Г.И. Баренблатт, В.М. Ентов, В.М. Рыжик - Теория нестационарной фильтрации жидкости и газа (1132325), страница 45
Текст из файла (страница 45)
В то же время при степенном законе фильтрации (Ъ'П1Л.17) осесимметричное движение автомодельно при изменении дебита скважины после пуска по произвольному степенному закону: ( т'П1.2.20) В наиболее общем виде такие двшкения рассмотрены в работе [5[; ниже мы ограничимся основным для приложений случаем [) =.. О, что отвечает мгновенному пуску скважины с постоянным дебитом'з,). Имеем для распределения давления р (г, г) с учетом (УП1.1.17) уравнение — =-а — — [ г( — [ [; а =- —, (з'П1.2.21) которос долноно быть решено при условиях Р(г, 0)=-0; — [г(з ) ~ = С . (УП1.2.22) п о.+з Р= Аг о< +ту(р ~ — г[ с 1 зо+з (аз1) за з ° о+з зо 1 (За+2)з/и ~ С / Подставляя (И11.2.23) в (УП1.2.21), получаем уравнение — „— Я [У'(Ц)["'з)-[ з [(а-[-1) Ц'(з) — а/ (з)[ = О.
(т'П1.2.24) Уравнение (1Г!П.2.24) доля но быть решено при условиях о.+1 1[ш$[~'(~)[ "=сопзФ=--(За+2) " . (Л11.2.25) Е--о Далее, очевидно, что при $ -~- оо (г -о оо) функция ~ (З) должна стремиться к нулю вместе со своими производными, причем таким образом, чтобы интеграл (Ъ'П1.2.23) М=~ Ц$)Щ о (т'П1.2. 26) оставался конечным. 230 Нетрудно видеть, что решение задачи автомодельяо и его можно искать в виде: Из условия (УП1.2.25) следует, что при 4 — 0 у'(ц = — в.— д При а ) 1 (случай, который нас сепчас интересует) производная 1' (З) интегрируема вблизи $ =- О, так что существует конечный предел 7'(0)=1пп~К).
(УШ.2.27) 1- о Вто означает, что при степеннбм законе фильтрации (т'111 1.17) с показателем а ~ 0 имеет смысл постановка задачи об отборе жидкости через скважину нулевого радиуса при конечном давлении в скважине. Далее из (т111 2.27) и (Ъ'|П.2.23) следует, что р, = — р (О, 1) =- Л7'(О) 1а; р =.. а/(За+ 2), (Ъ'П1.2.28) т. е. давление в скважине изменяется по степеннбму закону, причем показатель степени этого закона р однозначно связан со степенью эак она фильтрации а: р = а/(За + 2), (Ъ'111.2.29) а коэффициент А пропорционален дебиту скважины (1 в степени (а + 2)ДЗа + 2).
Таким образом, полученное аптомодельное решение открывает возможность акспериментальпого определения как показателя а, так и коэффициента С закона фильтрации. Подробнее об атом сказано в 3 3, где закон фильтрации представлен и виде зависимости градиента давления от скорости фильтрации и показатель л = — 1/(а + 1).
й 3. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПЕСТАЦИОПАРНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ ПРИ НЕЛИНЕЙНОМ ЗАКОНЕ СОПРОТИВЛЕНИИ Выше уже рассматривались простейшие (автомодельные) движения с нелинейным законом фильтрации. Однако наиболее панская для прилоя;ений задача об ососимметричном притоке к скважине, пущенной с постоянным дебитом, в условиях нелинейного закона фильтрации неавтомодельна; ниже эта задача рассматривается приближенно.
1. Предполагая, что фильтрующаяся жидкость и пласт упруго Фкнмазмы, Запишвм основпуЮ систЕМу уРавнсний задачи в виде: (Р111.2.1) Здесь д =- ги; Г = ТЛ/р — характерное значение скорости фильтрации: у — характерное значение градиента давления. 231 Уравнения (Ъ'П1.ЗЛ) должны быть решены при дополнительных условиях, отвечающих пуску скважины в пласте, в котором первоначально движения не было. Принимая начальное давление аа нуль, имеем р(г, 0)=О; ««(а, «)=-Д=сопз«.
