Г.И. Баренблатт, В.М. Ентов, В.М. Рыжик - Теория нестационарной фильтрации жидкости и газа (1132325), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Рассмотрим последующий процесс подъема уровня жидкости. Поток яп>дкости на границе при х = 0 равен нулю; зто дает условие Как следует из анализа размерности, решение уравнения (1У.3.1) при условиях (17'.5.1) и (1Ч.5.2) автомодельно и представляется в виде: 7ь Положим С(ь) = ь *д(~); ь = г1/ —.-.
Тогда в соответствии з' с уравнением (1У.ЗЛ) и условиями (1У.5.1) и (1У.5.2) функция у ( ь) удовлетворяет уравнению — '-+--~ — — — 6=0, Нзаз $ Нд $ нфь 3 0~5 4 (1 У.5.4) совпадающему с уравнением (1У.1.7) прн Х = '/ю при краевых усло- виях Ф' ! . г(Д .,',Г з — =О, Пш —,== з Д$ ~$ 0 ' ут 1 4 (1У.5.5) $00 Пос сроим функцию л„( $) — решение задачи Коши для уравнения (1У.5.4), удовлетворяющее условиям д„(0) =- 1„да(О) = О.
Как показывает исследование, приведенное в $1, при $ — ~ со для функции де ( ь), принадлеяющей к интегральным кривым 1 класса уравнения (1У.5.4), справедливо соотношение Иш де ( Ц)1'г~ Ц = сопз$; е о» согласно вычислению константа равна 0,7772, и функция да(5) удовлетворяет уравнению (1У.5А) и первому условию (1У.3.5), но не удовлетворяет второму условию (1У.3.5). Поскольку функция рада (р $) удовлетворяет уравнению (1У.5.4) и первому условию (1У.5.5) прп любом р, то, выбирая р = р = 0,8763, получаем, что функция К($) = р„ада(р„5) удовлетворяет всем условиям задачи, и решение представляется в виде; " ''-'"'[и--'.: ! '"" "'-''[ю=,— 1 (1У.5.6) Значения функции л(Д приведены па рис.
1У.13. В частности, при я = О, т. е. на границе пласта, уровень жидкости возрастает со временем по закону а»' Ь(0, 1) =-1,641)г (1У.5.7) Рассмотренные выше примеры автомодельных движений показывают, что передний фронт жидкости распространяется но сухому водоупору с конечной скоростью, причем свободная поверхность подходит к точке своего соприкосновения с водоупором нод острым углом и вблизи этой точки имеет форму наклонной плоскости. Следующее рассуждение, принадлежащее Я.
Б. Зельдовнчу и А С. Компанеш1у 150), показывает, что это обстоятельство имеет место и в общем случае движения жидкости в сухом грунте. В самом деле, уравнение (1У.3.1), описывающее распределение уровня жидкости, можно переписать следующим образом: — а — — — аз'(2 ( — ) +26 —,~. (1У.5.8) Но в точке х„(Π— на переднем фронте области, занятой жидкостью, выполняется соотношение й(та (1), 1) = О. Для определенности бу- дем считать, что фронт движется справа налево. Тогда, дифференци- руя последнее соотношение, находим где ио — абсолютнан мгновеннан скорость перемещения граншпз этой области (сама скорость отрицательна). Подставляя зти соотно- шения в уравнение (1Ъ'.5.8), находим (1Ъ'.5.9) Отсюда получается, гго вблизи переднего фронта распределение уровня жидкости имеет вид: (1Ъ.5.10) Ь(х, 0)=ТР-*- (1У.5.11) На границе х = О, соответствующей непроницаемому препятствию, поток жидкостй равен нулю: (1Ъ'.5.12) Распределение уровня жидкости й (х, Г), удовлетворяющее уравнению (1Ъ'.3.1) и условиям (1Ъ'.5 11) и (1Ъ'.5.12), автомодельно и может быть представлено в виде: (1У.5.13) Функция и (Ц удовлетворяет уравнению азиз 1 ди 1 — +=3 — — — и=О ййз 2 Н$2 (1Ъ'.5.14) при граничных условиях ( †) =' .
ааз Х . и($) 1 — =О. 11ш — ==, 'К4е 1 З у2 Решение и (5) краевой задачи (1Ъ'.5 14) — (1Ъ'.5.15) выражается, как и в предыдущем случае, через равнение задачи Коши для тот (1У.5. 15) причем в течение непродолжительных промежутков времени можно скорость перемещения переднего фронта считать постоянной.
Таким образом, приходим к следующей постановке задачи. В начальный момент распределение уровня жидкости при х >0 выражается, как уравнения (1Ч.5Л4), удовлетворяющее условиям из (0) = 1, ие (О) = О. Значения функции и ($) приведены ва рис. 1Ч.14, В частности, уровень жидкости на самом препятствии, т. е.
при х = О, возрастает по закону (1Ч.5.16) 2. Паперно-безнапорное движение прк нулевом начальном уровне жидкости. Рассмотрим однородный пласт конечной мощности Н. Пусть вначале пласт был заполнен неподвившой жидкостью до уровня й ( Н; в момент 1 = 0 на грапице пласта х = 0 создается напор на э Н. Распределение напора в последующие моменты времени будет, очевидно, иметь вид, показанный парис. 1Ч.15. В части пласха, непосредственно примыкающей к начальному сечению х=О, напор превысит величину Н. Поэтому пласт К будет заполнен жидкостью 1а 1 х=г хг Рвс. 1У.15 у Рас. 1Ъ'Л4 целиком, и движение на этом участке будет напорным.
