Г.И. Баренблатт, В.М. Ентов, В.М. Рыжик - Теория нестационарной фильтрации жидкости и газа (1132325), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Выведем условия па скачках для общего случая неодномерного двухфазного течения. Первое из зткх условий записывается в виде: (1'1.2 19) р(ы р(ы Рассмотрим теперь условия сохранения массы каждой из фаз при прохождении поверхности разрыва (сьачка) через некоторый элемент объема пористой среды (рнс. У1.9), вырезанный по норхалн к поверхности разрыва. В силу.
непрерывности давления сжимаемость И за1иачзсз жидкостей для условий на скачке несущественна. Применим к етому злементу уравнение сохранения массы (У1.2.3). Имеем — „, Цв)зАт) = — тр„(зм) — гСз)) А+о (Т), г где А — площадь поперечного сечения злемента (индексом 1 сверху обозначены величины за скачком, индексом 2 — перед скачком); ӄ— скорость перемещения скачка по нормали к нему; о (Т)— величина, стремящаяся к нулю быстрее, чем Т. Поток жидкости через сечения,параллельные поверх~п ности разрыва, равен (итдд— ,е(6 Рве. У1.8 Рве. Ъ'1.9 — иф) А (и,„— проекция скорости фильтрации первой фазы на нормаль к поверхности скачка). Поток, связанный с касательной составляющей скорости, исчезающе мал по сравнению с и,„А при стремлении Ьп ь нулю з силу условия (У1.2.19).
Условие сохранения массы первой жидкости примет тогда внд) в)У„(зы) з1з))=и1г) иж. (У1.2.20) Равенство (Ъ'1.2.20) можно переписать в виде: вм) — и1з) 1а 1а 1 л зс (в~ ) — 8~~)) (Ч1.2.21) Условие сохранения массы второй жидкости также сводится к выражению (У1.2.20), поскольку иШ+ иЮ = и(з) +и<а) (У1.2.22) и0) = ч — Р (г)) (1 =- $, 2), ( т1.2.23) 162 Вернемся к исследуемой одномерной задаче, Из определения функции д (г) и г" (з) можно записать выражения для скоростей фильтрации вытесняющей фазы позади и впереди скачка: где индекс 1 относится к величинам за скачком, индекс 2 — перед скачком. 'Гогда получим следующее выражение для скорости скачка У» = У = Ых/Нй ла яР) Е(»(м) Р(» ) = тзх-г » — » (Ч1.2 24) Переходя ь переменным И' и (», получим ЫИ7 Г (3(1)) Г (»С2)) ~~д ом ои (Ч1.2.25) Распределение насыщенности по обе стороны скачка описывается формулой (Ч1.2Л5).
Положение скачка И', и насыщенность на скачке е» = зеп можно определить вычислением последовательными шагами, исходя нз начального положения скачка (т. е. места появления вертикальной касательной), по формуле (Ч1.2.25). Выведем дифференциальное уравнение, описывающее изменение насыщенности на скачке в зависимости от 1». Для насыщенности на скачке, ьак и для любого значения насьпценности, выполняется сост ношение (Ч1.2Л5): Ит = дг» (з ) — ' Ит ( (Ч1.2.26) Очевидно, согласно (Ч1.2.26), г, = зп' меняется с изменением () (т. е.
со временем). Дифференцируя (Ч1.2.26) по ф, имеем = с (з»)--.(Ф (з»)0-'-1ро(з»)) д' . (Ч1 2-27) Приравнивая выражения для скорости распространения скачка насыщснпости (Ч1.2.25) и (Ч1.2.27), придем к следующему уравнению для з,, еь Г (» ) — л (»(ю) — у' ( ) (» — оп) (»» " ) 1»' Ы (~+и» (»»)1 ('Ч1.2.28) » (»») — » (»О! о. ( »»»О (Ч1.2.30) Значение а'" в уравнении (Ч1.2.28) является функцией () и з,. Оно определяется из условия И' (з'и)= И' (е,) = И', в соответствии с формулой (Ч1.2.15): ()Г (з»)+1ре(а»)=ЮГ (з"')+И»(е'м)- (Ч1.2.26) Для решения уравнения (Ч!.2.28) начальные значения з, и () определяются в той точке, где г)И/»(г, соответствующее формуле (Ч1.2Л5), впервые обращается в нуль. Из уравнения (Ч1.2.28) следует, что на скачке насыщенности, по обе стороны которого з, и аз = з'м постоянны (стациопарпый скачок), должно выполняться условие Это условие (полученное впервые в работе Баклея и Леверетта [1341) означает, что скорость распространения скачка равна скорости распространения нась|щенностн на скачне з,.
