Г.И. Баренблатт, В.М. Ентов, В.М. Рыжик - Теория нестационарной фильтрации жидкости и газа (1132325), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Результаты вычислений шжазаны на рпс. У.4. Рассмотрим теперь задачу о заполнении пластав предположении, что задан поток газа через скважину пренебрежимо малого радиуса: Пш ~г зР- )= — Ч'(1). находим и (1) к, пользуясь формулой (У.3.25) и табл. 1УЛ. находим искомое решение. Координата переднего фронта продвижения газа определяется при этом соотношением Если Р (1) = тР, то решение аадачн авгомодельно и может быть представлено в виде (см.
гл. 1Ъ', т 3): р(х, Г)=т' ЫД1Ч,(о, 1); ) =Р!(Р+2)', $ = г (йаотт а+о)-О' (р+ 2)'Н; (~У 3 29) луд~ )=О; !1шо — „'-==1. 1 о оРункция ~, ( о, ь) обращается в нуль при ~ ~ $~ (й) и удовлетворяет интегральному соотношению (1о'.2.32): во нн 3 ~~ ® )')"ь= 1-1Л. о Найдем приближенное решение сформулированной аадачи в виде: -:оооо' о[+((в"тмо) . чо) о (У.З. 31) Как нетрудно видеть, такое приближенное представление ре|нення удовлетворяет начальному условию и условию на бесконечности при любом й (1), функцию Ркс. У.4 же Х (1) мы считаем подлежащей определению.
Для ее нахождения воспольэуемся интегральным соотноовением о~ гн — У р(г, 1)о(г=-аоЖ(1), (Ъ'.3.32) о где го (1) — граница области проникновения гаэа; р (г, «) ) О при г о г* (1); р (г, 1) ==- О при г = го (1). После некоторых вычислений получаем (т.З.ЗО) 1 Г' 1-т ).(1) , 1 = ) Ф (т) ) )/ Р (1) (1 ~ ~ Ч (1) 11~ о о ( о'.3.33) !39 Формулы (о'.3,31) н (т'.3.33) позволяют вырааить приближенное решение череа затабулированную функцию (, ( ~, Х). В тех случаях, когда задача допускает точное автомодельное решение, приближенное решение совпадает с точным.
Есть две причины, по которым мы ограничилнсь использованием автомодельных решений только для приближенного решения задач с нулевым начальным давлением газа. Во-первьох, только в этом случае решение автомодельно при любых (постоянных) оо и (ь т. е. имеется однопараметричсгкое семейство реп1епий.
Во-первых, именно задачи о филгнрации с, нулевым начальным давлением газа представляют особую сложность для методов линеаризации и малого параметра, поскольку разложение по параметру ч = 1 — (р~/р«)» становится прп атом неправомерным. й 4. ВИДОИЗМЕНЕНИЕ МЕТОДА ИНТЕГРАЛЬНЫХ СООТНОШЕНИЙ ДЛЯ СЛУЧАЯ БЕСКОНЕЧНОГО ПЛАСТА При решении нелинейных задач различного вида последовательное применение метода интегральных соотношений по стандартной схсме приводит к громоздким вычислениям, тем более сложным, чем больше число неиавестных коэффициентов в приближенном выражении. Заметного упрощения можно достигнуть таким подбором приближаюв1их функций, чтобы нужная точность получалась уже в одном иэ первых приближений (а практически— у(ч»у в первом приближении).
Иными слоа вами, аадача состоит в том, чтобы почти «угадать» решение. Большую помощь при этом может оказать предварительное качественное исследование. Такое исследование уже было описано в $ 4 гл. 1»г для автомодельпой задачи о притоке газа к скважине, пущенной в эксплуатацию с постоянным дебитом. При этом оказалось, что движение Рвс. У.б вблизи скважины быстро стабилизи- руется. так что массовый расхоч газа через соосную со скважиной цилиндрическую поверхность практически не меняется вплоть до некоторого расстояния от скважины (рис.
