Г.И. Баренблатт, В.М. Ентов, В.М. Рыжик - Теория нестационарной фильтрации жидкости и газа (1132325), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Такие поведение давления действительно наблюдается иа практике. На рпс. т'И,З, заимствованном из работы 1801, показано ступенчатое изллеиенпе давления (иесколько, правда, искаженное влиянием побочных факторов). 19З уравнению упругого режима с интенсивностью перетока между пластами в правой части; эту интенсивность в большинстве случаев можно считать пропорциональной разности давлений в соответственных точках пластов. Сходство возникающей задачи с аадачей фильтрации в «двойнойо пористой среде очевидно.
Из всего разнообразия аадач этого цикла мы рассмотрим адесь лишь одну — задачу об истощении пласта, граничащего с пластом большой мощности, но малой проницаемости. Эта задача представляет большой интерес в связи с оценкой аапасов нефти и газа некоторых месторождений. Предположим, что область фильтрации имеет вид, приведенный на рис. У11.4. Допустим, что пласты 1 и гг сложены породами одинаковой пористости, но существенно различной проницаемости, так что Иь » ИгН, хотя Н » й. Будем рассматривать истощение системы, предполагая, что вначале она находилась под давлением Р„а с момента 1 = 0 начинается отоор жидкости через нижний пласт в сечении л = О, причем давление на всей линии х = 0 одинаково, а отбор жидкости Ч сохраняется постоянным. Система считается замкнутой, т. е. границы АВ, ВС и Сгг — непроницаемы.
При этом задача сводится к решению совокупности уравнений ( — Ь ~ р(0); (О ~ х = В); кг( эго + щз ) (О ро Н) (У11 2 25) При условиях ау !о-,о зу ~, о ~ Р(о +о = Р!о=о (У11.2.26) о — "Р=Ф +~ =О (Р) О). (У11,2 27) -о При сделанных предположениях (тонком нижнем и слабопроницаемом верхнем властах) постановку задачи можно упростить. Заметим прежде всего, что в силу равенства граничных значений давления в обоих пластах при р = 0 производные по х от давления в этих пластах — одного порядка, а следовательно, скорость фильтрации в направлении оси х в верхнем пласте пренебрежимо мала (по условию ЯгН (( ял). Вместе с тем скорости фильтрации в направлении оси у совпадают прк у =-.О, что может быть только в случае, если изменение давления в направлении оси у в верхнем пласте происходит быстрее, чем в нижнем.
Отсюда следует дар гдрг )) дгр'дхг. Таким образом, второе уравнение (УИ.2.25) можно записать в виде: — = хг — (р)0). ду ~у дг эуг 199 Первое уравнение, относящееся к нижнему пласту, можно осредо 1 Г нить по мощности. Полагая Р = — ) Роу„имеем ь,) эдесь испольэовано граничное условие 11, — ~ = Й вЂ” ~ ). ( др! др — ду ~о= о ду о--о Наконец, эаменим условие р~„„=- у~о= о условнемр~,,о .— == Р. Совершаемая при атом ошибка мала при малой толщине Ь нижнего пласта. Таким обраэом, воэникает следующая упрощенная аадача: Р =к — Р (р.— р(х, у„8); у)0); Решение втой эадачи легко получить 'операционным методом. Не приводя его полностью, шапншем формулу для изображения Ро от давления на галерее р = Р (О, 1).
Имеем Р Ро — „ Отсюда легко получить несколько простых выражений, отвечающих раэличным временам с момента пуска галереи. Пусть прежде всего время г настолько мало, что воэмущенне, воэникшее на галерее, не достигло непроницаемых границ системы: 1~(! Цк (~ НЦя, (Ъ'|1.2.32) При этом в уравнении (УП.2.32) можно ограничиться асимптотнкой о,)о хХ ' )~ к,Н '. Для таких эначений о гиперболические тангенс и котангенс в (Ъ'П.2.31) можно ааменнть их предельными эначениями при о — оо, равными единице, откуда ро д ух Р = —— у'ф7-:, — =- х —.
