Г.И. Баренблатт, В.М. Ентов, В.М. Рыжик - Теория нестационарной фильтрации жидкости и газа (1132325), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Позтому изменение насыщенности происходит намного медленнее, чем изменение давления. Это позволяет осреднить все параметры в уравнениях (УП.3.35) и (УП.3.36) по промежутку времени, равному одному лерноду, т. е. ввести осредненные переменные вида: т С о(п > = — ' (' ~о а(. -УД о Считая отклонвния от средних значений малыми, получим для средних аначений насыщенности систему уравнений д (оно > — +Сб >йгаа С "о> =О; ~а до =(С о" > — С зоа >) йо, (У11.3.38) д (ово > где д,= — ~ ~даат.
о др~ дар~ дар — — ц — — =к —. дг ' дадха дхо (УП.3.39) Решение шцем в вцае: р,=р (х)+р'е е' о (Ъ П.3.40) так, чтобы оно удовлетворяло уравнению (УП,3.39) и периодическим гоаннчным условиям — — =О.+Е,- ( +б,); ра дх !х-о — "" — "'~ =Е-:асс ( +ба). дх ~х.4 (УП.3.4$) Из уравнения (Ъ'П.3.39) следует, что ро (х) = 0 и р (х) = А + + Вх. Значение Л представляет собой несущественную постоянную, а В .. И(~о цл Яч Для того чтобы определить вид функции д (х), следует найти соответствующие периодические решения уравнения (УП.1,И) и осредиить их по времени.
Для случая одномерного точения между галереями будем искать периодические решеш1я уравнения (УПЛ.И) с периодом Т = 2я/<о: Подставляя выражение (с>П.3.40) в уравнение (Ъ'П.3.39), полу- чаем з оядс+со>к " — Я~+со>во ( >>П.3.42) откуда определя>отея два корня: аз и ссз. Полагая ссс =- у, + су„сс = у — су„>смеем Р (х, С) = Ро (х) + (Сзесс "+ С,е-*'н") ес з+с" с — -- Ро (х) ) Ра (х) ес"'. (УП.3.43) Подставляя выраксепие (>'П.3.4>3) в условие (>>П.3.41) и выделяя действительную часть, можно найти значения постоянных Сз и С,. После того как найдена функция р> (х, с), вид функции перетока может быть определен из второго уравнения (УИЛЛ(), т. е.
дзР> Х свРо р — р =- к — = — — е'"'". з а доз А доз ( >>П.3.44) дзс>> дзс>> сп см и, — — + С вЂ” -- = — (д — з ' ) д,; ду дх (У П.3.45) дз'з' с» из — = (он' — д'") 4>о. Введем новые независимые переменные т=г — — =1 —— хса> и (Ъ'П.3.46) И=х; Тогда вместо (>>П.3.45) получим систему дзсп +( со си) оа (УП-3-47) — — (о -о ) — =О. сп сз> ча дт юз Система (>>П.3.47) должна быть реп>ела при граничных условиях о'н=-1 прн $=-0 и а">=-0 прн т=О.
(о"П,3.48) Определение постоянных в приведенном выше решении довольно громоадко и мы не будем приводить окончательных формул. Как показали многочисленные расчеты, проведенные А. А. Боксерманом и Б. В. П1алнмовьсм (32), при обычных аначениях периодов — порядка нескольких часов — амплитуда давления практически не зависит от координаты х.
Следовательно, и амплитуда интенсивности перетоков с>о может быть принята не зависящей от х. Для постоянного д, решение системы (тП.3.38) в одномерном случае может быть получено в аамкяутом виде пря начальном условии ( з'а' ) = — О, В одномерном случае уравнения (УП.3.38) можно записать, опуская знаки осредненинс Применяя преобразование Лапласа по т и учитывая второе условие (УП.3,48), получим вместо (Ъ'П.3.47) уравнения з5о1 — +(яо' — я"") и — О; зй (УП.3.49) пЯоо — (Я"' -- Я"") () — -- О, где У" и У" — преобразования Лапласа от Р' и з"', о — пара- метр преобразования Лапласа; а = Я— '-; р == чо.
Из граничных условий следует, [и Ы о что прн $ =- О Я"' =- —. о' Реткеняо уравнений (ЧП.3.49) имеет вид: (РП.З 5О) Используем формулу Р75 Р Р,75 Р,5Р Р75 х оо о 1( Хо ~Ы 2а1) еьи г1 С =- е о Рво. УПЛ о (тп.з.51) (см. (43), формула (9.3.42)). Пользуясь формулой (УП,3.51) и теоремой умножения для преобразования Лапласа, получим следующие выражения для зоо и з"': ~м = ехр ( — а$ — )Ь) Х, (2 $Х от) -(- т +рехр( — а$) ) ехр( — ))й)Х (2~'прек)Ж; о ( о'П.3.52) азы=-() ехр( — а$) ) ехр ( — ()Х)Х (2 ~lаЯ),) Н1. о Из формул (УП.3.52) следует, что на фронте продвижения воды в трещинах (при т = О) з"~ имеет скачок, интенсивность которого равна ехр ( — со $). Графики зависимости отм н зов от х при разных значениях 1 приведены на рис.
