Г.И. Баренблатт, В.М. Ентов, В.М. Рыжик - Теория нестационарной фильтрации жидкости и газа (1132325), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Поскольку для большинства приложений основное значение имеет правильное определение количества отбираемой из пласта жидкости, обычно границу 1 (1) находят из условия материального баланса для пласта в целом. За время Иа через участок сечения пласта шириной Ь и мощностью Н проходит объем жидкости ЬЛиА, причем в соответствии с законом фильтрации (УЛ.5) дй «а За время а с начала движения через сечение х = О проходит объем жидкости а (УЛ.6) а с(о 1" =",'"1 (.—,И- ) .. (.
) а а Приравнивая выраанепия (УЛ.6) и (У.1.7), получаем а 1 !а Ь О ( р р ) ~ И а ~ Ь ~ ( р о ) ~ ( 1 ~ ) ! к ) —,— = ) (1 — — ') г)х — -- —,й а а (УЛ.З), 117 Этот объем жидкости высвободился (будем для определенности счи- тать, что из пласта отбирается жидкость и рг «-ра) за счет снижения давления в области движения. В предположении, что деформация пла- ста и жидкости происходит упруго, имеем Решение уравнения (У.1.8), очевидно, имеет вид: 1=-2 ~"к1 (У.1.9) (постоянная с в уравнении (У.1,3) равна в данном случае 2). Таким образом, окончательное выражение для давления будет 1 х р(х г)=р + З (ре р) уй р(х, 1) =-р, Согласно уравнению (У.1.5) скорость пласта меняется по закону (О = х(2$'к1); (Ч.1.10) (х 2~/ х)).
фильтрации па границе и (О, 1) = — гт р з)гяг Из точного решения (У.1.2) для скорости фильтрации получается выравсение (У.1.11) и (О, 1) = — ~==-~ -. (Ч.1.12) е ~,г==,, ' Таким образом, полученное решение, давая качественно верное описание движения, является все же лишь грубо приближенным.
Тем не менее проиллюстрированный выше метод, называемый методом поеледоеатеяьной смены етаиионарных состояний, получил достаточно широкое применение в практических расчетах. Не останавливаясь на дальнейших примерах из теории упругого режима, которые можно найти в книгах И. Л.
ь1арного (118, 119), В. Н. Щелкачева и Б. Б. Лапука (126), Л. М. Пирверчяна (91) и др., сформулируем общую схему метода. Предполагается, что при наложении возмущения весь пласт отчетливо разбивается на две области — область невозмущенного состояния н область возмущения и что давление в области возмущения распределено так, как если бы движение в этой области было стационарным, а вне области возмущения — возмущение отсутьгвовало бы вовсе. Наконец, при помощи некоторого дополнительного условия, в качестве которого чаще всего выбирается уравнение материального баланса, определяется закон разрастания ооласти возмущения. Таким образом, метод последовательной смены стационарных состояний основан на трех допущениях: 1) существует конечная область возмущенного движения; 2) движение внутри этой области стационарно; 3) размер области возмущения определяется из условия материального баланса.
Первое из этих трех допущений само по себе не вносит значительной погрешности, поскольку, как известно из примеров, возмущенное движение весьма быстро затухает с удалением от места возмущения. Второе допущение связано с тем, что двпзкение я<идкости вблизи источника возмущения сравнительно быстро стабилизируется. Одпако здесь произвольным является предпочожепие о том, что стабилиза-. ция происходит -сразу во всей области возмущенного движения.
Третье предположение вполне естественно, хотя выбор именно этого. дополнительного условия вовсе не обязателен. 2. Приведенные рассуждения показывают, что возможные уточнения метода последовательной сиены стационарных состояний связаны в первую очередь с заменой второго допущения иным, более отвечающим истинному положению дел, и с соответствующим изменением тех дополнительных условий, па основании которых определяется размер области возмущения. Последовательное проведение этой программы приводит к методу «интегральных соотношений», представляющему собой унифицированный метод, который позволяет получить решение ряда задач нестационарной фильтрации с достаточной для практики точностью. Пусть р (г, г) — решение уравнения (ЧЛ.1) в случае прямолинеипо-параллельного движения: др !дар д~ дзз (ЧЛ.13) Умножив зто уравнение на произвольную функцию /(к,с) и проинтегрировав по х в пределах от А| (Е) до Лз (1), получим равенство (ЧЛ.14) 1, х, зз,..., з"', .
