Г.И. Баренблатт, В.М. Ентов, В.М. Рыжик - Теория нестационарной фильтрации жидкости и газа (1132325), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Пусть ~ ю(т)е-мсУг= И'(о); ~ д(т) е-'с((=~',Э(о); (Ч11.3.16) а а Х~(т) -'й =Ф() Пользуясь теоремой о свертке и начальным условием 1 (0) — — О, получим из (ЧП.3.14) И' (о) =-- оФ (о) () (о). (ЧП.ЗЛ7) откуда откуда Ф(о) =— И' (о) Кт — $' ло у (ЧП.ЗЛО) В частности, если скорое*ь вытеснения и~ (() меняется по степен- нбмУ законУ и~ =- юа та, то 14'(о) = — — — —— маГ (б+ П сыт а Ф(о) =-. ' 1(т) = ' ( т а .
(ЧП.3.20) — з~ Жаа 'г" л Г ~ б + — ) л'1а1 к о 2) Для случая постоянной скорости () =- 0 н (Ч11.3.21) Прн () ( — — решение (ЧП.3.20) не имеет физического смысла, $ так как не удовлетворяет условию 1(0) = О. 209 14 ааааа азат (ЧП.3.18) Рассмотрим некоторые частные случаи. Для начальных моментов времени, когда д (т) выражается формулой (ЧП.3.6), имеем е()=й;Д~ — ", Полное описание вытеснения из трещиновато-пористой среды удобно провести с использованием зависимости д1 (т) в виде (УП.3.8).
Функция вида (УП.3.8) хорошо аппроксимнрует ход пропитки в линейном шдучае, а ее преобразование по Лапласу имеет сравнительно простой вид, что позволяет решить уравнение (УП.З 14) в конечном виде для ряда важных случаев зависимости ш (д). При д)(Ь), выражающейся формулой (Л1.3.8), (3(а)= ",= (ЧП.3.22) Ь а+Ь откуда Ф(а) =— дЬ'(е) У о-РЬ АУ:с е (ттП 3 23) Рассмотрим снова случай од (Ь) = юо — — сопзс. Тогда Ф( мо, Ье-1-Ь А1 л Из таблиц преобразования Лапласа можно найти 1(Ь) в виде: (Ъ'П.3.24) У(Ь) = о (1 +2ЬС) ег1()т'Ьд)+ о (1 — е-ь'); (Ъ" П.3.25) ( (Ь) о ег1()/ЬЬ) ( ддП.3.26) Из формулы (ддП.3.26) видно, что прн д — о оо скорость перемещения фронта становится постоянной и равной же|'Ь А)г — „ В соответствии с формулой (ддП.З 15) насьнценность блоков о, если 1(Ь) = о'Г, выражается в виде: з=-о, Р— ') д(т)т(тг-ао — '(з,— а,)ег1()/Ь(Ь вЂ” у )), (ддП.3.27) о где т.
е. о являстса функцией л — УЬ. Таким образом, в пределе получаем решение типа, описанного в $3 гл. У1, т. е. решение типа бегущей золпы. При больших значениях Ь вЂ” ~ насыщенность блоков стремится к постоянному предельному значедшю о — о,. Все изменение пасьаценности от зо до зд происходит в зоне, протяженность которои имеет порядок — (2 — 3).
Эта вона по аяалоо'о1о оддоо ' гни со случаем вытеснения в однородной среде (см. гл. Ч1, т 3) получила название стабилизированной. Внутри стабилизированной зоны фактически осуществляется весь процесс пропитки блоков. Зависимость 1 (1), соответствующая уравнен>но (ЧП.3.23), показана на рис. ЧП.6. (104). Видно, что стабилизированная зона образуется за время порядка — ° (2 — '. 3), т. е.
приблизительно в 2 — ' 3 т раза больше времени пропитки одного блока. При малых г функция 1 (1) имеет порядок )/ Г, т. е. ход вытеснения таков же, как в случае о — с/)~б Точно так же, тсак и рассмотренный случай линейного вытеснения, можно исследовать радиальные задачи. При радиальном течения, когда вытесняющая жидкость нагнетается через скеажкну, центр которой принвмаотся за начало координат, первое из уравнений (ЧП.ЗЛЦ запишется и виде: — — (г>г>) + з — О. 1 д (Ч П.3.28) Интегрируя по г от г =- р (контур оввай шины) до положения фронта в трещинах г = В, получим > в<» б (>) = 2я ) д (г — Т (г)) г>)г, (ЧП.3.29) з / у з' ГдЕ б(Г) = 2яр и„(Г) — раСХОд жИдКОСтИ ЧЕ- Ряс.уы.з рез скважину на единицу мощности пласта: Т (г) = г, (г) — времн появления фронта жидкости на окружности радиусом г.
Пусть функцией, обратной Т (г), будет Л (Т). При- мем в качестве искомой функции гз (>) = яг>з (>) — площадь, охваченную продвигающимся фронтом. Тогда из (ЧП,3.29) полу- чается следующее интегральное уравнение для >р (г): > б (г) = 3'9(г — Т) 4'(Т) )Т. а Это точно такое же уравнение, как н (ЧП.3.14), только вместо скорости фильтрации ю (г) в него входит расход б (>). Все приведен- ные решения уравнения (ЧП.ЗЛ4) могут быть перенесены на ради- альное течение.