УП.7. Глава Р111 НЕЛИНЕЙНАЯ НЕСТАЦИОНАРНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ $ Ь ОТКЛОНЕНИЯ ОТ ЗАКОНА ДАРСИ. НЕЛИПЕИНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ Во всех рассмотренных до сих пор задачах мы предполагали выполпепньтм закон Дарси. Объясняется зто тем, что закон Дарси достаточно точно описывает основной круг фичьтрационных движений. Вместе с тем в ряде случаев нелинейность закона фильтрации становится существенной, а иногда и определяющей. В основу вывода закона Дарсп в гл. 1, з 2 были положены два основных предположения: 1) движение является безынерционным (еползущимз); 2) жидкость вязкая пьютоновская, не взаимодействующая с твердым скелетом пористой среды г.
Последующие уточнения связаны с отказом от зтих предположений. 4. Как видно из самого вывода закона Дарси (см. гл. 1, ч 2), он долнген нарушаться в области достаточно больших скоростей, при которых уже нельзя не учитывать инерционной составляющей сопротивления движению нгидкости.
Добавляя к числу определяющих параметров (1.2.2) плотность с размерностью МЬ з, получим уже гпесть величин, из которых можно образовать три безразмерные комбинации. Повторяя рассуждения гл. 1, з 2„получаем игабр=- — фи~( Р ) (возникающая здесь комбинация иг(р/р играет роль числа Рейнольдса фильтрационпого микродвижения). Допуская возможность 1 Т. е. влнянае скелета скааызается лишь в том, что на его коверхкостя аыволяяется обычное для вязной жидкости условие прилнпанвя.
В то же время нреднолагалось, что скелет не создает действующего на жидкость силового лоля, не адсорбкруот сколько-нибудь ааметвую часть жкдностя, не образует с ноя коллонда н т. д. разложения функции ~ в ряд Тейлора и ограничиваясь первыми двумя членами разложения, получаем ((гПБ1.1) (здесь учтено, что ба= Й, см. гл. 1, з 2). Выражение (1г)ПЛ.1) носит название двучленного закона фильтрации. Впервые двучлеппый закон был предложен Форхгеймером И 17). Как покааывают опыты, зто простое выражение хорошо описывает данные наблюдений.
Наряду с часто цитируемыми данными Фенчера, Льюиса и Бернса И15), отметим еще опыты Лиидквнста, воспроизведенные в работе И49). Эти опыты показывают, что соотношение (ЧП1.1Л) представляет собой нечто большее, нежели простую эмпирическую формулу, посколысу оно хорошо выполняется даже для весьма больгпих значений скорости фильтрации. Физический смысл этого заключается в том, что при больших скоростях быстропеременпое движение в порах сопряжено с появлением значительных инерционных составляющих гидравлического сопротивления. Выяснению физического смысла. соотношения (У1П.1Л) посвящен ряд работ, из которых необходимо отметить работы Е.
М. Минского [82 — 84]. Появление квадратичного члена в уравнении закона фильтрации иногда связывается с турбулпзацкей течения. Однако уже порядок чисел Рейпольдса (1 — 10), рассчитанных по диаметру зерен или пор пористой среды, при которых сказываются отклонения от линейности, указывает на неправильность такого утверждения И49, 126). В последнее время отсутствие турбулентности (т. е. флуктуаций скорости во времени) доказано также прямыми опытами И57). В задачах теории фильтрации (в отличие, например, от задач химической технологии) приложения двучленного закона фильтрации ограничены главным образом движением газа вблизи высокодебитных газовых скважин или движением вблизи скважин в трещиноватых сроках.
В последнем случае особое значение имеет то обстоятельство„что истинная скорость жиккосги з трошинах значительно болыке скорости фильтрации. 2. Двучлепный закон фильтрации (Ъ'П1.1.1) учитывает отклонения от закопа Дарсн при больших скоростях. Иной характер носит уточнение, рассматриваемое ниже. Будем рассматривать только безынерционные движения. Допустим, что кроме сзл вязкого сопротивления существуют также силы сопротивления, величина которых пе зависит от скорости фильтрации (хотя зависит от ее направления — силы сопротивления всегда направлены против скорости относительного перемещения). Простейшим случаем системы с такими свойствами является неньк1топовская вязко-пластическая жкд- кость, для которой касательные напряжения связаны с градиентом скорости Ии/йг соотношением Бингама [85, 86): Ни т= т -~-р— лл (ЧП1Л.2) В ето соотношение, кроме вязкости р, входит также постоянная т, называемая начальпьгм напряжением сдвига.
Допустим теперь, что происходит фильтрация >кцдкости, характеризуемой двумя постоянными: вязкостью р и характерным напряжением т . Из соображений размерности, так же как и з гл. 1, з 2, получаем бган р=-- — — „, ~( а ) (ЧП1Л.З) (Ч[П Л.й) у (О) =-- дауй„ Постоянная й представляет собой проницаемость среды в обычном смысле.
Пусть теперь фильтрующаяся жидкость обладает тем свойством (прпсущкм, например, вязко-пластическим жидкостям), что при малых скоростях деформации напряжения не зависят от величины скорости и не стремятся к нулю с уменьшением скорости сдвига до нуля. Очевидно, что при малых скоростях фильтрации в выражении (ЧШ.1.3) скорость должна исчезать. Это означает, что (и 6) (ЧП1Л.5) В результате при снижении скорости фильтрации до нуля градиент давления стремится к конечйому (ненулевому) пределу: (йгайр) =- — Ч= — —— зта а (Ч1П.1.6) Это предельное значение у определяет ту величину градиента давления, по достижении которой начинается движение жидкости; при меньших значениях градиента движеяне отсутствует.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