+ — ~ — ) (Р =- Р (х, 1)]; др доР яа1 т др Ч д! дхо аа ~ дд )о„о Р (х, у, 0) =- Р '(х, 0) =. Ро, 'Р (х, О, г) = Р (х, г); др ~ Ьа дР ~ дР ~ — =О; — — ~ =-()=.сопэ1; — ! =О. ду он и дх~»о до'оо=ь (~тП 2 23) (пП 2 20) (УП.2.30) Учитывая еще, что в данном случае — — = к 1, имеем гох ЛЬ г'ахг ро- "— =(1 — ' =-+ -.~+ — '-, (ЪН.2.33) аг а, зоа1 хза следовательно, — ро ах р (Ъ И.2.35) Еа (а+ — „~ — ) Отсюда, используя таблицу изображений Лапласа, получаем "'1 (хе~ 1' от 21' ьхч аь Йоьохд) х ег(с~ 1 '1ьар'„,~+ ьх о, ь, ~ (711.2.36) Последнее выражение можно упростить, если величипа — „а ~ аох гмала или велика сравнительно с единицей.
В лервом случае, разлагая первый член в скобках по степеням аргумента, получим Ро(1) Ро 1 + ° ° ахо (Ъ'11.2.31) что совпадает с решением для случая непроницаемого верхнего пласта. Если яое )о,н)/г1~йй )) 1, то для упрощения первого члена можно использовать асимптотику ег(ох при больших значениях аргумеята ег(си== — е- . р"ях Имеем р, (1) = — — "~ ( — - 2 ф/ —" — —,',,"' + о (1)) Р Р,, (711.2 38) '1 -'1 201 ро(г) = Ро- 2)/ — а -) †.,'," ~/ †" гд+ ... (У11.2.34) хг Таким образом, иа первой стадии движения влияние верхиего слабопрокицаемого пласта скааывается лишь в добавлении малых членов, порядка у' ц по сравнению с главными. Рассмотрим теперь промежуточный диапазон времен, которому отвечает разложение формулы (У11.2.31) при н1, ' )) а )) х,Н о.
В этом случае вновь можно положить М11Ь/ — = 1, а с1й | Ь 1/ — +...~, г х~ г о х„ используя второе неравенство для а, можно представить разложением при малых звачепиях аргумента. Имеем Таким образом, изменение давления в этом случае определяется уже в основном притоком из верхнего пласта, Наконец, при еще больших временах, г )) Н'акт, начинается вторая фаза фильтрации в верхнем пласте (истощение верхнего пласта). Разлагая гиперболические тангенс и котангенс при малых значениях аргумента, получаем откуда чкж ~и 1 К~~ ''" ~ Ь Ьм Нщ +' ( Кл~) ''" е Ь ( Ьт +Нт~) ( Ъ'11.2. 40) Таким образом, для двухслойного пласта рассматриваемого вида отчетливо выделяются два периода движения при работе на истощение. На протяжении первого периода происходит истощение первого пласта, а движение в малопроницаемом верхнем пласте незначительно, на второй стадии нижний пласт практически полностью истощен, и происходит истощение верхнего пласта.
Если по данным о падении давления по мере отбора ла первой стадии подсчитать запасы жидкости нли газа в пласте. то подсчет даст лишь запасы, заключенные в нижнем пласте ($;, =-- лгЬЬ.С), что значительно меньв~е истинных запасов $' = (тЬ + т,о) ЬЬ. Это обстоятельство окааызается существенным для ряда месторождений; в частности, так обстоит дело на крупнейшем Шебелинском месторождении газа. Как показал М.
А. Бернштейн 128а), первоначальные запасы Шебелинского месторождения оказались заниженными, так как не были учтены запасы газа в слабопроницаемых ангидрнтах. Проницаемость этих пород настольно мала, что пробуренные в ннх скважины не имеют промышленного значения, однако переток из ангидритов в расположенный ниже хорошо проницаемый пласт оказался весьма существенным. $3. ДВУХФАЗНАЯ НЕСТАЦИОНАРНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ И ВЫТЕСНЕНИЕ НЕСМЕШИВАЮЩИХСЯ ЖИДКОСТЕЙ В СРЕДАХ С ДВОЙНОЙ НОРИСТОСТЬЮ При совместном движении в неоднородной пористой среде двух несмепшвающихся жидкостей возникают дополнительные факторы, обусловливающие обмен жидкостью между участками разной проницаемости.