Из (Ч.1Л4) имеем с,п» са ез "$ ( -к с. <о ~.ю сз (и=;-О, 1,...). (ЧЛ.15г ый справедливое при любых Е„Ею / (х, г) и 1. Пусть при атом имеется семейство таких функций /„(х, 1) (и =- =: О, 1...), что при любом ~ это семейство полно (как семейство функций от т) на отрезке ((Ет (1), /, (1)). Пусть, далее, соотношение (1.1.14) выполняется для всех /„. Тогда, если производные др/дс и д'р/дхт непрерывны, то функция р (х, 1) удовлетворяет уравнению (ЧЛЛЗ) при А,(г) ~ х ~ Ез (с). Таким образом, между системой интегральных равенств (ЧЛ.14). записанных для полной системы фуш~- цнй, н дифференциальным уравнением (Ч.1ЛЗ) существует эквивалентностгч и вместо решения уравнения (ЧЛЛЗ) мо'кяо искать решение системы уравнений вида (Ч.1.14). Возьмем простейппую полную систему функций — последовательные степени пространственной переменной Левую часть этого уравнения можно представить, используя формулу дифференцирования определенного интеграла, в виде: шел ь, ы> тд~1ргдхр(Ху)А2+ дг и с л Ийз >и к> д> ь„п> ш и> Ф + р (А„г) Х4 '~1 .
В правой части моя;но провести интегрирования по частям. В результате после несложных вычислений получим нз (У.1Л5) г„ и> лю ) Р (хэ К)жл с)х> мХ'2 > — ) кХ'1( з ) г., и> — нпХ,"э 'р(й„г)+кпХ,"1 р(ь„>)+ — 'и(п — Ц и ') р(к, г) т," 'Йх — , 'р(Хм 1) Хз — '— — Р(Хп >) Хг ~,' (Ъ'Л.16) Р (з, 0) =- Р -> б т, (ЧЛЛ7) отвечающему отоору жидкости из пласта с расходом — »БХХЦ» (в частности, 6 = 0 соответствует отсутстви>о движения в невозму>ценном пласте). Пусть, далее, возмущение возникает вследствие некоторого изменения условий на границе з =- О. Тогда, очевидно, в каждый момопт изменение давления в удаленных точках пласта мало. Поэтому, естественно, прн отыскании приближенного решения вновь ввести представление о конечной области влияния 0 ( з == = 1 (Ф), предполагая, что на границе л = 1 (>) давление и расход жидкости не успели измениться и сохраняют первоначальные значения (в случае конечного пласта протяженностью Х область влияния, начиная с некоторого момента >', охватывает пласт целиком, и 1 (г) = Ь, г ) г*).
Будем искать приближенное решение задачи в виде миогочлена у (л, г) = Р„(г) + Р, (>) х>1 — ' ...—; — Р„(1) з" /Г (О ~ л ~ 1); р(х, г) =р(х, 0) (х.-- Е). (ЧЛ.18) >20 При построении приближенного решения удобнее пользоваться системой интегральных соотношений (УЛ.6), чем исходным дифференциальным уравнением, поскольку в выражение (>7ЛЛ6) не входят производные неизвестпых фуш'ций. 3.
Рассмотрим вновь задачу о возмущении первоначально стационарного движения в пласте. Пусть в момент 1 ==- 0 давление распределено по закону Выражение (Ч.1.18) полностью определяется и + 2 неизвестными функциями времени — коэффициентами Рю Р,..., Р„и поло'кением границы области влияния 1. Для определения этих и + 2 неизвестных можно составить систему уравнений, вкл|очающую некоторое число интегральных соотношений (УЛ.16), граничное условие при х =- О, определяомое иостановкой задачи, и условия при х = Первое из этих условий — непрерывность давления (~ 1.19) р(1, 1)==Р+6Д Аналогичным образом условие непрерывности расхода дает дрК 0 дх (ЧЛ.20) Наконец, эта система условий моя'ет быть дополнена условиями определенной гладкости решений на границе возмущенной области д-г (Д г) дар О, 0 дхэ ' ' ' дха (У Л.21) р (О.