Для определения насыщенности в блоках из (ЧП.ЗЛ2) получим аналогично (ЧП.З.З) >-т оо за З т (т)г~т (ЧП.3.31) О (Ч11.3.30) Заметим, что в случае б (Г) = совз1, если д определяется по формуле (ЧП.3.8), то из формул, аналогичных (ЧП.3.6) илн (ЧП.ЗЛ8), получим при больших .Г 11 (>) =- б Р г . (ЧП.3.32) 14а 2П Полученное решение кроме трещиповато-порнстой среды может быть использовано также для описания вытеснения в двухслойном пласте, когда мощность малопропнцаемого слоя очень велика и з,/(« весьма мало,и высокопроницаемый слой можно рассматривать как щель (аналогично случаю, описанному в $ 2).
Прп этом условии, если пренебречь пропиткой в продольном направлении, каждый элемент малопроницаемого слоя (вырезанный перпендикулярно оск С х) пропитывается по автомодельному закону т. е. д =- —.. Реше \ ' *) ние для перемещения 'фронта по щели сохраняет вид («П.3.20), а только постоянная ЛГд — заменяется на С = ас [см.
(Ъ'П.ЗА) [. 1 Если мощность малопроннцаемого слоя конечна, то следует использовать те же выражения д (т), что и для трещиновато-пористой среды. Изложенный выше подход к задачам вытеснения несмешивающихся жидкостей в трещиновато-пористой среде развивался в работах В. М. Рыжика [98, 3[, Л. А.
Боксермана, Ю. П. Желтова, Л. А. Коче«икова, В. Л. Данилова [30, 31[. До снх пор мы рассматривали задачи вытеснения, в котрых обмен жидкостгю между трещинами н блоками (или между участками разной проницаемости) вызывался действием капиллярных сил. Однако в специфических условиях сред с двойной пористостью ход вытеснения может существенно измениться также за счет нестационарных процессов обмена, вызваппьгх упругим перераспределением давления между блоками и трещинами. Этот фактор используется в процессе циклического заводпенкя, который применяется в условинх реако нооднородпых и трещипозатых коллекторов.
При циклическом заводнепнн расход эакачиваемой в пласт воды (или другой жидкости) периодически изменяется. Это изменение вызывает периодический обмен жидкостью между трещннамн и блоками за счет упругого перераспределения давления. В ходе обмена происходит постепенное обогицение блоков вытесняющей жидкостью, которая, очевидно, быстрее перемещается по трещинам.
Выходящая нз блоков жидкость всегда поэтому имеет меньшуго насыщенность вытесняющей фазой, чем жидкость, находящаяся в трещинах и входящая в блоки. Капиллярные силы интенсифицируют этот процесс, поскольку более смачивающая вытесняющая жидкость (вода) удерживается в блоках эа счет «концевых эффектовэ. Но и в случае, когда лидкости — полностью смешивающиеся и капнллярные эффекты отсутствуют, циклический режим приводит к обмену жидкостями между блоками к трещинами и постепенному извлечензю вытесняемой жидкости.
Излагаемая неже упрощенная схема цнклк ческого процесса вытеснения в пластах с двойной пористостыо была предложена А. А. Боксерманом и Б. В. Шалнмовым [32[. В простейшей постановке для анализа принципиалькых свойств циклический процесс вытеспення можно рассмотреть на примере вытеснения из трещиновато-пористого пласта жидкостей, разных плотности, вязкости и сжпмаемости (разноцветные жидкости). В этих условиях поле давлений в блоках н трещинах описывается системой уравнений (УПЛ.11) и не зависит от распределения насыщенностии. Для рассматриваемой системы динамически одинаковых жидкостей относительные проницаемости как для течения в' трещинах, так и в блоках равны соответствующим насыщенностям.
Уравнения неразрывности у-й фазы в трещинах и блоках соответственно имеют зид: д (УП.З.ЗЗ) д зг (шзрз!' ) =-рдг (зыд д)0; ( з"'д д(0, (У П.3.34) т. е. если переток идет из трещин в блоки, то перетекающая жидкость имеет тот же состав, что и жидкость в трещинах, в наоборот. Если принять функцию д согласно формуле (УПЛ.5), то из системы (УП.З.ЗЗ) может быть получена система (УПЛЛ1) и, кроме тото, следующие уравнения для насьпценностп: лг — = (зоо — з"') д дС (УП.3.35) двп> д < 0 (УП.З.Зб) дг Уравнения (УП.З.35) и (УП.3.36) покааыаают, что в той нз сред, из которой происходит переток, насыщенность ие меняется в соответствии с предположением, что состав перетекающей жидкости тот же, что и в той среде, откуда происходит переток (фактически под влиянием капиллярных сил в выходящей из блоков я~ндкостя будет преобладать вытесняемая фаза, что ускорит процесс обмена).
Если рассматривать вытеснение несмешивающихсн жидкостей с учетом истинного вида относительных пронпцаемостей, то наеыпгояности будут меняться при любом знаке л. В рассматриваемой постановке задачи поля давлений и насьпценностей могут быть определены поочередно путем решения уравнений х! 3 гдс з)м — насыщенность в трещинах; з)м — насыщенность в блоках. Здесь сделаны те же предположения, что и при выводе уравнений (УП.1.11). В соответствии со сказанным выше 0; =.. з)м(Г, гле гГ = ~Уд + С', — суммарная скорость фильтрации в трещинах. Имеем: (УП.1 И) и (Ъ'П.3.35) — (УП.3.36). Для дзльнеишего упрощения задачи надо учесть, что переток жидкости из трещины в блок и обратно за время одного цикла невелик по сравнению с общим объемом жидкости в блоке, поскольку этот переток проиглодит только за счет сжимаемости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