Прежде всего за счет различия насыщенности в разных областях пористой среды меняются фильтрационные сопротивления, что вызывает перераспределение давления и перетоки жидкости между высоко- и малопроницаемыми участками. Другая причина, вызывающая обмен жидкостью между высокопрояицаемой средой и малопроницаемыми включениями при вытеснении несмешива- 202 ющихся жидкостей, заключается в действии капиллярных сил. Вначале вытесняющая жидкость (вода) быстро прорывается по высокопроницаемой среде, а мачопроницаемые включения оказываются окруженными водои. Поэтому содержащаяся з них нефть может быть извлечена только путем противоточной капиллярной пропитки если вытесняющая фааа является и более смачивающей.
Для описания вытеснения несмешивающихся жидкостей из сред с двойной пористостью может быть применен обп1ий подход, изложенный в предыдущих параграфах. Будем рассматривать вытеснение несмешивающихся жидкостей в среде, которая состоит из области с вронвцаемостью Й, име- 1 г: ющей малопроницаемые включения с проницаемостью йз (( й,. Общая схема такой среды изображена на рис. ЧП.5, а. По- Х скольку Йз (( йы фильтрацией в малопрошщаемых ряс.
711.5 участках за счет общего градиента давления в пласте будем пренебрегать. Частными случаями рассматриваемой схемы являются пласт, состоящий из двух слоев разной проницаемости, и трещиновато-пористый пласт (рис. УП.5, 6). Процессы перераспределения давления аа счет сжимаемости жидкости и пористой среды, особенно в трещиновато-поркстой среде, происходят значительно быстрее, чем перераспределение жидкости, вызываемое капиллярными силами, так как пьезопроводность пористых сред, как уже отмечалось в гл. 11, имеет порядок 104 смз/сек, а тГа а параметр а = — у —, определяющий скорость капиллярных про- Ж.
цессоз, почти никогда не превышает $ смз/сек. Поэтому в болыпинстве случаев можно ограничиться исследованием вытеснения несжимаемых жидкостей в несжимаемой пористой среде. Один случай вытеснения сжимаемых л*идкостей в среде с двойной пористостыо будет рассмотрен в конце настоящего параграфа. Как и для описания нестационарной фильтрации однородной жидкости в среде с двойной пористостью, введем в каждой точке сплошной среды по два значения каждой характеристики движущейся жидкости — одно для малопроницаемой среды, другое— для высокопроницаемой. Таким образом, будем использовать две скорости фильтрации ка'кдой из фаз С~"' и Ц",две насыщенности зо' и зео и два давления р"' и рез (верхние индексы 1 и 2 относятся соответственно к высокопроницаемой и малопропицаемой средам, нижние 1 'и 2 — к вытесняющей и вытесняемой жидкостям).
Каждая иа указанных характеристик получается путем осреднения ов ь -си 6'« = — — 1» втаб рп>. Р« (Ъ'11 3.1) В формулах (»'11.3.1) давление принято одинаковым в обеих фазах, т. е. влиянием капиллярных сил непосредственно на фильтрацию пренебрегается. Их действие учитывается, далее, только через скорость обмена жидкостью между участками разной проницаемости. Такое упрощение справедливо, если зона, где существенно меняется насыщенность, включает болыпое число блоков (е слоистой среде эта зона должна значительно превышать мощность каждого иэ,слоев). Тогда градиент насыщенности в «продольном» направлении в высокопроницаемой среде мал, и влиянием капиллярных сил на фильтрацию можно пренебречь. Это условие выполняется при достаточно малом значении параметра а~/ГЬ, определяющего откошенке скорости капиллярной пропитки к скорости фильтрации. Относительные проницаемости 1!", входящие в формулы (У!1.3.$), могут существенно отличаться от относительных прояицаемостей, входящих в уравнения обобщенного закона Даров для однородных пористых сред (при одинаковых насыщенностях).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