Рассмотрим отдельно случай, когда начальная насыщенность з (И', 0) = го постоянна во всем пласте. Тогда И'о (г) = 0 при г >за и И'р (з) неопределенно при г зм Из формулы (У1.2.15) имеем в данном случае И =И (з) (з)го) Предположим, что за (г„, (см.
рис. У1.7„6), и скачок возникает. При заданных условиях в уравнении (У1.2.28) переменные разделяются. Обозначим .т, — га = у, Г (з,) — Р (г,) = ч (у). Тогда из уравнения (У1.2.28), интегрируя, получим ф (у) уф (у) = — С. - сонч< (У1.2.31) Поскольку при ~1 — ~- 0 (в начальный момент), леван часть равенства (У1.2.31) остается ограниченной, С должно обращаться в нуль. Следовательно, скачок является стационарным. Возвращансь к переменным г, и гз, получаем, что на скачке при любых ~7 выполняется соотношение (У1.2.30). Пусть начальное распределение насыщенности таково, что И'э (г) (О при всех г, а при И' — ~- со а (И', 0) -+. г,.
Тогда рассмотренное выше решение для случая за — — соввь будет выполняться асимптотически при Д вЂ” '"с, поскольку И7э (з,) ограничено. 1'ассмотренное решение и условие (М.2.30) было получено Баклеем и Левереттом 11341. Исследование движения скачков насыщенности выполнено С. Н. Бузиновым и И. А. Чарным 1361. В общем случае неодномерной задачи системы ('Л.2.7) и (У1.2.8) дане при е = 0 уже не сводятся к одному уравнению для насыщенности.
Необходимо определять р и з совместно. При этом граничные и начальные условия для р те же, что и в задачах фильтрации однородной жидкости. Условии для з имеют вид (У1.2.17) или (У1.2Л8). 1(роме того, на скачках, положение которых заранее неизвестно, должны выполняться условия (У|.2Л9), (У1.2.22) и (У1.2.23). Решения неодномерных задач могут быть получены лишь численно на ЭВМ. В 3.
СТРУКТУРА СКАЧКА НАСЫЩЕННОСТИ. УРАВНЕНИЕ РАПОПОРТА †ЛИ. СТАБИЛИЗИРОВАННАЯ ЗОНА На примере решения Баклея — Леверетта видно, что если в задаче о'вытеснении нефти водой ограничиться первым членом внешнего разложения, т. е. не учитывать каппллнрной разности давлений, то необходимо вводить поверхности, па которых насыщенность терпит разрыв. 161 1/зу- — Ро), (з) — ду-1 дРз '1у =- — /л (а) ау арл (У1.3А) ьз' /'() ах Рл о— Р,— Р, =. еХ(з) Уравнения неразрывности: дГ диду Ш~дз дт + дХ + ау ~ дл (У1.3.2) дл дозх долу аГ~аз т= — — ' — — е — '-.— — з .= О. дъ дХ дУ дЯ Подставляя (У1.3.1) в (У1.3.2) и отбрасывая члены порядка з и ел получим — — —,— дх-(,гл(а) ах' /---0' (У13.3) ш а, + —,— ах ~/л(з) дх-/+~ з дх-(/л(з) У'(е) — ) =О. Нл л 165 Чтобы описать распределение насыщенности в узких областях, вблизи скачка, нужно получить «внутреннее разложение» решения задачи о вытеснении на основе полной системы уравнений (Ъ"1.2.7), (У1.2.8).
Для построения первого члена внутреннего разлол'ения введем в окрестности некоторой точки поверхности разрыва (т. е. скачка насыщенности) локальную мгновенную декартову систему координат с центром в точке 0 поверхности разрыва. Ось х направим г~з, Х по нормали к поверхности разрыва н у г~ с введем вдоль этой оси масштаб 1 =зЬ, з с т. е. положим Х = —, сохраняя лл вдоль других осой масштаб А =симл л (рис. Ъ"1.10). Масштаб времени примем равным г, = 1/ил и положим т = Г/лл. В остальном сохраним те же беаразмерные параметры и переменные, что и в уравнениях (лг1.2.7) и (У1.2.8).
