Г.И. Баренблатт, В.М. Ентов, В.М. Рыжик - Теория нестационарной фильтрации жидкости и газа (1132325), страница 31
Текст из файла (страница 31)
( Ч1.2. 5) дБ да т — + йт и, = 0 т — — йт и. = О. д1 дс з (Ч1.2.6) Решенве системы уравнений (Ч1.2.1), (Ч1.2.2), (Ч1.2.6) для двухилн трехмерных случаев весьма слонсно. /[ля анализа общих. свойств поля насыщенности при вытеснении применим асимптотнческий подход, основанный на малости некоторых безразмерных параметров, входящих в условия задачи (см. работу Г. И. Варенблатта (261). В систему уравнений и граничные условия входя~ следующие размерные определяющие параметры: Ьр — перепад давления менарду скважинами илн галореямн; т.
— характерный размер области течения; козффвциенты й/р, и й/р.ю а такя<е р,'=а)/т/Й соз О. Перейдем в уравнениях (Ч1.2.1), (Ч1.2.2), (Ч1.2лб) к безразмерным переменным: Лр 157 Таким образом, мы получаем замкнутую, систему уравнений для р, и г, поскольку р, и рз являются функциями давлений р, н рз, а изменение порнстостн в однородном пласте зависит только от изменения среднего давления р = р гт +рз (1 — г) (ср.
гл. 11), а не давления компонентов. Если вытесняемая и вытесняющая фазы — слабосжнмаемые капельные жидкости, влиянием снпгмаемости на распределение насыщенности можно пренебречь. Действительно, характерное время пестацнонарного перераспределения давления за счет сжшааемостн имеет порядок 1, = П/х, где к — козффицнент пьезопроводности, т— характерный размер. Характерное время вытеснения — порядка = 1,/и, где и — средняя скорость фильтрации. Обычно скорость фильтрации — около 10 ' '" см/сек, т = 10' —. 10з см, а и = 10' см'/сек.
11озтому 8,/сз = 10' з, откуда видно, что нестационарные процессы упругого перераспределения давления заканчиваются в начале хода вытеснения. Если жидкости и пористую среду можно считать несжлмаемымн, имеем вместо (Ч1.2.4) н (1Ч.2.5) Это приводит к системе уравнений 1Г, =- — 1» (з)ягао) Р, + еЛ (з) У(з) яга() о; Оо= Ро1»(з)Юга») Ра Ро=-'Р»Й'о (У1.2.7) (оператор яга(( выполняется здесь в переменных Х, У, Я): дп„» др, дп з ш — + — — + — ' - — + — — =-.О; дт дХ дУ дй до дпе» др и дыоз л» вЂ” — — — — - —— =О.
д» дХ д»1 дЯ (У1 2 8) 458 Уравнения (У1.2.7) записаны через Р„так как только вытесняемая жидкость остается непрерывной во всей области течения, а вытесняющая мояоот в целых областях, куда еще не дошел фронт вытеснения, находиться в виде отдельных капель. о Параметр е = — ' мал в болыпннстве интересных для приложений лг задач, так отмечалось в $1.
Поэтому член ~У, = з)1(о) з' (о) ягао) з может быть существен лишь в узких областях, где велик градиент насыщенности. Самый факт суп»ествованвя таких областей будет установлен позже, пока же отметим, что их протяженность доля~на быть мала по сравнению с основной внешней областью именно потому, что в нвх велик (8»ай з(, а з — ограниченная величина. Это позволяет применить для анализа системы (У12.7), (У1.2.8) метод асимптотнческого сращивания 136а), который заключается в использовании разных масштабов прн рассмотрении движения в основной области и в узких зонах резкого изменения насыщенности.
Подобно этому течение в пограничном слое вязкой жидкости вблизи стенок имеет иной пространственный масштаб, нежели внешнее течение. Разделим область фильтрации на внешнюю зону, где С, — малая величина, и узкую внутреннюю зону кли воны, где вследствие больших значений ~ дга») о) значением О', пренебречь нельзя.
Малость параметра е приводит к естественной попытке исследовать течение во внешней зоне, разлагая искомое решение в степенной ряд по этому параметру (внешнее разложение). 11ервый член внешнего разложения мы получим, полагая в = О. Исследование структуры внутренней зоны (внутре»шее разложение) будет рассмотрено в следующем параграфе. Общие свойства внешнего разложения рассмотрим вначале на примере одномерной задачи, решение которой получается в замкнутом видо. В одномерном случае (плоском, радиальном или сферическом) уравнения (У1.2.8) с учетом (У1.2.7) при е = О запишем, возвращаясь к размерным переменным, в видо: дх д 1 д Г „дд~ т — —" — — — — ~з'-т1 (з) — ~=0; д! Н! зт-! дх ~ г дз) (Ъ" 1.2.9) т — д-+ — —,, д — ~ ха-Чз (з) д ) =- 0 (Р! = Рз =Р) цз хт-ь дх (т = 1, 2, 3 соответственно для линейного, радиального или сферического течения).