(У1П.3.2) Здесь а — радиус скважины. Примем вначале для закона фильтрации выражение, отвечающее фильтрации с начальным градиентом (см. рис. БАЧИЛ): ~ Р(ум~1 (у=О); Ф(у)=-у+ндпу (учвО). (ЧП1.3.3) Достаточная точность достигается, если приблизить функцию д (г, «) параболой д(г, «)=Д(1-)- — "+ —,) 1г~«) (УП1.3.4) Соответствующее выражение для давления имеет вид: р(г, «)=-У вЂ” [1п — "+Ь( — ' — 1)+-,' с( —,— 1)1+у(г — У), (г~ «); р (г, «) =-О„(г ) Х). (УП1.3.5) (У«ь(3+Ь)+ 4«У«а= —; в „' [«з(8+ЗЬ)+15 — "'~= — "-' — "-.
(УП1.38) Исключан из системы (Ъ'П1.3.6) переменное Ь («) и вводя безразмерные переменные ПЧа К«уз (Ъ'П1.3.7) получаем уравнение первого порядка В~ Фот — 7Х р401 ЗХ ~*' бт — ЗХ 1 24 1 3 Л ы (УП1.3.8) Из условия д («, «) следует с == — 1 — Ь. Для определения оставшихся неизвестных Ь («) н «(«) используем два первых интегральных соотнонюния, получающихся иэ второго уравнения системы (т'П1.3.1) после умножения его на г и гт соответственно и интегрирования от О до «.
Прн этом во всех'проне)куточных расчетах пренебрегаем отношением а/«по сравнению с единицей (тем самым мы ограничиваемся рассмотрением лишь достаточно больших времен). Имеем после простых выкладок Искомое решение этого уравнения должно удовлетворять очевидным условиям Х (О) == 0; Х(со) = со; Х'(т) ~ 0 при т)О. (УП1.3.9) Условия (УП1.3.9) выделяют единственное решение уравнения (УП1.3.8). Заметим прежде всего, что точка (0,0), через которую должно проходить решение, является для уравнения (УП|.3.8) особой.
Исследуя ее по первому приближению (см., например, (87)), легко убедиться, что это седло, и дзе его сепаратрисьт, а и б, проходящие в первом квадранте, имеют касательные с угловыми коэффициентами 1 и 10/3. Вторая из этих сепаратрис, как поясно проверить, выходит из первого квадранта во второй, а сепаратриса с начальным угловым коэффициентом (ИХ/Ыт)т з =. 1 удовлетворяет всем условиям (ЛП.3.9). Это легко установить, используя фааовую диаграмму уравнения (ЛП.3.8), показанную на рис.
Ъ П1.8. Индексамп 0 и со адесь отмечены изоклнны нуля и бесконечности |на которых обращаются в нуль соответственно числитель и знаменатель выражения (У1П.3.8)). Найдем для функции Л (т) асимптотическое выражение для больших значений времени. Если предположить, что Х (т) возрастает быстрее или медленнее, чем т"", то из (УП1.3.8) получим противоречие.
Отсюда Х (т) = стч'+ о (тч*). (У|11.3.10) Подставляя это выражение в (УП1.3.8), находим с = (48) '*. Продолжая процесс последовательного выделения членов, можно получить более точное выражение: Э/ ~ч Х = —,=- — —,=+- - -+ о (1). (М11.3.11) ~/Я 4 у' зз |92 Начальный участок зависимости а (т) можно найти численным интегрированием уравнения (УП1.3.8) с учетом известного значения Х' (0) = 1.
Сопоставление вычисленных таким образом значений со значениями, даваемыми асимптотической формулой ('Л11.3.11), показывает, что уже при т = 1 эта формула верна с точностью в несколько процентов. Зависимость л (т) показана на рис. УП1.9 (начальный участок кривой получен численным интегрированием; начиная с т = 1 — по формуле (ЛП.3.11)1. Зная Х (т), можно найти Ь и с. из исходных уравнений. Из (УП1.3.6) после перехода к безразмерным переменным имеем Эу Ь = т — 3; с = — 1 — Ь.
