Г.И. Баренблатт, В.М. Ентов, В.М. Рыжик - Теория нестационарной фильтрации жидкости и газа (1132325), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Последние относятся к квазистатическим распределениям насыщенности, которые в макромасштабе однородны, а в микромасштабе определяются действием поверхностных сил (см. гл. У1). В неоднородной среде иэ-за неправильной формы малопроницаемых включений и под влиянием других причин распределение насыщенности при нестационарном течении заметно отличается от квазистаткческого. В высокопроницаемой среде могут образовываться области, в которых насыщенность резко отличается от средней, — «языки» воды, целики нефти. Естественно, что при этом преимущественное распело»кение частиц более смачивающей фазы в мелких порах нарушается, и форма осредненных кривых относительной проницаемости приближается к прямолинейной (прямолинейные относительные проницаемости соответствуют полностью случайному распределению фаз в порах).
Впд кривых относительной проницаемости в неоднородной среде зависит от характера неоднородности. Сравнительно равномерным в макромасштабе будет распределение фаз по мощности высокопроницаемого слоя в слоистом пласте, если эта мощность меньше мощ- по обьему, охватывающему больтпое число блоков млн малопроницаемых включений. При слоистой среде осреднение производится по мощности каждого слоя. В соответствии с условием к» )) к» будем рассматривать только случай, когда вся фильтрация происходит в высокопроницаемой среде, т. е.
Ц" считаются равными нулю. Обобщенный закон Дарси для движения в высокопроницаемой среде можно записать 'в виде: ности малоиронкцаемого слоя. В ятом случае кривые относительной проницаемости сохраняют обычный внд. Напротив, в трещннозатопористой среде относительные проницаемости прн движении фаз в трещинах модкно в большинстве случаев считать линейными функциями насыщенности, так как распределение фаэ в тредцинах не зависит от капиллярных снл и каждая фаза движется свободно (экспериментально этот факт проверялся Е.
С. Роммом ]97]). Относительные проницаемости в зысокопроницаемой среде являются также функциями безразмерных параметров вдща ад/д.ди, где 1д — скорость вытеснения, й — характерный размер включения. Однако зта зависимость пока не исследована. Далео предположим, что осредненные относительные проницаемости зависят только от средней насыщенности соответствующей среды. Уравнения неразрывности можно вышдсать для каждой фазы в каяддой из составляющих сред аналогично тому, как это было сделано в Ч 1 для однородной жидкости, т. е. предполагая, что в каждой точке происходит обмен жидкостью между соответствующими сре- ' Дами с интенсивностью Чг Имеем для течения в высокопроиицаемой среде эпд! т,(1 — и] — эд — +бдч(1 — и) 67']+ Ч,=- О; (АЧ1.3.2) — т, (1 — и) — + д(дч ((1 — и] (дэ '] + Ч, = О. Здесь Чд н Чд — интенсивности пеРетока каждой фазы из более проницаемой среды в менее проницаемую; и — объемная плотность включений, зависящая от пространственных координат.
Если предположить в соответствии со скаванным вывде, что в мзлопронвцаемых включениях скорости фильтрации Ядд равны нулю, то уравнения неразрывности в малопроницаемой среде примут вид: эядд ти и —.— - — Ч=О' дд' Чд= Чд=Ч~ (УИ.З.З) т. е. перетоки каждой иэ фаэ равны по ведднчине и противоположны по направлению. Для замыкания полученной системы уравнений нужно найти связь интенсивности перетоков Ч с другими переменными. Как и в случае однофазной жидкости, перетоки возникают вследствие разности давлений в составляющих средах, однако при двухфазном течении зти равности различны для каждой иэ фаэ. Большая величина капиллярного давления В' малопроницаемых включениях создает в них зону пониженного давления в водной фазе. Вода является одновременно н вытесняющей и более смачнвающей фазой.
Напротив, в вытесняемой фазе давление во включениях вывде, чем в высокояроницаемой среде. Вследствие етого и возникает переток воды во включения, а вытесняемой фазы — в противоположном 205 направлении. Коли отношение проницаемостей й,/й, очень велико, капиллярнае давление в малопроницаемых включениях намного болыпе, чем в высокопроницаемой среде. Тогда можно рассматривать обмен жидкостью между средами за счет капиллярных сил как результат капиллярной пропнтки малопроннцаемых включений. Поэтому интенсивность перетоков о может быть определена на основе исследования противоточной папиллярной пропитки. Исследовать ход пропитки, учитывая истинную форму включений или блоков, практически невозможно; кроме того, за редкими исключениями форма блоков бывает неизвестна, поэтому приходится исходить из анализа пропитки линейного образца.
В гл. Ч1, $4 было получено, что когда начальная насыщенность з = з постоянна, то при малых 1 насыщенность является функцией переменной $ = л/аф' К а скорость фильтрации каждой из фаа и при л = 0 по абсолютной величине выражается формулой в= ас (г„гз) Р"'м. (УП.3.4) При этом скорость впитывающейся фазы равна + в, а извлекаемой После подхода фронта вытеснения к вакрытому концу образца средняя насыщенность в нем стремится к постоянному значению г = г, в соответствии с приближенным выражением (У1.4.39) ь ==а, (1 — Ае шнв).
В то же время значение и убывает со временем по зкспоненциальному закону в== Ае- и е, (ЧП.3.5) где А и а — постоянные, а т =-- Р/аз. Для приближенного описания хода пропитки постоянную А нужно выбрать так, чтобы скорость в была непрерывна при некотором значении 8 = г„так что при г ( ~ справедлива формула (УП.3.4), а при г ~ г, — формула (УП.3.5). В целом ход пропитки линейного образца иллюстрируется приведенными выше на рис. У1.22 графиками вависимости средней насывзенности з от времени. При малых 1 значение з линейно зависит от 'у' г, а в — обратно пропорционально ~/ 1.