Заплппем систему уравнения в безразмерном виде. Обобщенный за- Рас. у1ЛО кон Дарси: ая, С вЂ” — — — / (з) —— лх з л дХ Исключим дР~/дХ иэ уравнений (У1.3.3), что дает окончательно "" л ю лх'+1'о аг ()о(о) х (з) г (з) ах )=О, (У1.3.4) з. элОО а ао т где (т) = — "' '-"-- — — я( )+дА(о)1 — '-+И у'(о) — =- =й, +й,. (УВ35) (уо у) =Х Рот (У1.3.6) Иными словами, в масштабе времени внутреннего разложения процесс вытеснения продолжался весьма долго, и его можяо счв тать установившимся в системе координат, связанной со скачком. При этом в силу различия масштабов 1 и Х, должны выполняться граничные условия ( )=зсц=.з ° з(+~ )=з(ю=з, (У1.3.7) где о'и = о, и зео = оо — насыщенности за и перед скачком, опрс делнемые из внешнего разложении [в задаче Баклея — Леверетта они связаны соотыошеыпем (У!.2.30) 1.
Параметр Уо в равенстве (У1.3.6) есть, очевидно, скорость распространения поверхности разрыва, определяеман формулами (У1.2.21) или (У1.2.24). Используя (У1.3.6), получим вместо (У1.3.4) уравнение — т)г~=- — ш — - -~-до= — ~о(о)Р(з)У (з)-.= =О. (У1.3.8) , ло лг(.) л г ы Нз и о.~ " Система (У1.3.1) — (У1.3.2) свелась к одномерному уравыеыыю (У1.3.4), потому что радиус кривизны поверхности разрыва имеет порндок А, и в принятом масштабе 1 эта поверхность, как и поверхности о = сола|,, заменяется плоскостями.
Равенство (У1.3.5) означает, что в пределах зоны скачка, где движение можно считать одномерным, суммарнан скорость фильтрации обоих фаз вдоль оси г, ю есть величина, зависящая только от времени, как при движении в цилиндрической трубке тока. Значение и в уравнении (У1.3.4) находится из внешнего разложения, как безразмерная суммарыая скорость фильтрации через поверхность разрыва в точке О, Уравнение (У1.3.4), описывающее одномерное вытеснение несмешивающихся жидьогтей, называется уравнением Рапопорта — Лиса 11521. Поскольку масштаб времени во внутреннем разложении г, намного меныпе, чем во внешнем, а скорость ш определяется внешним разложением, то пры исследовании внутреыыего разложения можно считать и (т) = сопэг. Ввиду различии масштабов времени во внешнем и внутреннем разложении достаточно зоспользоватьсн стационарным решением задачи Копти для уравнения (У1.3.4), т.
е. положить Интегрирование дает — трое — юР (г) +)о 1~ (г) Р,.)' (г) = = с =* сова1. (У139) ом Из условии г г, прн х -э — оо, учитывая, что при атом Нг/о(х =О, имеем с = — трог, — йР (г,). (У1.3.10) Заметим, что, поскольку значение У определяется формулой (У1.2.24), второе условие (У1.3.7) будет выполнено автоматически.
Подставлкя значение с из (У1.3.10) в (У1.3.9) и разрешая относительно Йх/о(г, получим Б изр,Яь(о) Г (о) 7' (о) 4Ь Уо (о — оо) — (Р (о) Р(ооИ х (У1.3.11) Если проинтегрировать уравнение (У1.3 11) по г, принимая начало отсчета так, чтобы при х = х, было г = г„где го (г, < г„получим, используя для Ро формулы (У1.2.24) и (У1.3.5) при гоо = г„г'о' = го: оо р (оа) — Р (оо) 1 о о р (о,) — р (оо) ), м оо — оо м.
оо — оО (а(Б) Р (Б)У (8) Но Р о 1= (Р(оо) — Р(оо)1 — Р(о)+Р( о) оо оо а (У1.3.12) Г (о (о) Р ( ) Х' ( ) г ) р'(оо) ( — о) — р(о)+р(оо) о~ Интегралы (У1.3.12) и (У1.3.13) описывают переходную зону бесконечной протяжснности, что является следствием принятой аппроксимации. Фактически для определенна ширины зоны нуокно брать по формулам (У1.3.12) и (У1.3.13) расстояние между точками с насыщенностями го + б и го — б, где б — малая, но конечная величина.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
