Г.И. Баренблатт, В.М. Ентов, В.М. Рыжик - Теория нестационарной фильтрации жидкости и газа (1132325), страница 44
Текст из файла (страница 44)
ФИЛЬТРАЦИЯ С ПРЕДЕЛЬНЫМ ГРАДИЕНТОМ Автомодельные решения аадач фильтрации с нелинейньгм законом сопротивления, если он не является степеянйм, существуют лишь при узко специальном выборе начальных и граничных условий, Однако автомодельные решения важны и том .отношении, что позволяют выяснить особенности возникающих нелинейных задач. 1. Прямолинейно-параллельное движение упругой жидкости. Кусочно-линейный закон фильтрации. Рассмотрим фильтрационное движение при нелинейном законе сопротивления в условиях упругого режима. Выразим скорость из уравнения закона фильтрации через градиент давления в виде: (У[ И.2.
1) 224 — ~-=куйп ( Ч" ( — ~ ) З вЂ” Р— ) . (гП1.2.2) Здесь н — пьезопроводность, рассчитанная обычным обрааом по определенным вьнке величинам Й и р: ьк Х ф лбч а величины К и ш имеют обычный смысл, В частности, для одномерного движения имеем (УП1.2.3) в направлении оси х ( т'П1.2.4) Пусть рассматривается полубесконечпый пласт и начальное распределение давления в нем линейно, а па границе пласта поддерживаются постояпяый отбор или закачка жидкости, так что — =В; р(0, к)=Аз. (Л11.2.5) Легко убедиться, что задача с такими условиями автомодельна н имеет ревтение вида: р= ух~($); а=Ц хфи$. Для фушсции 1 получается уравнение (У1П.2.6) (т'П1.2.7) при условиях 1 (ос ) = — = а; И от ~1 Ч $ — „ А . г Ч~ В (т'П1.2.8) Будем рассматривать кусочно-линейный закон фильтрации (см рис. У1П.4, е): Ч" (у)=зу ()у((1; е(1); '1г(р)= езявр+у — здпу (~У~ >1).
(УП1.2.9) 15 заиаэ 1865 Здесь Й вЂ” проницаемость среды; р — вязкость жидкости; у — характерное значение градиента давления; Ч" — безразмерная функция, описывающая закон фильтрации. При такой записи предполагается, что у закона фильтрации имеется лияейный участок, для которого можно определить отношение й/р (очевидно, это требование выполнено для всех рассмотренных в $1 законов фильтрации, кроме степепндго). Подставляя выражение (УШ.2.1) в уравнение неразрывности (П.1.3) и считая жидкость и пласт упруго-деформируемыми, придем к уравнению упругого режима при законе фильтрации (УШ.2.1): Особый интерес представляет предельньш случай е -~ О, когда получается закон фильтрации с начальным градиентом, рассмотренный выше.
При законе фильтрации вида (ЛП.2.9) представленная задача может быть решена в явном виде. Уравнение (Ъ"1П.2.7) распадается на два линейных уравнения: Ц"+2(1+$в)г'=О (!1+9!)1)~ (ЪгП1.2.10) еУ"-( 2( -(-Р)У'=О й+$У'! < 1). Область значений аргумента 0 < $ < оо разбивается на несколько участков ((о 1„т) таким образом, что на каждом из них выполняется одно из уравнений (Ъ'Н1.2.10), причем на смежных участках решение удовлетворяет разным уравнениям. г1исло и характер расположения участков легко установить из соображений непрерывности, если учесть, что решения уравнений (Ъ'П1.2ЛО) и их производные монотонны. 1. Если градиенты А и В (будем называть их исходным и конечным соответственно) — одного анака и по абсолютной величине болыпе критического градиента у (~а~ >Ц ~~ > 1, яр 0), то во всем пласте градиент превосходит критический по абсолютной величине.