1) ==- р; р (х, О) = р„= 0 (7 Л.22) (удобно принять начальное значение давления за нуль). Распределение давления будем искать в виде (У.1.18). Используя условие (Ъ'Л.22), получаем Ра (г) — рм Рэ+ Рт ! (Ъ"Л.23) 121 Основной вопрос при применении метода интегральных соотношений состоит в том, какие из бесконечного числа условий следует использовать для определения неизвестных.
Ясно, что необходимо использовать хотя бы одно из интегральиь|х соотношений, так как в противном случае совершенно ие будет использовано уравнение (УЛ.13). Обязательно также должно быть использовано граничное условие при х = О, поскольку ово отрая1ает специфику задачи. По тем ясе соображениям должно быть принято условие непрерывности давления и расхода при и = — 1. Значительно сложнее дать какие-либо рекомендации по выбору остальных определяющих соотношений. Отметим лишь, что каждое интегральное соотновюпие добавляет одно дифференциальное уравнение, а каждое условие гладкости прв х —.= 1 — одно конечное соотношение. В то же время условия при х =. 1, будучи локальными, могут не обеспечить хорошего приближения решения в основной области. Волго того, принятие слишком большого числа таких условий может привести к качественному искажению решения — появлению колебаний а т.
д. С этой точки зрения использование интегральных соотношений в качестве дополнительньтх определяющих условий при повышении порядка приближения — более оправдано, хотя и более сложно. 4. Применим эти общие сообрая ения я сформулированной выше задаче о пуске галереи. В этом случае Полагая в (т'Л.16) ь, (!) = —.. О, ьо (!) =- ! (!), находкм интегральные соотношения в виде: й ".=-- ( — "): о ( т'Л.24) —, ~ рхдх:.=-кр(0, !); о Р' 1.2б) ! !Ю! — ~ рхо!!х=к!о()о — 1) ~р(х, !)х' 'дх (1~2), (~ъЛ.20) зР('"! =-о.
до о (-о Тогда (УЛ.27) Р =р;, Р 0-Р +Р,=О; Р,-02Р,.---О, а из (т'Л.24) следует соотношение о! г 1, ! ! „Рг — ! р,!+ — Рг!+ —,Р (~= — и —. ш 1 2 3 о ~ ! Отсюда находим Ро = РП Рт — — — 2РП Ро = Р;, !о =--- 12кт. (\гЛ.28) Соответственно для скорости фильтрации на границе и (О, !) получаем и(0, !)= — — ' — ' (УЛ.29) !о Узк! что уже весьма блинно к точному выражению (УЛ.12). Посмотрим теперь, что получится, если в качестве дополнительного условия использовать второе интегральное соотношение (Ъ'Л.25). Имеем систему уравнений Р,=р,; Р,+Р,+Р,=-О; — "р,(+ — Р !+ — Р !" = — —. ЛГ Ф Г Л кР, ао~ 2 ' З о1 — "1-""--л "+-"3-"' (ЧЛ.ЗО) Если выбрать и = 1 и использовать в качестве единственного недостающего условия интегральное соотношение (ЧЛ.24), то мы вернемся к решению методом последовательной смены стационарных состояний.
Будем теперь уточнять решение, используя приближение многочленами более высокого порядка. Полон!им и = 2 и добавим еще одно условие. Возьмем сначала в качестве этого дополнительного условия Интегрирование последнего соотношения дает Р (бра + 4Р -)- Зрг) = 12кргб Выражая Р, через Р„получаем систему 1г(зр1+ Рг) ='12крг0 (У.1.31) В данном случае очевидно,что (У 1 32) с= сопзг, таи что решение задачи упрощается.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