В некоторой точке х = х, напор сравняется с Н и при х ) х, движение станет безнапорпым. Если пласт вначале не содержал жидкости (Ь = 0), то вона движения распространяется с конечной скоростью; если начальный уровень отличается от пуля, то движение сразу залватывает весь пласт. Сформулированная задача имеет автомодельное решение: (1Ч.5.1 7) л юг Ъме При атом'от $ = 0 до $ ~ — х, ~л — ! движение являетсянапо'рЦьнр ! ным, а от $ = $ ~ и далее — безнапорным.
При нулевом начальном уровна жидкости область беэнапорпого движения простирается до некоторого копечпого значения $=$, хз ~ — ) Читатель легко закончит построение автомодельпого решения задачи о напорко-безнапорном движении при пулевом на салысом уровне;кидкости, используя для эффективного построения репюния автомодельные репсения 1 1.
3. Решения типа мгновенных источников для задач политропической фильтрации терлсодннамичееки идеального газа. Пусть в бесконечном объеме пористой среды происходит фильтрация газа при политропической связи плотности и давления фильтрующегося газа. Предполагая движение одномерным, имеем уравнение для плотности газа в виде: — а — — слгл ); а =- — — „; (1Ъ'.5Л8) др л 1 д l, др"+л Л л Сспре дЛ г' дг ~ дг /' ртСя )1)р'„' ' Р=- р рв а сгВ Ф где г — пространственная координата, т. е.
расстояние рассматриваемой точки пористой среды от плоскости отсчета при движении газа плоскими волпалссс, расстояние этой точки от осн симметрии движения — при осесимметричном движении газа и расстояние ее от центра симметрии — при центрально-симметричном движении газа, а з соответственно равно нулсо, единице или двум для этих трех типов симметрии двия;ения. Начальное давление и плотность газа предполагаем пренебрежимо малыми во всей области пористой среды, так что начальное условие н условие на бесконечности имеют для рассматриваемой группы задач вид: р(г, 0)=0; р(оо, 1)=0. (1Ъ'.5.$9) Излагаемые пилке решения соответствуют «мгновенным» источникам. Для движения газа плоскими восшамн это означае~, что в начальный момент некоторая масс с газа сосредоточена вблизи плоскости начала отсчета г = О. Для осеснмметричных и центра.сьно-симметричных движений это означает, что некоторая масса газа сосредоточена в начальиьш момент вблизи оси ичп, соответственно, центра симметрии, которым также соответствует значение г =-О.
Поскольку во время двиясення не происходят никакие процессы, приводящие к исчеановению или появлению газа, должны выполняться некоторые соопшшекия, выражающие сохранение полной массы газа во всем объеме пористой среды; эти соотношения записываются в виде: ртс(г= М; ~ ртгьсг=- — - дл рвсглс(г=- — —. (Гл.5.20) Лгл Г л дтл 3 ' =4 Рассматриваемые решепия представляют, например, для случая движения газа плоскими волнами, удобную схематизацию реальных движений, возникающих в пористой среде, когда определенная масса газа сосредоточивается под большим давлением, значительно 103 превыюаюп1им давление в остальных точках пористой среды, а затем растекается по пласту.
Умно кая обе части уравнения (1Ъ'.5 18) на г' и интегрируя от г = О до г = оо, пользуясь условиями (1У.1.3) и тем, что поток газа ар"ы т на бесконечногли, пропорциональный (г' — ~, равен нулю', дг получаем (1У.5.21) Используя сообразкения размерности, получим следующие выраяаения для плотности газа при осеснмметричком и центрально-симметричном дикзъенпи его плоскими волнами: Р = ( ез Лз —,) з е (1 У.5.22) (1Ъ',5. 24) ( Ъ|зоаМ ) Зл з и условиям ~ 1з®й с1й 1' ( ф' )1-с'=О (з= — О, 1, 2). (1Ъ'.5.26) Из непрерывности плотности ' газа р и потока газа ри = в а(1"л ртам ре+з = — — ркгабр=— р( +1) следует, что функции р и кгас) р"" доляскы быть непрерывными.
Для одномерных двияюний зто влечет за собой непрерьвность р и дрл'з/дг, а дчя рассматриваемых нами автоыодельных задач — непрерывность уз(к) и д),""/д$. ' В противном случае не выполнялось бы условие на бесконечности — второе условие (1У.ЬЛ9). Здесь функции 7, ($) ( $ обозна изет в казцдом случае свой безраамерный аргумент функции 1, в формулах (1Ч.5.22) — (1У.5.24)1 удовлетворяют уравпеньно Умножив обе части уравнепия (1Ъ'.5.25) на 5', полушм в левой части етого уравнения полную производную. Интегрируя, найдем первый интеграл в виде: $2 1 + 61+1~ , е))'"1 1 «о+2" (1Ъ'.5.27) (1Ъ...26) где е, — постоянная интегрирования. Как нетрудно видеть, эти решения удовлетворяют сформулированным вьппе требованиям непрерывности 71 и 2Щ+1я й.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
