Г.И. Баренблатт, В.М. Ентов, В.М. Рыжик - Теория нестационарной фильтрации жидкости и газа (1132325), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Как обычно, будем рассматривать условия трех типов: когда на границе заданы значения давления жидкости и потока жидкости или их комбинация, т. е. условия вида: дк нли (а 8) ~ й дш(«л) (8) да (Ъ'11 1.20) «33 13 заказ «з«ь Здесь Б обозначает точку граничной поверхности, а п — направление нормали к ней.
Описание трещкновато-пористой среды как «двойнойл пористой среды или системы влоя енных друг в друга пористых сред, способных обмениваться жидкостью, дано в работах Г. И. Варенблатта, Ю. П. Желтова и И. Н. Кочиной 117, 181; там же рассмотрены некоторые примеры. Постановка краевых задач для уравнения (к'П.1.12) уточнена в работе [141. Иной подход к описанию трещиновато-пористых сред, свяаанвый с рассмотрением регулярно расположенных трещин, принадлежит Е. С. Ромму с соавторами (см., например, (971). $2. ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ НЕУСТАНОВИВШЕЙСЯ ФИЛЬТРАЦИИ ОДНОРОДНОЙ ЖИДКОСТИ В ТРЕЩИНОВАТЫХ И СЛОИСТЫХ ПЛАСТАХ дрт дзрз д-'р2 дх ' дхтд~ дхт (УП.2.1) при дополнительных условиях~ рз (О, х) = 0 (О ~ х( оо); р (1, + 0) = Р, (1 — Е хиа). (УН.2.2) Вид краевого условия при х = О связан с законом затухания разрывов распределения парового давления, подробно рассмотренным в предыдущем параграфе, Преобразуя уравнение (УП.2 1) по Лапласу и учитывая начальное условие, получаем ЮРз ар, — — — — =-- О, дхз ае+х (УП.2,3) где р,=р,(а, х) =) е-"р.
((, х)й. о Преобразование краевых условий (УП.2.2) дает р,(а, +0)= " ' —; р,(а,оо)=.0. а(ан+х) ' Удовлетворяющее этим условиям решение уравнения имеет вид: хр, т/ а Р. (а,х)= ', ехр[ — хн —, а (а1)+х) ) ) ан)-'; х ) ' Используя формулу обращения, получаем ам со а Р, ((, х) = †. ' ) , е ач"" Йт.
2х~ .) а(ав+х) (УП.2.4) (УП.2.5) (УП.2.3) (УП.2.6) (УП.2.7) НИ 1, Задачи неустановившейся фильтрации в трещиновато-пористой среде сложнее соответствующих задач теории упругого режима, потому что описывающие их уравнения (УП.1.12) имеют не второи, а третий порядок и не допускают автомодельныХ решений, так как содержат характерное время Ч/х. Рассмотрим здесь две простейшие задачи, представляющие наибольший практический интерес, — задачи притока к дренажной галерее и пуска скважины. Предположим, что первоначально давление во всем трещиноватопористом пласте, занимающем полупространство х ~ О, постоянно и равно нулю, а в момент г = О граница пласта х = 0 сообщается с областью постоянного давления р = — Р,. Задача определения давления в пористых блоках рт сводится к решению уравнения (принято р = 0) При вычислении интеграла (т'П.2.7) удобяо свести его к интегралу по контуру, охватывающему отрицательную часть действительной оси.
При этом, как легко убедиться, интегралы по участку ( — оо, — х/ц) взаимно уничтожаются и остается лишь интеграл по контуру, охватывающему отрезок ( — х/9, 0). Тогда 2Рд р Мп тл г тгел Р (Г х) = Р— — 1 — ехр ( — —,.— ~ сЬ =- 2 т 1 ) о в Отсюда при ц = 0 получается распределение давления при пуске галэреи в однородной пористой среде Р (т, х) = Р— — ~ — ехр ( — —, ) ди =- Р, (1 — ег1 $) . 2Рт Г е!аи / ит (Ъ'11.2.10) Для того чтобы вместо (УП.2.9) можно было польаоваться обычным соотношением (Л1.2.10), необходимо выполнение неравенства т~/х8 ~~( 1.
('911.2.11) Действитечьно, при этом член т)и~/кт сравнивается с $а только при ит )~ чз, когда экспоненциальный мне)китель в (УИ.2.9) уже пренебрежимо мал. Если, напротив, заменить неравенство (УП.2.11) на обратное, то показатель экспоненты мал при всех и, н уравнение (Ъ'|1.2.9) дает Р,(х, т) — Р,— — ) — Ни=О. 2Р~ Г Мпя а (УП.2.12) Таким образом, при временах, ббльших сравнительно с характерным временем ц/х, давление в блоках трещиновато-пористого пласта меняется.так же, как в обычном пористом пласте. При временах же малых сравнительно с ц/к давление в блоках не меняется вовсе.