Па всей прямой 0 ( И ( со выполняется первое уравнение (УШ.2.11), и задача сводится к известной линейной задаче. 2. Если исходный и конечный градиенты по модулю меныве критического, то па всей прямой выполняется второе уравнение (Ъ'Ш.2.10), и задача вновь сводится к линейной. 3. Если(а~) 1, ~ ~3)~ 1, то на примыкающем к границе пласта участке (О, 1], где 1 — неизвестная граница, подлежащая определению, градиент давления меныке критического, и выполняется второе уравнение; в интервале (1, оо) — первое. 4. Если (а~(1,(~3!)1, тона участке[0, Цвблизиграницыпласта выполняется первое уравнение (УП1.2.10), а на остальной полу- прямой — второе.
5. Накояец, если исходный и конечный градиенты, превосходя по модулю критический, имеют разные знаки ()а !)1, ) р !) 1, а~) 0), то область движения разбивается на три участка: на (О, (т) и (1„оо) удовлетворяется первое уравнение (Ъ'Ш.2.10), а на (1„1з) — второе. Для кан;лого участка решение может быть выписано в явном виде: 1 ($) = С, + В [$~ к ег1 $+ 5 ' ехр (-- ~')~; (У1П.2.11) 1К)=.С,-~ В, [у'я ег(фД/е)+~ ' у'з ехр( — $'/е)~ — соответственно для первого и второго уравнений (Ъ'1Н.2.10). Поэтому для того, чтобы решить задачу, достаточно найти постоянные С и В и границы 1; для всех участков. Уравнения для постоянных получаются из дополнительных условий (Ъ'И1.2.8) и условий сопряжения на границах.
Зтв условия состоят в том, что давление и расход непрерывны на границах участка, прйчем положение этих границ определяется из дополнительного требования равенства градиента критическому. Таким образом, имеем: 1(1+О)=1(1 — О)' (У+5~)с+о=(1+9)д-о= '+1. (ЪЧИ.2.12) Знак в последнем условии (Ъ'И1.2.12) определяется из соображений непрерывности. Нетрудно проверить, что условия (Ъ'И1.2,12) вместе с краевыми условиями дадот столько же уравнений, сколько неизвестных имеется в задаче.
Рассмотрим теперь последовательно те три из Перечисленных выше пяти возможностей, при которых задача не переходит в линейную. Для случая 3 решение, удовлетворяющее краевым условиям (УИ1.2.3), имеет вид: 1(2) = () — Р, [1/л ег( (И/е)+ Гд )/ е ехр ( — зе /е)~ (О» $» 1); 1 Я = а+ Рд)/л — Рд [~/ л ег1 $+ й ' ехР ( — йе)~ (1 ( й» со) (1дИ1.2 13) а из условий (УШ.2.12) следует система алгебраических уравнений для ЄРи й а + Р, д/л ег1с 1 = зйп а; )) — Р, )/л ег1 [=) = айп а; )' е В,е-'=Р,)/е е (У1И.2. 14) Сддстема (ддШ.2.14), каь легко убедиться, одноаначно разрешима. Аналогичньдм образом, в случае 4 решение определяется выражениями 1(5) =- р — Р, [)/л ег1 $ + з де-д'~ (О» з» 1); Е* 1 1®=-а+Р )/л — Р )/л ег1[ ~ ~+Ц ')/а е ' ~ (1<й< со), 'дге) (Ъ'И1.2 15) в которых .В, .В и 1 определяются из системы а+В $/л ег1с ~ — )= айп р; р --Рд 1/л ег11=айпр; к (УШ.2.1б) .Р, 1/е е ' =- Р еси Перейдем теперь к пределу при е — О.
При этом в соответствии с выражением (т'И1.2/9) закон фильтрации принимает в пределе видд у(у) еЧО аИ-1); д1'(у)=у — аупу ()у/~1); (УШ.217) 22? д5» соответствующий фильтрации с предельным градиентом, когда двия<епне жидкости начинается лзпвь по достижении критического значения градиента давления. Такой закон фильтрации является вырожденным и для него сама постановка задачи с заданием докритического значения градиента давления является сомнительной. Как будет видно из дальнейшего, правильная формулировка задачи о фильтрации с начальным градиентом требует, чтобы на границе области задавался не градиент давления, а скорость фильтрации.