При больших 1 з стремится к гы а и убывает по экспоненциальному закону. Ксли проницаемость л, достаточно велика, то с момента подхода воды к малопроницаемым включениям или блокам в трещиноватопористой среде на границе их сразу устанавливается максимально возможное значение насыщенности з = гв. В таких условиях, если начальная насыщенность блоков постоянна, моя~во считать, что продвижение воды, впитывающейся в блок, и, следовательно, интенсивность перетоков зависят только от времени нахождения данного блока нли элемента в обводненной зоне. Введем новую неизвестную функцию г„ (х, у, з) — время прохождения фронта вытеснения в высокопроницаемой среде или в тре- Ч=Л>~, *=» (зт) (УП.3.6) ~2 где т = — — характерное время пропитки блока; Л > — беараамерная постоянная.
Для больших т из (7П.3.5) следует формула а> г ать о= Л' — ехр ~ — — ). тз (УП.3.7) Удобной аппроксимацией для д (т) при всех значениях т является функция вида: е-м д (т) =- А = (УП.3.8) Эта функция при малых т совпадает с выражением (УП.3.6), а при больших т убывает таким образом, что полный впитавшийся объем з единице объема средь>, равный ) д (т) от, является конечо ным. Постоянные А и Ь в формуле (УП.3.8) нетрудно подобрать так, чтобы при малых т уравнение (ЧП.3.8) совпадало с (ЧП.3.6), а при больших т з"'стремилось к предельной насыщенности блока после пропитки з,. Тогда Выражение вида (УП.3.8) было предложено Э.
В, Скворцовым И041. 207 щинах через точку с координатами х, у, з. Разуь>еется, это возможно только в том случае, если можно выделить такой фронт, т. е. поверхность, с одной стороны которой в трещинах (или в высокопроницаемой среде) появилась вытесняющая н>идкость, а с другой стороны ее насыщенность равна начальному аначепию. При перечисленных условиях интенсивность перетоков является функцией времени нахождения блока з зоне, охваченной вытесняемой жидкостью (обводненной).
Это время равно 1 — 1з (х, д, з) — — г. Вид функции с (т) может быть выбран, исходя из выра>копий для скорости пролитии одного элемента (>>П.3.4) и (Л1.3.5). Чтобы перейти от скорости прош>тки одного элемента к интенсивности перетоков в единице объема среды с двойной пористостью, нужно скорость пропитки и умножить на удельную поверхность малопроницаемых блоков и на некоторый коэффициент, зависящий от формы этих блоков. При этом следует учесть, что пропитка в данной точке пласта начинается лишь после подхода к ней фронта вытеснения.
Удельную поверхность из соображений раамерности можно выразить з виде рГ>, где р — постоянная, 1 — характерный размер блока. Тогда из равенства (УП.3.4) получим, что при малых значепиях т>>(т) можно принимать в виде: Интенсивность перетоков можно ввести в уравнения (УП.3.2)— (УП.З.З) и по-иному, предполол'кв, что о зависит от насыщенности каждой из среды. При этом моя'но припять, что д пропорционально с (х„«») (формула (УП.3.4)). Зависимость с (з„з,), как показывают расчеты автомодельных решен»ш, приблюкепко представляется в виде: с (з , « ) =- К (з,) (г — з ).
(УП.3.10) Вместо з» и з, в выражение (ЪП.3.10) следует подставить зсо и некоторую функцию з'", выбранную с учетом того, что пропитав происходит до выравнивания капиллярных давлений в обеих средах. Такой способ введения интенсивности перетоков был использован в работе В. М. Рыжика [98). Для описания вытеснения в трещиноватой среде в уравнениях .(УП.З.2) и (УП.3.3) следует положить к =- 1, (1 — г) ( ли = и; исходя нз того, что объем трещин мал по сравнению с объемом пор. кч представляют собой средние по всему объему скорости фильтрации фаз. Обозначив, далее, «"' = з и л»» = т, получим 41чю +о=О; бп (ю,+ю«)=0; т э' — у=О. (УП.З.И) Рассмотрим одномерные задачи о вытеснении в трещнноватопорнстом пласте.
Скстема (УП.3.11) приведется к виду: +Ч вЂ” О и ч — О, »«1-г и»= ир (г). (УП.3.12) Пусть начальная насыщенность блоков постоянна и интенсивность перетоков может быть выражена формулой вида д =- д (т). Проинтегрируем первое из уравнений (УП.ЗЛ2) от входного сечения (х = О) до «фронта» вторплейся воды. Учитывая, что при х = 0 движется только вытесняющая фаза и»г, = ю (1)„велучим хтк) ш(ю)= ~ д(« — Т(х))дх. (УП.3.$3) Из (УП.3.13) можно получить интегральное уравнение для перемещения фронта вытесняющей жидкости в трещинах х«(») = 1 («).
Введем в уравнении (УП.3.13) новую переменную интегрирования Т, полагая х = 1(Т). Получим ю(1) —. ) о(г — Т)1'(Т)ЙТ. (УП.З. $4) Определив нз интегрального уравнения (УП.ЗЛ4) функцию 1 (») или обратную функцию Т (х) =- »» (л), из второго уравнения системы Ж8 (ЧП,ЗЛ2) можем найти распределение насьнцепкостк блоков а в любой момент времена: с 1-т оо з — за = — ~ д (т — Т (х)) Ит =- — ~ д(т) т(т. (ЧП.3Л5) т (х1 а Правая часть уравнения (ЧП.3.14) имеет вид свертки и оно монет быть решено методом преобразования Лапласа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
