Г.И. Баренблатт, В.М. Ентов, В.М. Рыжик - Теория нестационарной фильтрации жидкости и газа (1132325), страница 35
Текст из файла (страница 35)
дз . диз д. ди дС дз ' дГ дз (У1.4.21) Для противоточного движения из уравнений (У1.4.21) следует от+ зз О (У1.4.22) Исключая др;/дх из системы (У1.4.20) — (У1.4.22), получаем ит =- — и, = — а'ю— дФ (У1.4.23) 178 в нефтяных пластах, разбитых трещинами на отдельные блоки (трещиноватые пласты), когда продвигающаяся вода быстрее движется по трещинам и блоки оказываются окруженными водой. После этого вода впитывается в блоки, а нефть выходит нз них через ту же поверхность.
Исследуем противоточную капиллярную пропитку для линейного случая. рассмотрим, как и в предыдущем пункте, цилиндрический образец пористой среды, боковые поверхности которого непроницаемы. Первоначально образец заполнен несмачивающей фазой. Если один из торцов цилиндра также непроницаем, а другой приводится в соприкосновение со смачивающей жидкостью, то начнется противоточная капиллярная пропитка. Это означает, что смачивающая фаза будет впитываться, а несмачивающая выходить через единственную открытую торцовую поверхность. Описанный линейный образец можно рассматривать как элемент блока более сложной формы, например прямоугольного.
Как показывают эксперименты по протизоточной капиллярной пропитке прозрачных образцов, фильтрация во встречном направлении происходит равномерно по всему сечению, т. е. «каналы», по которым движется каждая из фаз, как и при обычном двухфазном течении, сравнимы по размерам с диаметром пор. Поэтому противоточную фильтрапню можно рассматривать в рамках представлений, принятых для прямоточной двухфазной фильтрации, и записывать закон фильтрации в виде: дз, Ю«1« — — — аз — = —.О д«дз ( Ч1.4.24) где я Ф (з) =- — ~ Аз (з) г' (з) «"" (з ) «(з, аз =- — з)/ — ' .
» уравнения Рано виду с урав- Уравнение (Ч1.4.24) является частным случаем лапорта — Лиса при «з = О. Это уравяение совпадает некием (Ч1.4.6), только функция Н(з) заменяется на Ф (з). Граничные условия также одинаковы для капиллярной пропитки газонасыщенного дд«» образца и для противоточной капиллярной пропитки, т. я: условие равенства нулю капиллярного давления на входе (з, = з», Х (зз) = О) и равенства нулю расхода на закрытом конце. И точно так же задача о пропитке становится автомодельной, если закрытый конец бесконечно ддгд удален и начальная насыщенность постоянна вдоль образца.
При этих уСЛОВИяХ МОЖНО ВМЕСТО Х И 1 ВВЕСТИ дддг автомодельную переменную = л/а 1/ К Уравнение для насыщенности в случае пропитки имеет в автомодельных переменных следующий зид: дз«В $ дз — -+- — == О дй» 2 д$= д дзд дгд агам з Рас. Ч1.18 (Ч1.4.25) т. е. совпадает с уравнением (Ч!.4.8). Полагая, что качественно кривые относительной проницаемости для противотока таковы же, как и при одинаково направленной фильтрации, воспользуемся теми же представлениями для 1, (з) и Х (з), что и в предыдущем пункте (т. е.
1, (з) = Ь (з — зз)З, Х (з) = В (з — з~) «+С), и получим, что при малых з — зз функция Ф представляется в виде: Ф(з)=1'«'(з — зз)" и >$ (1„(з) остается не равнь«м нулю). Типичный вид функции Ф (з) показан на рвс. Ч1.18. 'Таким образом, при малых з -- з„уравнение (Ч1.4.25) совпадает но виду с уравнением (Ч1.4.9). Поэтому качественные выводы о характере решений уравнения (Ч1.4.9) при различных значениях начальной насьпценности з», в том числе и вывод о конечной снорости афронта пропитки» при з„-= зз и условия на скачке при з» ( зз сохраняются и для рен«ения уравнения (Ч1.4.25). В частности, посколы«у 12» 179 скорость фильтрации первой фазы выражается формулой (Ч1.4.23), сохраняются и асимптотические выражения (Ч1.4ЛЗ) и (Ч1.4.18) для малых значений в — зв, Решение уравнения (Ч1.4.25) можно, как и ранее, найти, задаваясь значением $ = с таким, чтобы в (с) = вз.
Вблизи точки (с, О) это решение может быть представлено в виде ряда (У1.4Л6) или (Ч1.4Л8), а при больших значениях з — найдено каким-либо численным методом. Решение для заданного з, = в (0) = зз опре- зз 04 4Я С4' Дз Цд Рве. Ч!.20 П цт 44 Рис. Ч!.19 У(з) =в lэ — 1; У и У (1 з) (1 )з.