Рассмотрим вначале случай 3. Из системы (УП1.2.14) следует, что 1-~ О прл е — О. Действительно„пусть 1 остается больше б ) О. Тогда 1)з остается ограниченным и из последнего урзвнония 1) г — О, что противоречит первому уравнению (Ъ"Ш.2.14). Чтобы понять смысл полученного результата, рассмотрим следующик частный случай разбираемой задачи. Пусть первоначально стационарный фильтрационный поток, градиент давления в котором превосходит критический, мгновенно останавливается в реаультате того, что.градиент давления на границе становится меныпе критического. Моя<но было бы ожидать, что вблизи границы возникает застойная зона, в которой движения нет, а чатем, по мере удаления от нее, скорость движения будет постепенно увеличиваться.
Решение показывает, что зто не так. Застойной зоны нет, и двшкенне происходит во всем пласте, причем скорость движения монотонно уменьшается по мере приблиясення к границе пласта и обращается в нуль на самой границе, так что градиент давления здесь равен к рктнческ о му. Распределение давления в области движения определяется вторым уравнением (ЧП1.2.13), в котором нужно положить Юх (злп а — п)1 р' я), как зто получается из формулы (УП1.2Л4) при 1 — -- О. Нетрудно видеть, что этот результат не зависит от тога, каким задавалось экаченне градиента давления на границе (р). В качестве примера на рис.
Ъ'П1.5 приведены результаты решений для р †.- О, а = 2 и трех значений е (р' =- Ц Я)). В случае 4 переход ь пределу при з -~ О, очевццно, дает ограниченную область дэни<ения, примыкающую к границе пласта, причем остальная часть пласта занята аастойной зоной. Такой характер решения усматривается также непосредственно иэ выражений (Ъ'Ш.2.15) и системы (Ъ'Ш.2.16), в которой можно перейти к пределу при е - О, считая 1 конечным. Решения для р == 2, а = О и трех значений е приведены на рис. ЪП1.6.
В случае 5 область движения разбивается на три зоны, и для определения неизвестных границ и коэффициентов уравнений приходится рассматривать систему шести уравнений, аналогичную по своей структуре системам (Ъ'П1.2.14) и (Ъ"П1.2.16). Переходя в этой системе к пределу при е -+ О, можно убедиться, что область, в ъогорой градиент-давленвя меньше критичесного, уменьшается до нуля, 228 так что в пределе пласт разбивается па две части, в которых движение происходит навстречу друг другу. Распределение давления для случая а =.— 2, () =- — 2 показано на рис. Ч1И.7. Все полученные в пределе при е — О распределения имеют угловую точку в месте сшивкн двух рев~ений.
Если движения первона- р 2,17 Р' РХ гл 2У РУ 7д~ Рвс. Ч111.5 Рве. ЧИ1.6 чально яе было (случай 4), то воамущенне, вносимое граничным условием, охватывает лишь конечную, расширяющуюся со временем область пласта. Позтому решение, полученное для бесконечного пласта, применимо без вся- р к их оговорок и к пласту к онечных размеров для ограни- 1Е ченных интервалов времени. Если же движение в пласте существовало с самого начала (случаи 3 и 5), то возмуще- =г нне мгновенно охватывает ,6 Р весь пласт, как и в соответ- Еб ствующих задачах упругого 1г режима. 2.
Осеснммстричное одномерное движение в условкях ) упругого режима. Степеннои Уд закон фильтрации. В осесимметричном случае движение Рвс. ЧШ.7 автомодельно при произвольном законе фильтрации, если рассматривается задача о пуске скважины пренебрежимо малого радиуса при дебите, изменяющемся пропорционально квадратному корню из времени, отсчитываемому от момента пуска скважины 1',7(1) — — А )/г. (Ч1П.2Л9) 229 При таком законе изменения дебита скважины можно найти решение, в частности, при законе фильтрации с предельным градиентом [49[. Однако искусственность постановки задачи снижает ее практический интерес, и в атом случае приходится ограничиваться приближенными решениями.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