У'.б). Тэм 'кс, где расход начинает меняться значительно, изменения давления гачз по отношению к начальному значению невелики, и уравнения движения мо;кно лвнеарпзовать. Это позволяет по существу считать, что расход газа зависит от расстоянии и времени так жс, как и в соответствующей линеариэовапной задаче, причем баизосч истинного и «ливеаризовакного» распределений расхода обусловлена малостчио обычно встреча»ощихся значений дгбвтз (малостью значений 1 в обозначениях гл. 1У). Методом интегральныхх соотношений с учетом указанных соображений можно получить прес»ые и достаточно точимо решения ряда задач. 1.
1'ассяотрвм осесимметричное движение сжимаемой жидкости в деформируемой среде, следующее аакону Дарси. Для наших целой будет удобно ввести в ясном виде величину массового раскола жидкоств в данный момент через поверхность г =' сова« единичной высоты: а †.».ри = — г — р — -. /" дг (У.4.1) дг Уравнение (у.йь() вместе с уравнением неразрывности (Ъ'.4. 2) Гло и уравнениями р = р (р), — й =- й (р), р =. д (р), ш = т (р) (1'.4.3) составляет замкнутую систему уравнений двиятения.
Вводя функцию Р(р)=-1 — ~ 1Р, г вр о ( т'.4.4) являющуюся аналогом функции Лейбепзона в теории фильтрации газа, можно привести систему (т'.4 1), (Ъ'.4.2) к стандартному виду: —.-+ — - — =0 с=в дг' я (г) да дР М г дг ' дт (Ъ".4.5) где (У4 8) д (г, О) = де=-совз1; д (а, г) =- ~1 (1) [а ~ г С со, 0 <" 1 <" ос ). (1'.4. 7) Условия (Ъ'.4.7) соответствуют важнейшей для приложений задаче о нестацнонарпом притоке к скважине (а — радиус сивая'вны). Наиболее простым является случаи, когда расход в скважине изменяется скачком. При этом от скважины начинает распространяться волна изменения расхода, и распределение д (г, 1) принимает вид, показанный для последовательных моментов времени на рис.
Ъ'.5. Характерно при этом, что расход сохраняет постоянные значения вблизи скважины и па удалении от иее и лишь в некоторый промежуточной области происходит его резкое изменение. Такой характер изменения д (г, т) имеет место при всех представляющих интерес видах зависимости я (Р). И простейшем случае прн и (Р) = и = совет, ~1 = совет имеем д(г, г)=(1ехр( — — ) (4нт)~ат). ( т'.4.8) — переменный коэффициент пьезопроводности. Система (У.4.5) может быль записана в виде одного уравнения для Р.
В таком виде можно записать систему уравнений движения прн упругом режиме уравнения изотермической фильтрацни газа и уравнения фильтрации в нелинейно деформирусмой среде, так что система (У.4.5) описывает достаточно общую ситуацию. 11редноложим, что рассматривается некоторое возмущение стационарного режима, возникающее на внутренней границе системы (в скважине). Чаще всего такое возмущение состоит в том, что задается определенный закон изменения отбора из скважины. Поэтому будем считать, что задача для уравнений (У.4.1) имеет вич: Естественно поэтому попытаться найти лриблия<епное регэсние задачи (У.4.1) — (У.4.2), полагая у (, 1) =- уэ-( (у — 7з) ехр ~ — — "„), (У 40) где 1= 8 (Π— параметр, выбираемый так, чтобы наилучшим образом удовлетворить некоторому дополнителыюму условию, которое будет приведено ниязе.
Если зкелательно учесть такжо конечность радиуса скважины и изменение во времени дебита скважины Ч (з), то удобно пркпять аз — ы д(г, з) =-д„+(Д вЂ” д,)ехр (У.4.10) — — (гз — аз) ~ — ' — —,— ' — ~ Нг = ~ и (Р) — — пг. (У.4.11) а Й Выражение (У.4 10) удобно в том отношении, что после его подстановки уравнение (У.4.11) принимает достаточно простой вид. Пре)кде чем перейти к рассмотрению примеров, сделаем одно общее замечание. Выбор расхода д (г, О в качестве функции, для которой задается распределение относительно простого вида, ие случаен. Можно показать, что в аачачах, в которых иа границах области движения фиксируются значения д, распределение расхода сравнительно мало зависит от вида уравнений движения, оставаясь качественно таким ясе, как и для задач упругого режима.
