Г.И. Баренблатт, В.М. Ентов, В.М. Рыжик - Теория нестационарной фильтрации жидкости и газа (1132325), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Величина 7 называется предельным (начальным) градиентом; если для рассматриваемого случая такое предельное значение существует, то говорят о фильтрации с предельным (начальным) градиентом. Наиболее простой вид закона фильтрации с предельным градиентом Предположим, что двшкущаяся в пористой среде яаидкость обладает тем свойством, что с увеличением скорости деформации значение вязких напряжений становится преобладающим. Тогда при увеличении скорости фильтрации влияние параметра та должно асимптотически уменыпаться. Это означает, что функция 1 должна иметь коночный предел прн стремлении аргумента к нулю: получается в предположении, что функция / представляется двучлен- ным выражением / ~2+ь Оа (УШ 1.7) удовлетворяющим соотношениям (УП1.1.4) и (УП1.1.6). При этом уравнение (УШ.1.3) дает (рис. УШ.1) ягаб р = — — и — у — (и ) 0); р к а ч 2«о~ Ар= —- Я (У1П.1 10) Аснмптота к линейному участку кривой Ьр/1 — в пересекается с осью Ьр/1 при Ьр = '/ат 1/В.
Пусть теперь мы имеем пористую среду, состоящую нз множества микрокапнлляров различных радиусов. При снижении перепада давления начинается постепенное «закупориванне» капилляров. В соответствии с формулой (УП1.1.10) вначале движение прекращается в наиболее мелких капиллярах, а по мере снижения давления 220 ~ йгаб р ~ ~ у (и =-.0). (У}1.1.8) Закон фильтрации с предельным (начальным) градиентом использовался в гидротехнике (96, Иб) и в нефтепромысловой механике, в первую очередь в работах А. Х. Мирзаджанзаде с сотрудниками (85, 86, И2!.
Надо, однако, заметить, что и соотношение (УП1.1.8) необяза- 3 тельно выполняется точно даже д,ОЮ для фильтрации вязко-пластиче- 2'гг« ской жидкости. Это легко объяс- 4' нимо. Суммарная, сила сопротивления складывается из сил соРис. УП1Л противления, действующих в от- Ркс. УШ.2 дельных порах. Прн этом в каждом элементе жидкости соотношение между «вязкой» (р Ни/пл) н «пластической» (т,) составляющими напряжения зависит не только от величины среднЕй скорости (скорости фнчьтрации), но и от перераспределения скоростей между отдельными поровыми каналами. Подобное явление происходит н при движении вязко-пластической жидкости в одном капилляре (здесь перераспределение происходит между отдельными слоями гкидкости).
В результате связь между перепадом давления и средней скоростью для капилляра радиусом »1 имеет вид (рис. У1П.2): Движение в капилляре прекращается при перепаде давления происходит закупоризапие все больших и больших капилляров. Ясно, что чем сильнее разброс размеров пор, тем больше растянут переход к полному прекращению движения и тем сильнее отличается пстнняый вид закона фильтрации от идеализированного соотношения (тП1.1.8). Однако выражение это может иметь также асимптотическнй смысл, описывая движение при относительно больших скоростях фильтрации (и )) тзфр).
При таком понимании закон фильтрации г предельным градиентом (УШ.1.8) описывает широкий класс нелинейных фильтрационных движений. При этом естественно различать истинный предельный градиент у, отвечающий полному прекращению движения, и предельный градиент у, отвечающий асимптотическому участку закона фильтрации. Имеем по порядку величины то 'у =— ~~М8КС (Ъ'1П.1.11) Ю= — или Яэ= тэ' т1Г ви ри (ЛП.1.12) Это обстоятельство определяет особенности нелинейной фильтрации в неоднородных пластах. Области малой проницаемости оказываются областями максимального проявления нелинейных эффектов, что способствует дополнительному затруднению движения в этих областях. Рассмотрим это на примере тонкого слоистого пласта. Этот практически важный случай приведет нас также к некоторым новым постановкам задач. 221 где д„,„, и Н вЂ” соответственно максимальный и средний размеры поровых каналов.
Для сред с сильно неоднородным Строением зти величины могут различаться во много раз. Как уже бычо установлено из соображений размерности, д = =. су' й; Поэтому для сред однотипной структуры у = тэ/)/й. Это соотношение установлено и экспериментально проверено В. И. Султановым !112) (в его опытах величины уэ и у не различались). Зв Проиллюстрируем сказанное некоторыми экспериментальными данными.
На рис. УП1.3, а — з приведены данные ло фильтрации: а — воды в глине П32); б — воды в глинизированном песчанике [162); в — нефти в песяе 11). Как видно из графиков, выра>кение (УП1,1.8) достаточно хорошо описывает движение во всех этих случаях в области сравнительно больших скоростей; при малых же скоростях различные системы ведут себя по-разному. В основе нелинейного поведения систем в этих случаях лежат различные физические механизмы. Важно, однако, что зти эффекты проявляются при малых скоростях фильтрации и в средах с малым размером пор (зерен), т.