Вычитая второе уравнение (У1.2.9) из первого и интегрируя, получим (1 (з)-( (ь ~а(з)) ~ =-- —,( — (рз — — ~' ). (У1.2 10) х~ ! Это равенство выражает постоянство суммарного расхода вдоль трубки тока а силу неся!имаемости жидкостей. Определяя др/дх из (У1.2.10) и подставляя в любое нз уравнений (У1.2.9), получим одно уравнение для гс ( т'1.2.11) А где () (() — — — С (() — суммарный расход жидкости через трубку )ч тока, а Г (з) —. У () ,й(0+но(з(~) ' Функция Р (з) равна отношению скорости фильтрации (или расхода) вытесннющеи фазы к суммарной скорости фильтрации (нлн к суммарному расходу).
Функцию Г (а) принято называть функцией распределения фаз. Введем новые независимые переменные:(! = ) — !(1, ту = — . !' чР) т у Величину И' мояшо рассматривать как объем трубки тока между сечениями х, и х (в частности, нри т = 1 и д (() = сова! переменная ~) пропорциональна време!пц а )т' = х). Тогда вместо (Ъ'1.2.11) имеем (У1.2.12) Этому уравнению в часптых производных первого порядка соответствует следующая система характеристических уравнений: ! Р(8) о ( Ъ'1.2.
13) Общее решение системы (т'1.2.13) представляется в виде: 8=с1, (Ъ'1.2 14) В -СЧ'(з)+Сз )59 Текил« образом. вдоль характеристик уравнения (Ч1.2.12) г = = сове« и в плоскости (И', б/) характеристики представляют собой прямые линни. «Экэ««чески это означает, что каждое значение насыщенности з распространяется со «скоростью» «11$/«л,),пропорциопаль- дИ' пой Р' (з), В случае движения плоскими волнами т=1, а — есть дф истинная скорость распространения данного значения насыщенности. На основании равенств (Ч1.2.14) общее решение уравнения (Ч1.2.12) можно формально записать в виде: И»: ~)Г (з) ' И р (») (Ч1.2Л5) где функция И', (з) соответствует начальному распределени«о насыщенности (при ~) = О, т.
е. « = г»). На слези«янах (или галереях), через которые нагнетается вытесняющая кидкость, должны быть заданы условия, определяющие состав нагнетаемой жидкости. Если пагнетается одна (вытесняющая) жидкость, то такое условие записывается в виде: и == — — -/ (з) — О. В дг р» » дз (Ч1.2Л6) (Ч1.2.17) Действительно, если предположить, что в некоторой точке границы з ) зк», то в силу непрерывности насыщенности вблизи втой точки границы должна существовать целая область конечных размеров, в которой г)з»» и и»=О.
В силу уравнения неразрывности для вытесняемой фазы (Ч1.2 6) отсюда следует дз/д8 =- О. Это противоречит условию з =- з»» при г = О. Если же задано отношение расходов двух фаз на поверхности нагнетания )., то условие на границе имеет вид: (Ч1.2Л8) откуда таки«е определяется насыщенность на границе, поскольку относительные проницаемости 1«(з) и /» (з) известны. Вернемся ъ анализу общего вида решения (Ч1.2.15). На рис.
Ч1.7, а, б изображены типичные кривые Р (з) и Р' (з). Функция Р' («) имеет максимум в некоторой точке зм. Поэтому в соответствии с формулой (Ч1.2.15) дза различных значения насыщенности могут иметь одинаковую скорость распространения. В связи с этим получаемая по формуле (Ч1.2.15) зависимость насыщенности от И' 460 Поскольку др/дх чь О, так как не равен нулю суммарный расход, то из (Ч1.2.5) следует /» (а) = О, г - з . Пусть в начальный момент везде в пласте насыщенность вытесняющей фазы ниже, чем з»» (㻻— насыщенность, при котороп вытесняемая фаза становится неподвижной). Это условие выполняется почти во всех задачах, имеющих физический смысл.
Тогда при 1 ) О на границе будет выполняться условие может стать неоднозначной — большие значения «обгони(от» меньшие, как это показано на рис ЪЧ.8. Неоднозначность формального решения, получаемого из (Ч1.2.15), означает, что непрерывных решений задачи о вытеснении при заданном начальном условии не существует. Чтобы получить регпенне, име~ощое физический смысл, необходимо вводить разрывы (скачки) насыщенности, т.
е. поверхности, на которых значение насыщенности меняется скачком. Такие скачки могут существовать и в начальных условиях. и' йу 4ПЯ и П5 5,„1ПВ и 6 рис у( 7 п' С ростом (',у начальное гладкое распределение насыщенности деформируется, как зто видно на рис. Ъ"1.8. В некоторый момент (т. е. при некотором я касательная к кривой з (ур) становится верт1п(альной. Начиная с етого момента, возникает н распространяется скачок насыщенности. Положение скачков насыщенности заранее неизвестно и должно быть найдено в зависимости от времени из решения задачи. На скачках (позерхностях разрыва) должны выполняться условия непрерывности давления и сохранения массы каждой из движущихся фаз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
