Г.И. Баренблатт, В.М. Ентов, В.М. Рыжик - Теория нестационарной фильтрации жидкости и газа (1132325), страница 34
Текст из файла (страница 34)
По уже упоминавшимся соображениям жидкость, движущуюся в пористой среде под действием капиллярных сил, можно рассматривать как несжимаемую. Фильтрация непрерывной фазы опись1вается обобщенным законом Дарси в виде: Поскольку вязкость газа мала по сравнению с вязкостью жидкости, ДлЯ газовой фазы можно пололсить Рз = Рэ = сонэ!. Длк Рассматриваемого одномерного движения непрерывной жидкой фазы выполняетея соотношение Рт — Рт = - 'Рз (з) (У1.4.2) или (Т 1.4.3) Рт †' Ро Ре(э) (оставляем пока в стороне неравновесные эффекты).
Подставляя зто выражение для р, в равенство (У!.4Л), получаем и = — ~ (э) Р,'(э) — = — аз~и— Ь, дз, дН рд т ' дл дз (У1.4.4) где аэ-= — ~ —; Н(з)= — ) 1 (э)Г(э)йэ; э ! (э) — Функция Леверетта 1см. формулу (Ъ'1.!.4)! уравнение неразрывности длн жидкости в рассматриваемом одномерном случае имеет обычный внд: т — +- =О. д.
д, де дх (У 1.4.5) Подставляя сюда выражение (т1.4.4), получим следующее уравнение для э; (Ъ !.4.6) 1 (э) =О или — =О, (У1.4,7) поскольку др,/с!э в нуль не обращается. 473 На кривых з (э), полученнъзх путем пропитки (например, путем впитывания жидкости в вертикальную колонку пористой среды). всегда существует такое значение э = гь ~ 1, что ! (э") = О. В силу непрерывности давления в жидкости нри переходе через границу пористой сроды и так как давление в свободной жидкости равно Р„, то на гравице пористой среды должно выполняться условие Р, = = рю откуда Р, = О и з' (з) = О.
Следовательно, во входном сечении (где примем х = О) будет э = эз (если пренебречь сжимаемостью). В выходном сечении, очевидно, вытесняющая н'ндкость неподвижна, поскольку истечение жидкости из вороного канала не может происходить под действием одних ли|нь капиллярных'сил (для вытекания жидкости должно произойти оборачиэание мениска на выходе, что приведет к изменению анака кавиллярного давления н прекращению движения). В соответствии с формулой (т1.4.4) равенство нулю скорости фильтрации означает, что в выходном сечении (л = !) /«(з) =Ь(» — »„)а, (/ (»)==-О при «(»«), Х(») =С,— Вг(» — »«)«или У(»)=-В (» — зв)' — С, причем ~)2, 1>а«>0, 1>аз>0.
Таьим образом, функция Н (») представляетсн в виде А (» — »«)", где п = р+а, или и — р — пь Если в качестве автомодельной переменной выбрать с = з'а««/ г, где а~ = Аа«, уравнение (Ч1.4.8) приводится к виду: «»а» 1 Дс —., +~ — —— О, н=» — »« дй« «л1 (Ч|.4.9) Это уравнение относится к типу, рассмотренному в гл. 1У.
Рассмотрим по отдельности три возможных варианта начальных условий: а, = »«, а,< '»«и ~)»«. Пусть сначала а> — »а. Как показано выше (см. гл. 1Ч), если и >1, ревтения уравнения (Ч1.4.9) обращаются в нуль при некотором конечном значении $ = с, т. е. существует «фронт пропитки», скорость которого конечна. При малых значениях» — »«и ц = с — с решение уравнения (Ч1.4.9) асимптотически представляется в виде: З-Э ° с — $= ао цо « с«+ — ' а «2 (Ч1.4АО) Чтобы определить постоянную с„потребуем дополнительно, чтобы при» -»»» и с — $ — 0 оставалось конечным отношение и,/т (» — »«), где и, — скорость фильтрации жидкости. Это отношение представляет собой среднюю скорость частиц подвижной (непрерывной) части впитывающейся жидкости на фронте в момент ее слияния с неподвижной жидкостью, находящейся впереди фронта. Из формулы (Ч1А.4) имеем (Ч1.4Л1) «74 Первое из условий (Ч1,4.7) выполняется до подхода жидкости к выходному сечению, когда» ~ » (где в — «яеподвиясяаяз насыщенность), а второе после подхода.