е. с малой проницаемостью. Относительная роль нелинейных эффектов определяется параметром 4, Тонкий слоистый пласт мощностью Й, сложен Ф пропластками проницаемостью йе Предположим, что для каждого пропластка справедлив закон фильтрации с предельным градиентом А~ / ксавер ~ и = — — ~агаб р — у, р !дгайр~ / ° (~аг бИ>Ч,); и=О ()афтаб р) ( Ч,). (ЧШЛЛЗ) и, сн/сен й,а и,сн!сен УФ у 2(4 нгсЪФ е Рог ОЕ2 цаг а ю,и Юю п,тУ'р иЦигссс 2 Е а, сн/сен-ур 1 Р,2 П,2 07 с/си2Л2 2 д Рвс.
Ч1П.З Примем, что пропластки занумерованы в порядке возрастания проницаемости. В соответствии со сказанным выше зто означает также, что значения у, убывают с увеличением номера 2. Уточним теперь, что понимается под тонким пластом. Будем считать пласт топким настолько, что можно пренебречь изменениеи давления по толщине (тем самьвк предполагается, что возникающие между отдельными прослойками разности давлений быстро выравниваются за счет обмена жидкостью между пропластками). Определим 222 в атом предположении вектор ю — среднюю скорость фильтрации жидкости чзрез площадку, высота которой равна мощности пласта, а ширина равна единице.
Имеем н ! =ф! а- — „' ~ — ""'-в ар — ~ъ ~„",'-]. яшим о ы1 Здесь номер О ( 1 ~ У, до которого ведется суммирование, определяется очевидным условием тз~8 бр- т~ы. (Ч! ПЛ.45) При ~ дгап р! ( уг змеем ю = О. Нетрудно видеть что движение однородной жидкости в слоистом пласте можно рассматривать так же, как движение в однородном пласте со скоростью фильтрации ю 6 Рг Рз Рвс. УШ.4 в в соответствии с законом фильтрации (ЧП1.1.14) (рис. Ъ'Ш.4, а).
Таким образом, наряду с законом фильтрации с предельным градиентом (ЧП1.1.8) имеет смысл рассматривать кусочно-линейные законы фильтрации, описываемые выпуклой книзу ломаной линией (рис. ЧП1.4, а). Отсюда нетрудно перейти к непрерывно изменяющейся по мощности пласта проницаемости. При атом получается закон фильтрации, описываемый произвольной выпуклой книзу кривой (ркс. ЪП1.4, б). Наконец, рассматривая простешпнй случай двухслойного пласта, в котором один из прослоев обладает пренебрежимо малым предельным градиентом, получаем простой кусочно- линейный закон фильтрации (рис. Ч1П.4, в), на котором можно проследить ряд особенностей двюкепня жидкости в слоистых пластах. Во всех перечисленных случаях закон фильтрации в области больших скоростей имеет прямолинейный асимптогическнй участок.
В нефтепромысловой литературе обычно разделяют случаи нелинейной фильтрации и выключения отдельных прослоев пласта с изменением градиента давления. Такое разделение, по-вндимому, нерационально: изменение аффективной мощности пласта не только является одним яз проявлений нелинейности закона фильтрации, но и может быть огшсано тем же математическим аппаратом. В дальнейшем мы не будем этого оговаривать особо, но следует помнить„что все сказанное ниже о нолипейной фильтрации допускает непосредственную интерпретацию применительно к движению в слоистых тонких пластах. 5.
Дополняя уравнение закона фильтрации уравнением неразрьгвности и уравнением состояния жидкости, получим нелшгейяу«о теориго упругого режима, илп теорию нелинейной фильтрации газа, подобно тому как это было сделано в гл. 11. Наряду с рассмотренной кусочно-линейной апцроксимацией нелинейного закона сопротивления часто встречается также аппроксимация степенным выражением вида: (УШ.1 [б) и = — [ (~ Кгаг[ р () яга 6 р, где [ — степепнйя функция; г (~[[та«[ р ~) = С ~ дгаб р!". ( т'[И.[.17) Вначале такая аппроксимация использовалась для описания закона фильтрационного сопротивления в переходной области между линейным и 'квадратичным законом сопротввлеяия; при этом а ( О.
Впоследствии, однако, такая аппроксимация почти везде уступила место двучленяой аппроксимации, рассмотренной выше. В последнее же время степенндй закон фильтрации вновь приобретает самостоятельное значение, поскольку он хорошо описывает движение ряда пеныотоновских жидкостей, в том числе растворов н расплавов полимеров, в пористой среде. Для таких жидкостей характерно «псевдопластическос«поведение, когда эффективная вязкость жидкости падает по мере увеличения скорости деформации и показатель а положнтелегнь 4 2, АВТОМОДЕЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ФИЛЬТРАЦИИ ЖИДКОСТИ ПРИ НКЛИНКЙНОМ ЗАКОНЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
