.5.43) и Ь=О при г~гт(1).
вр з д~р"~т т Ьарч дС эху ° рт (и+1) рй (1 У.5.43) Поскольку внедрение газа в пласт происходит, по предположению, мгновенно, а начальная плотность газа пренебрежимо мала, начальное условие и условие на бесконечности для рассматриваемой задачи имеют вид: р(х, 0)== — О (х+0)", р(оо, 1)=О. (1У.5.44) Умножив теперь обе части уравнения (1У.5.43) на х н проинтегрировав от х = О до х = со, получим = азах р — ) ~ -, 'аэр"'г(0, 1) — азр"+з (оо, 1). зх г ~х-о Но выражение (хдр"+"/дх)„. равно нулю в силу условия на бесконечности р (оо, 1) = О; если бы зта величина была но равна нулю, то условие равенства нулю плотности на бесконечности не было бы выполнено.
Далее, величина (х др"+'/дх) р равна нулю, так как иначе плотность при х = 0 была бы бесконечной. Так как по условие 109 5. Решение типа диполя. Рассмотрим политропнческую фильтрацию термодинамически идеального газа в полубесконечном пласте с плоской границей. Предположим, что до начала движения давление и плотность' газа в пласте пренебрежимо малы. В начальный момент в пласт через границу мгновенно внедряется некоторое количество газа, после чего давление и плотность газа па границе становятся равными пулю. Исследуем процесс растекания газа по пласту.
Фильтрация газа происходит плоскими волнамн, так как все характеристики движения зависят тодько от времени 1 и координаты х, отсчитываемой по нормали к плоскости границы пласта, которой приписывается значение координаты х = О. Плотность газа удовлетворяет при этом уравнению в течение процесса плотность газа на границе х = 0 равна нулю, предыдущее соотношение даст — 1 рхдх=О; ~ рхр(х==()=сопя(, л р р (1У.5.45) ~ = ( 0))"" Р К); й =, . (1~.5.45) (Л«0иР)1 (и+1! Подставляя выраркение (1Ч.5.46) в уравнение (1У.5.43) и условие (ГЧ.5.45), получаем для определения функции 1 ($) краевую задачу — + $ — -+ — у= — 0; д«)и+1 1 Нт 1 011 2(и+1) Л1 л1-1 (1Ъ".5.47) ) ЦЯ) д$=-й; 1(О) =-О, р причем по-прежнему в силу необходимой непрерывности плотности н потока газа функция 1 ( $) должна быть непрерывной и иметь непрерывную производную 111"+~/«Ц.
Искомое решение этой краевой задачи имеет вид: ПР =- О- 1- 1«* (1Ъ'.5.48) 1~ $„ где и )11л Р(л (.2(л+1)(л+2) .! а константа $р определяется из условия (1Ъ".5.47) аналогично тому, как это делалось для источников: 1« 1~ (и +1 2л+1 ) ~ (и+Ю (1Ч.5.49) 1 и-1 $ =2«ел+11 (и+2) 1*(п-)-1) Р с«+'> ( — В-функция Эйлера). 110 причем постоянная у характеризует в некотором смысле количество газа, мгновенно поступившего в пласт в начале процесса. Таким образом, рассматриваемый процесс характеризуется постоянством «статического момента» распределения плотности. Из анализа размерности видно, что решение рассматриваемой задачи, т.
е. решение уравнения (1У.5.43) при условиях (1Ъ.5.44) и (1Ъ.5.45), является автомодельпым и представляется в виде: Координата х (1) переднего фронта области, давление газа в которой отличается от нуля, изменяется согласно соотношению 1 хо(1) =- В (азГ)ас)е(+И (1Ъ'.5.50) Аналогично предыдущему можно показать, что прн и — 0 полученное решение стремится к известному решению типа диполя классического лныейыбго уравнения тенлопроводности. Заметим, что построенное нами решение является предельным случаем для решений, рассмотренных в гл. 1Ъ', 1», и соответствующим и= » а= — '/т, Х= — ».. При и = 1 полученное решение моызпо интерпретировать с точки зрения задачи беэыапорыоы фильтрации.
Пусть ыа плоской границе х = 0 полубесконечыого пласта, расположенного на горизоытальыом водоупоре и ые содержащего жидкости, внезапно создается очень высокий напор жидкости, а затем напор на границе вновь падает до пуля '. Возвышение свободной поверхности й удовлетворяет прп этом уравнению (1У.5.37) и условию (1Ъ'.5.52) хоо(1) = (1Ъ',5.54) т Эта задача схематпческв описывает, например, фпльтрацоовное депэмвпе, созпккающео в стевках каналов после паводка.
111 ) Ь(х, 1) Ь=О, (1Ъ'.5.5») о котороо получается нз уравнения (1Ъ'.5.37), аналогично, тому, как было получено условие (1Ъ'.5.40) пз уравнения (1Ъ'.5.43). Константа Д определяет количество внедренной в пласт в ыачале процесса жидкости. Полагая в соотношениях (1Ъ'.5.46) и (1Ъ'.5.48) п = » и перепясывая этп соотыошеция в терминах рассматриваемой задачи беаыапорного движения, получаем решеыие этой задачи в виде: г сзс ~~ЛаеОт)ч ~' —,", ( —,')*" ~» — ( —,' )'~ О 1 0 $ ~$ =21с/5, так что координата передней границы области, аанятой жидкостью, изменяется со временем по закону хо(1) =2у'5а'ф = И/ (1Ъ'.5. 53) г шр Координата точки х*аП), соответствующей максимальному воавышепию свободыой поверхности, определяется соотношением — (я 1"ь рр р> р*)-'-", р (1Ъ'.5.56) где р — плотность жидкости.
Составляя обычным образом уравнение неразрывности, получим для напора й дифференциальное уравнение дН* Рг д да — = — — р(Ь) — . др ядр д:р' (1У.5.57) <р (Ь) =- ) Й (г) Ь (г) р(г а — неубывающая функция. Вводя функцию Р (Ь) = ) ф (ц) (Ч. (1У.5.58) На рис.
1ЧЛ8 изображена форма свободной поверхности жидкости, соответствующая рассмотренному движению, для нескольких моментов времени (т, — некоторый произвольно выбранный момент времени). Рассмотренное выше решение было получено в работе Г. И. Баренолатта и Я. Б. Зельдовича И91. 6. Автомодельпые движения при произвольном уравнении состояния.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