!4!/рз — — рз было принято равным 1. На рис. Ч1ЛО показаны кривые, соответствующие случаю з, = О и различным с. Видно, что при с ) 0,38 кривые з ($) пересокшот липин~ з = 1 при 9 ) О. Следовательно, физический смысл имеют только те кривые, для которых с < С 0,38.
На рис. Ч1.20 изображены кривые з ($), соответствующие разным значениям вз при в! = О 75. Заметим, что количество жидкости 41, впи- 189 деляется подбором путем изменения с, поскольку требуемая точность невелика. Если з„больше неподвижной насьпценности зз, то, как и для задачи предыдущего параграфа, з = вс только при $-4. оо. Семейство решений находится путем численного решения задачи Коши при заданном з, = з (0) с различными значениями дв/Ы $ ( 1,. Каждому из этих рсшояий соответствует некоторое значение вс. Искомое решение для заданного в, = в (0) снова определяется подбором.
В качестве примера на рис. Ч1ЛО и Ч1.20 приводятся кривые з (9), найденные при следующем выборе относительных прокицаемостей и функции Леверетта: тавшейся в пласт через единицу площади сечения к моменту вре- мени 1, равно 0 =- а 1/ТК (г, г ), (У1 4 26) где На рис. У1.21 построены кривые зависимости К (г») для г, = 0,7 при различных отношениях вязкостей (рг = 0,5; 0,1 и 0,01). Для того чтобы использовать дан- т ные о противоточной капиллярной пропитке в задачах вытеснения несмешивающихся жидкостей из неоднородных и трещиновато-пористых сред (см.
гл. УП, $ 3), необходимо иметь кривую зависимостк средней насыщенности образца конечной длины от времени. Если начальная насыщенность образца г, несвязная или равна нулю, скорость «фронта пролитии» конечна. Позтому решение для обрааца конечной длины до под- фЖ хода фронта к закрытому кокну совпадает с автомодельным. При атом иа формулы (У1.4.26) следует, что средняя насыщенность образца выражается формулой г дх 1гг« (У1.4.27) ряс.
'Л.21 а в= го+ ~ Ф 1й (гь г»). (У1.4.28) Учитывая условие ~Ь/дх = 0 при х = 1, будем искать распределение г в виде: »=㫠— А (г) (21 — х) х. (У1.4 29) 181 Чтобы получить аависимость г от г для последующих моментов времени, следует решать дифференциальное уравнение в частных производных (Л.4.24). Для качественного исследования ограничимся тем, что надушен приблия."снное решение. Проинтегрируем уравнение (»'1.4.24) по х от 0 до 1, предполагая, что фронт пропитки уже подошел к закрытому концу и г (1) > г». Тогда, используя граничные условия, имеем Средняя насыщенность г равна о =- — 1 гаг=-г,— =А (1) (о.
— 1,) =- ' — 2 ( У1.4.30) Поэтому г=г, — з (г, — г) ~2 — — ) — '. (У1.4.31) гдот 1!одставляя в уравнение (У1.4.28) выражения ~ — ) и~ Ыг, о о полученные из формулы (У1.4.31), найдем (У1.4.32) Уравнение (У1.4.32) нужно решить при начальном условии, выражающем непрерывность средней насыщенности в момент подхода фронта к концу образца; при 2 = 1 г = = г„ где го получается из формулы (У1.4.27), т.
е. го = г„+ К/с, йо=Р/с'а'. Искомое ретвение имеет вид: 2 Рис. У1.22 г=-гг-(г,— го — — )ехр~ — 3ср'(г,)~ —,, — Я. (У1,4,33) до о, до доФ вЂ” + — Р' (г) — — ао —.— = О, д1 т дг дио (У1.4З4) при етом для скоростей фильтрации каждой из фаз имеем в соответ- ствии с (У[.3.17) и = иГ (г) — аотсР* (г) -„—, и, +ив =-и (1). (У1.4.35) до Суммарная скорость и (1) есть функция времени и долвсна быть задана или определена из грввичных условий для давления. Если 122 Таким образом, при 1( го средняя насыщенность выражается формулой (У1.4.27), а при Ф > Ԅ— формулой (У1.4.33).
Общий вид — ам аввисимости г (т), где т = —,, показан на рис. У|.22 для условий рассмотренного выше примера. 3. В обозначениях, использованных в и. 2, уравнение Рапопорта — Лиса (У1.3.4) примет вид: На рис. Ч1.23, а, б вместе с решениями уравнения (Ч1,4.36) (кривая 1) приводятся также кривые 2 для г ($), рассчитанные по формуле (Ч1.4.38) с условием (Ч1.4.39) для тех ше аначеннй Х (т. е. Х = 1 дх бп Р .ЧтгЗ и Х = 0,25). Ив приведенных кривых видно, что прн Х = 1 решение Баклея — Леверетта очень блиеко и точному. В частности, для решения Ваклея — Леверетга С (г,) = 2,45, а для точного решения с = = 2,49. В случае Х = 0,25 расхождение более существенное.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