По этой причине распределение расхода д (г, О достаточно легко зугадатья с требуемой точностью. Здесь мы воспольауемся этой возможностью только для движения в однородном бесконечном пласте, однако тот же подход применим к неоднородным пластам и пластам конечной протяжоппости. 2. В качестве первого примера возьмем задачу из области теории упругого режима, рассмотренную еще Маскетом (781, о притоке к скважвэе конечного радиуса, пущенной с постоянньгм дебитом. В этом случае Р = рйр/й; к = к, =- ЙК/тр. = совах; ч =- сопзФ; д (г, 0) = О.
Подставляя для д выражение (У.4.10), пз (У.4.11) получаем (У.4.12) или (У.4.1З) В отличие от (У.4.9) выра>кение (У.4.10) не является точным даже для случая упругого режима. Оно, однако, удобно в том отношении, что позволяет значительно упростить вычисления, обеспечивая достаточно хорошее прнблиязение. Для определения функции 1 (З) воспользуемся интегральным соотношением Интегрирование первого уравнения системы (Ъ'.4.1) с учетом условия р (оо, г) = р (г, О) = 0 дает р (г, Г) .=- — Е1( — —, ) . рр ./ сот 1 а ( и / (У.4.14) Выражения (Ъ".4Л4) и (Ъ'.4ЛЗ) представляют в параметрическом виде искомую зависимость р (г, Ц.
Па рис, ЪЪ6 показана зависимость отношения 1оД4хо) и безразмерной депрессии в скважине Р = р (а, о) — Р- от безразмерного времени хс/ао = т; полученное реше- рО ние хорошо согласуется с точным ретлением Маскета [78]. Рассмотрим теперь несколько аадач фильтрации газа. Примем, что в печальном состоянии движения нет вовсе, о (г, О) = = О, а начальное значение функции Лейбепзояа Р (г, 0) = Ро одинаково во всех точках, Р (г, 0) = Ро = сопз1.
В атом случае, используя первое уравнение системы (Ъ'.4.5) и соотношение (ЪЪ4Л1) и ограничиваясь поправкой первого порядка на изиепешос х (Р) х(Р) =-х(Р ) (1+па(Р— Р )1, (Ъ'.4.15) легко представить интегральное соотношение (Ъ.4.11) лг в виде: фг сг ба дв л т Рвс. Ч.С =ха~0+ 2 Чо(? ) е' ' Е1~ — —,„) — е'"' Е1~ — —;Я, (У.4.16) Р (г, 1) =- Р + —, () е д Е1 ( — — ) . (Ъ'.4Л7) В практически интересных случаях выражение (Ъ'.4Л6) удается без особого труда упростить. Если рассмтривать лишь достато шо большие времена, 1о~ао >> 1, то уравнение (Ъ'.4ЛО) представится в виде: д, ~~)1о — ()по1п — ) хо() (1 — — Чо~1 1и 2) .
(У.4Л8) В свою очередь для Р (г, 1) из (Ъ'.4.1) и (Ъ.4.8) получается выра- жение При выводе этого выражения учтено таки'е, что практически во всех случаях л1Я (~ 1. Из (У/йь18) следует выражение для времени: 32 — ал 1п (гл/ат) (7.449) 4хэ 11 — л/л ч„р Рэ 21 * а из (т'.4.17) — формула Р(г, Г)=Р + ~ ~1е" Д Е1( — —,). (т'.4.20) При больших временах можно, препебрегзя членами порядка (ат/1з) 1и (1л/ат), представить (т'.4.20) в виде: Эта формула весьма близка к аналогичной формуле теории упругого реялима и совпадает с ней, если пренебречь величиной произведения л/зл1е(71э 2 по сравнению с единицей. Поэтоллу, наблюдая изменение функции Лейбензона при пуске газовой скважины с постоянным дебитом, можно определять параметры пласта таким яле образом, как при упругом режиме определяются параметры пласта по измонениям давления.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