Рассмотрим случай, когда 1 -~ сс . Тогда единственным размерным определяющим параметром для распределения насыщенности оказывается а». Размерность этого параметра есть ь«/Т. Если, кроме того, начальная насыщенность»« — — сопзФ, задача становится автомодельной и» является функцией переменной $ =х/а$/й уравнение (Ч1.4.6) обращается в обыкновенное дифференциальное уравнение вида ( Ч1.4.8) Зависимости относительной проницаемости для смачивающей фазы /«(») и функции Леверетта У (з) можно аппроксимировать фор- мулами Тогда из (Ч1.4.10) следует ит и / сл, с 1 — — - — т— т(с — «) 1/1(, о — «1 2/' 1 2л /с и — 15»-л с — $=- — (« — «»)и-л, « — «»=( —,— ) (с — Э)" л.
с (и — 1) ~2 и/ (Ч1.4 12) Аналогично автамодельной задаче для фильтрации газа решение задачи в случае «о = «» будем искать в виде ряда 1 « — «»=-( —,— -)" о)" л(1+ало)+аот(~-,'-...). (Ч1/ь13) Коэффициенты ряда н, при заданном значении с находятся путем подстановки в уравнение (Ч1.4.9). Меняя с, будем получать различные значения «, = «(О). Обратимся к случаю, когда «о<" «». При этом, очевидно, фронт пропиткн может распространяться только с конечной скоростью. Поскольку эа фронтом вытесняющая фаза везде падвинона, на фронте должно быть « = «» и от «» до «, возникает скачок насыщенности, аналогичный скачку на передней кромке стабилизированной зоны, описанному в 4 3.
На скачке должно выполняться условие (Ч1.2.21). При этом иа'определяется по форллулам (Ч1.4ЛО) и (Ч1.4.11) при « = = «о, и',"= О, а скорость скачка (/ найдется из условия х, = сао)/ г, откуда с сл-,—. (« — о») «сс ссо иот 2 $'-- — = —, 2)/1 1 с т(о» со) ио с» — «о Таким образом, из (Ч1.2.21) имеем — — ' — или ел= —. («„— «о). ( Ч1.4.14) При «, = «„снова имеем условие с, =О, эквивалентное условию конечной скорости движения впитывающейся жидкости. Если «» — ло, а следовательно, и с, не равны нулю, рвало'кение (Ч1.4Л3) имеет вид: д 1 « — «» = — (ело),/" (1-( нот) ) аоо)о+...). (Ч|.4.13) Возникновение скачка насыщенности в решении задачи о капиллярнай пропитке связано со сделанным в $2 предположением о том, что а любой момент времени жидкость в каждой точке пористой 175 Следовательно, чтобы отношение и,/т(« — «») было конечным, необхалима, чтобы с, = О.
Тогда (Ч1.4.10) приводит к асимптотиче- ' скому выражению среды может находиться лишь в одном из двух крайних состояний— полностью связном и подвижном иви полностью несвязном и поэтому неподвижном. Это приводит к однозначной зависимости относительной проницаемости от насыщенности характерного вида, изображенного на рис. Ч1.5, с точкой з, где 1, (зз) = О, а при з<" з жидкость является неподвижной. Более детальное исследование показывает, что фактически лишь часть жидкости находится в каждом иэ состояний, причем между связной и несвязной частями происходит обмен лзидкостью до достижения некоторого равновесного распределения. В этом случае скачок насыщенности на фронте капиллярной пропитки заменяется узкой зонок плавного перехода от з„к зю Как и для фильтрации газа, конечная скорость распространения фронта позволяет испольэовать полученнное решение не только длн бесконечных, но и для конечных областей.