Возникающее таким образом запаздывание характерно для трещиновато-пористой среды. 13 (внеинтегральный член здесь получается в реаультате интегрирования по малому контуру, охватывающему точку о =- О). Положим, а/(1 — а) = ттт). Имеем Ра=ра+ — „ (УП.2ЛЗ) любом г+ О дифференцирование в (Ъ'11.2.9) можно произпод знаком интеграла. Имеем Рс =Ра+ — — =- Р дра х дс При водить и бд СО 2Р~ (' а[эта ,) т(1+тас1) " а х ехр ( — — ".—, ) с(„, (УП.2Л4) Из (Ъ'11.2. 14), в частности, следует р, (ОЛ) = Р„, п,в и 4о г,д г,р 4,р ф д с г з ухс и 0 Рес. У11,2 какэто идолжно было быть в соответствии со скааанным ранее. Чтобы вычислить поток жидкости через границу х =- О, нужно продиф- ференцировать выражение (У11.2Л4) по х при х = О.
Дифференци- руя под знаком интеграла, имеем СО о В условиях упругого режима о = оа = — Ра(сс яки Такиъи образом, — '=ф/ — ""' р(-Д-)1,©)= р®. (Ъ'П.2ЛО) На рис. Ъ'П.2, а показаны распределения давления в порах для различных значений параметра а1/кС и на рнс.
У11.2, б — функ- Вычислим теперь закон изменения потока жидкости через границу пласта х = О. Поскольку поток пропорционален производной от давления в трещинах Р„ необходимо прежде всего вычислить ато давление. Для этого удобно воспольаоваться первым уравнением основной системы (УИЛ.11). Полагая р = О, получаем — — 8 — ~ — — г — ~= н — — ~г — ~ дрс д Г1 д дрст Ф д / -дрст (У11.2Л7) д1 дс ~ г дг дг ~ г дг ~ дс ~ при условиях рг (О, г) = 0; р, (Ф, оо) = 0; (~ г — ) — — ра с' дрс Х рО дг l.
2нд,а (У11.2Л8) Задача (У11.2Л7 — 18) формулируется для давления в трещинах р,; при желании ее можно сформулировать для давления в пористых блоках рз. Тогда краевое условие при г = 0 примет вид: г( д') + Ч вЂ” ~г — Р— ') = — ра, (У11.2ЛО) а остальные условия и основное уравнение останутся без изменения. Переходя в соотношениях (У11.2Л7 — 18) к лапласовым изображениям, имеем — — г —— дрс а — / дрс1 р рг=О; ~г — '— 1 = — — *; р (оо)=0„ г дг дг н+Ча г ' ~ дг/~с а (У11.2.20) Этим условиям удовлетворяет реп|ение а 4 и+он )' так что по формуле обращения смсо рс (Гс Г)оо о ') йо( у' г)аа ( У11.2. 2 $) ( У11.2.22) Этот нктеграл мо.кет быть сведен к интегралу по вещественной переменной таким же образом, как зто было сделано в предыдущем пункте.
Мы, однако, проанализируем лишь асимптотическое поведение полученного решения при малых значениях параметра р = = г/2)сснГ. Представим выражение (У11.2.20) в виде: сс Ссо р (Г,г)= Р* ') — К (г~/ )ссь (УН.2.23) с — ~со и будем считать р »» 1. 1!)7 цня <р (т)/хГ). Как и следовало ожидать, при Г -+ оо (т) — 0) все решения стремятся к соответствующим решениям для пористой среды.
2. Неустановившееся движение вблизи скважины, работающей с постоянным расходом. Рассмотрим теперь осесимметричную задачу, предполагая, что в пласт, находящийся при постоянном давлении р == О, начинается закачка жидкости с постоянным расходом ~) череа скважину пренебрежимо малого радиуса. В цилиздрических координатах рассматриваемая задача сводится к решению уравнения При ц/кг « 1 рассматриваемое выражение переходит в известное выражение теории упругого режима (ср. 2 2 гл.
Ш). Если же т)/кг;)л1, то выражение, стоящее под знаком функции Макдональда, равномерно мало, так что для нее можно воспользоваться приближенным представлением Ке (х) = — (С+ 1п х/2) — , 'о (1). В результате получаем р (г, г) =- — ре ~С+ 1и =~ 21'т) / (г/ ф кг « 1, кг/т) « 1). ((г11.2.24) Смысл соотношения (Ъ'11.2.24л) прост: оно оаначает, что если собственное время трещиновато-пористой среды т)/к не слишком мало, существует промежуточный квазистационарный режим, когда жидкость, ага гго ьаа гго ыа гоо воа ио сва с го гы гаа мо ма 5Р Р гаа ма сло соо гоа гаа саа с, ион Рпс.
УИ.З Рпс. т'И.4 поступающая из скважины, поглощается блин айшими к ней блоками. Лишь тогда, когда давление в блоках в окрестности скважины сравняется с давлением в трещинах (т. е. по истечении времени — ц/к), начинает сказываться обмен жидкостью с более отдаленными участками пласта '. 3. Близкие по характеру аадачи возникают при исследовании фильтрации в слоистых пластах. Например, если двиясение происходит в двух лежащих друг над другом пластах, отделенных слабопроницаемоп перемычкой, то давление в каждом из пластов следует ' Отметим еще одно обстоятельство.
Соотношение (УИ.2.24) показывает, что сущсствусг некоторый промежуток времени г'/к (( с (( Ч/к, иа иротяжеиии которого давление в скважине не ллевяется. Если временем гл/х можно пренебречь (обычно зто сотые доли секунды и менее), то иа (7И.2.24) следует, что при скачкообразном изменении дебита скважины давление в пей изменяется скачком, а зател~ сохраняет постоянное значение иа протяжении вреллешл Ч/к.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