(У П1.3.12) При малых т из Х (т) =-т следует Ь вЂ” — 1, с'=О. При болыних т, используя асимптотическую формулу (Л11.3.10), имеем Ь=, — 'о(т 'ы); с=- — 1 — —,, +о(т-Ч'). (ЛП 3.13) Если рассматривается изменение давления для достаточно больших значений времени в точке, близкой к скважине, так что гУ1 (( 1, гЩ~ (( 1, то формулу для распределения давления после отбрасывания малых членов моакно представить в шще: р(г, 1)== ~ — (1п — — Ъ вЂ” — ) — уу. (У111.3.14) Подставляя сюда значения коэффициентов и возвращаясь к исходным переменным, имеем окончательно р(г, У) = — — ф' — "~ — — У 1и + У (агШ.3.15) ВУУ у ВУУ ~у» — ',"1;; — "; ((1). ур4 У1Г4 у у04 т Рас. УП1.9 Рве.
а'11!,В 3. Прк помощи метода интегральных соотношений моя;но найти такяуе решение задачи о пуске скважины при нелинейном законе фильтрации вида: ф(у) =- (у/л)а (у =- и); ф (У) =- у — п+ здп у (у ~ л), 0а Ш.3 16) которьш в пределе при и — О переходит в закон фильтрации с предельным градиентом. В этом случае давление в скважине р (а, 1) меняется во времени по закону 1 — и ам-и> р(а, У)= — сопзу.тз- .(У а-и .~ ... (ЧП1317) 3» Применим теперь полученные результаты к анализу некоторых данных по исследованию скважин на нестационарный приток.
Сделаем вначале следующее замечание. Пусть рассматривается изменение давления р (у) в некоторой фиксированной точке пласта, движение жидкости в котором вызвано пуском скважины с постоян- 234 ным дебитом (в частности, может рассматриваться давление в самой скважине). Пласт. будем считать однородным и неограниченным. Выберем некоторый промежуток времени Лг и рассмотрим величину ЛРЯ=-р~Ь 1 Л1) — р(1). (Ч1Н.З. 1В) Тогда изменение величины Лр (1) при бцлыпих 8 зависит исключительно от вида закона фильтрации в области малых скоростей (тем меньших, чем больше рассматриваемые времена). Это утверждение достаточно очевидно: в прилегающей к скважияе области двшкение стабилизируется и распределение давления оказывается таким же, как и при стационарном движении (см.
также гл. 1Н н 1Ч). В результате значение этой области в отклонении давления в скважине от начального уровня перестает меняться и уже не сказывается на величине Лр. Та область, в которой происходит основная перестройка потока и которая дает основной вклад в значение Лр (1), оказывается удаленной от скважины. Чем больше время 1, тем дальше эта область и тем меньше поэтому достигаемые здесь скорости фильтрации. Этим и доказывается сформулированное утверждение. Рассмотрим теперь приток к скваткине в условиях нелинейной фильтрации, но с тем дополнительным условием, что при скоростях фильтрации, меньших некоторой и (ию закон фильтрации может быть приближенно представлен прямой (как на рис.
Ч1П.4, а, б, в). Тогда, как показано вы1пе, характер изменения давления в скважине при болыпих временах будет таким же, как и в случае линейной фильтрации. В частности, изменение давления будет пропорционально дебиту скважины (3 н будет линейно зависеть от логарифма времени, так что Лр (1) = — ~1п— ~+ лс р(г) =С вЂ” ~)!п1. (ЧШ.ЗЛО) (при этом сама величина С может нелинейно зависеть от у).
Предположим теперь, что мы анализируем серию спитых при различяых дебитах (/ кривых изменения давления в скважинах. Тогда при достаточно больших временах все кривые в координатах Лр — 1п 8 будут иметь прямолинейные участки, по которым обычным способом определится гидропроводность пласта йЬ/)г, очевидно, не зависящая от Д (в то же время величина приведенного радиуса скважин а'/н окажется, возможно, зависящей от ~). Напротив, изменение гндропроводностн ЙЬ/р с изменением () указывает на нелинейность закона фильтрации при малых скоростях (в этом случае мы будем называть закон фильтрации существенно-нелинейным илп нелинеаризуемым„.случай, рассмотренный выше, назовем линеаризуемым).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