до подхода фронта к удаленному концу. Пусть теперь д,>за. Уравнение (Ч1.4.12) можно переписать в виде: и (з — зэ) т —.+ =0 в=(г — зз) ° (Ч1.4.16) лэи й ни Щ 2 ос Если зэ>зэ, уравнение (Ч1.4.16) не имеет особенностей, так как козффицкент при старшей производной не обращается в нуль. Кроме того, из общих свойств уравнений параболического типа следует, что з меняется монотонно от з, до а, при изменении ч от 0 до оо. Поэтому и — и„а следовательно, и г — д, не может обратиться в нуль ни в какой конечной точке и з — зр лишь асимптотически при $ — э-оо.
Решение для этого случаи мокко получить численно, задаваясь при данном значении з, = з (О) некоторым значением нз/д5( $= 0). Тогда, решая задачу Коши, получим решение, соответствующее определенному значеник~ ц,= з(оо). Меняв дз/~$, можно нанти решение, соответствующее заданному значению зэ. Зависимость з, (с) при з„за можно найти в явном виде, используя тот легко проверяемый факт, что если некоторая функция з— — з„= <рэ (э) удовлетворяет уравнению (Ч1.4.9), то функция (Ч|.4 17) также будет решением этого уравнения. Пусть <р ($) есть решение уравнения (Ч1.4.9) такое, что ~ус (1) = О, представляемое формулой (Ч1.4ЛЗ) или (Ч1.4.15) для с = 1.
Условие (Ч1.4.14) будет соблюдаться и для всех функций <р ( ь), выражаемых формучой (Ч1.4.17). Таким обравом, зная решение поставленной задачи прк некотором значении з, или с, можно получить все решения для заданного з,. Из формулы (Ч1.4Л7) получим связь можду зз и с в виде: а-1 з =с"-з ~э„(0) кли с=-( — Э вЂ” -) э . (Ч1.4 16) чэ (0) 176 На рис. Ч1А5 изображены вычислепные при помощи ряда (Ч1.4.13) 3 5 кривые су,(й) для п= — и и = —. Полученное решение можно использовать для определения параметров пористой среды по результатам акспериментального измерения скорости капиллярной пропитки.
Если скорость «фронта пропиткиз Га конечна, то это можно сделать, измеряя координаты фронта х„ в различные моменты времени. Вследствие автомодельности задачи х, выражается по формуле дг х, = са,Д/й Пол ьзуясь соотношением (Ч1. 4 А 8), х, можно выразить в виде: х,=-Л'з, ' ( — )/ — 7) (У1.4.$9) Рис. У1.15 где Л' = А з (~р, (0)1 Измеряя экспериментально отножение х,/)/ Ф. и значение эо люжно найти показатель степени и и коэффициент Л", характеризующий структуру парового пространства.
Эксперименты такого рода описаны в работе 1771. 2. Другой процесс, в котором фильтрация происходит под действием только капиллярных Рис. Ъ'1.17 лярная пропитка, — возникает в том случае, когда участок пористой среды, занятый менее смачивахнцей фазой, оказывается полностью окруженным другой, более смачивающей жидкостью (рис. 'т'1.16). В таких условиях более смачивающая яппдкость по мелким порам впитывается в образец, вытесняя менее смачивающуго фаау по соседним крупным порам.
Проще всего механизм этого явления иллюстрируется на примере двух соседних поровых капалов, соединенных на концах (рис. У1А7). Противоточная пропитка возникает, например, 12 з; иии жег 177 и,= — — 11(з) — "'; р,— р,= р", (з) (1 —. $, 2). (И.4.20) Следует только учитывать, что до сих пор относительные проницаемости мы рассматривали лишь для случая, когда обо фазы движутся в одну сторону.
Противоточное двюкение фаз повлияет„конечно, на распределение фаа в порах, и вид кривых относительной проницаемости и капиллярного давлении изменится. В настоящее время нет прямых опытных данных о кривых относительной проницаемости при противоточном движении. Для качественного исследования будем принимать их такими ясе, как и раньше, т. е. примем Ь (з) Л (з), р (з) р.(з). Уравнения неразрывности для каждой из фаз сохраняют обычный вид: т -.-+ — =-0; т — — — =О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
