Г.И. Баренблатт, В.М. Ентов, В.М. Рыжик - Теория нестационарной фильтрации жидкости и газа (1132325), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Отсюда следует (У И.1.5) где а — безраамерная постоянная, характеризующая геометрию среды. Соотношение (УПЛ.5) должно быть уточнено в случае, если плотность жидкости р и вязкость ее р зависят от давления. Предполагая, что закон фильтрации в блоках может быть представлен в виде: ри,= —— ~Жо И(Р) )оо Зю арало ! (Ро) 1 (Р1) Д= (У11.1. 6) Например, при фильтрации термодинамически идеального газа )'= р'/2р„и вырая ение (УПЛ.6) дает аро|'о Ч= о(о о (Ро Р1)1 (УПЛ.7) где Ро — Давление, отвечаюЩее плотности Ро.
Трещинная пористость т, обычно мала и ею в большинстве случаев можно пренебречь, если среда является трещиновато-пористой (но не чисто треп(нноватой), а пористость блоков то считать функцией обоих давлений Р, и Рм Ограничиваясь линейным приближением, имеем соотношение (У|1.$.8) где величины ~он ))оо н тоо при малых изменениях пористости можно считать постоянными. Изменение пористости, как обычно, следует учитывать лишь в тех выражениях, где пористость дифференцируется; кроме того, поскольку она входит в произведение с величиной плотности жидкости р, изменении пористости существенны лишь в случае слабосжимаемой (панельной) жидкости; при фильтрации газа изменениями пористости можно пренебречь.
Ограничиваясь случаем капельной жидкости, имеем Р = Ро (1+ Ь (Р Ро)) ю (УП.1.9) где Р = Ро Ро — в зависимости от того, РассматРиваетсЯ ли жиД- кость в трещинах или в блоках. (89 где Ро н Ро — хаРактеРные постоЯнные значениЯ Р и Р, а 1(Р)— функция раамерности давления, соотношение (У11Л.5) можно пере- писать так: Подставляя выражения (ЧП.1.2), (ЧП.1.3) и (ЧП.1.9) в уравнения (ЧП.1.3) и (ЧП.1,4) и полагая т, = О, имеем систему уравнений Чаще всего рассматривается случай, когда среда однородна и изотропна и трещинная проницаемость выражается шаровым тенаором йп = йлбрр При этом система (ЧП.1.10) принимает простой вид: () —, А(ро р,)=О; дро дрл до д8 хлуорл — А (р. — рл) = О, (ЧП.!.11) где аьо Йл !)и А==, —.
—; х= рЛ'~о(роз-т-Ро) ' во~о(бы+а*) ' 0оо+бо ' Из системы (ЧП.1.11) можно исключить одно из давлений; определив нз второго уравнения рз и подставив полученное аначение в первое уравнение, имеем др, в~ор, дЛ ГН = Л--К х /слп А (! — ()) ад (1- й) ( ЧП.1.12) (90 В пределе при о)-+О, что соответствует беспрепятственному обмену жидкостью между блоками и трещинами, уравнение (ЧП,1А2) переходит в обычное уравнение упругого режима с коэффициентом пьезопроводности х)(1 — р); нетрудно видеть, что этот коэффициент пьезопроводнооти отвечает проницаемости системы трещин, но пористости и сжимаемости блоков. 3. Уравнение (ЧП.1.12) и система (ЧП.1А1) обладают рядом особенностей, поторые на первый взгляд кажутся необычными и нричина которых лежит в вырожденном характере системы (ЧП.1.11), относящейся к среде с пренебрежимо малыми трещинной пористостью и проницаемостью блоков.
В связи с этим представляет интерес исследование свойств решений этой системы. Заметим, что уравнению вида (ЧП.1.12) удовлетворяет не только давление р, но и давление рз и, следовательно, любая линейная комбинация этих давлений. Чтобы убедиться в этом, достаточно второе уравнение (ЧП.1.12) умножить на ()(А и продифференцировать ло О а аатем прибавить к исходному уравнению. После этого из системы (ЧП.1.11) легко исключается р,.
Это показывает, что обоим давлениям н любой их комбинации присущи те свойства, которыми должно обладать любое решение уравнения (ЧП.1А2) (см. ниже). Вместе с тем, как нетрудно убедиться, не все эти линейные комбина- ции равноправны. Среди них есть одна, а именно р =- р, — рр„ которая должна быть непрерывной по времени в замкнутой области определения решения, включая и границу « = О. Действительно, пусть надо найти ограниченное решение системы уравнений (Ъ'П.1.11) в пространственной области Р при 0 ( «( Т; заданы начальные распределения давлений рд и р . Интегрируя первое уравнение (т'П.1 11) по малому промежутку времени 0 ( «=.. е и устремляя е к нулю, находим 1пв р (х, «) .= р (х, О).
Представим теперь второе ь-о уравнение системы (УП.1.11) в виде: — Ар (1 — ()) Ар,:, кЧ'р,=.О. Если выбирать достаточно малые моменты времени, то первый член этого выражения будет стремиться к своему начальному значению р (х, 0). Следовательно, к такому же значению с обратным знаком будет стремиться и сумма двух других членов.
Поэтому для того, чтобы давление р, (х, «) было непрерывным при « — О, необходимо, чтобы начальное распределение рт (х, 0) удовлетворяло уравнению кС7'р~ 1 (1 — Р) Арт = Ар (х, 0) (Ъ'11 1.13) при соответствующих граничных условиях. В противном случае давление в трещинах рт (л, «) прн « =- 0 скачкообразно изменяется в соответствии с уравнением (УП.1.13). При этом, если р =,- 0 и поэтому р ть р„происходит также и мгновенное перераспределение давления в порах рт при неизменном давлении р.
Такое поведение решения имеет простой фвзический смысл. Изменение давлений р, и р, вызывает изменение массы жидкости, ааполняющей пористые блоки. Всякое такое изменение приводит к перетоку некоторого количества жидкости из блоков в трещины или обратно. Если изменение массы жидкости конечно (не бесконечно мало), оно требует конечного времени, так как происходит под действием ограниченных сил давления, которые не могут вызвать бесконечно больших скоростей перетока. Это показывает, что мгновенное изменение массы заключенной в блоках жидкости иевоэлюжно, а следовательно, невозможно и мгновенное изменение приведенного давления р = р, — рры однозначно связанного с этой массой. Если же давления рд и р, одновременно иаменяются скачком таким образом, что приведенное давление р не меняется, то перемещения жидкости не происходит, и такое согласованное мгновенное иаменение давлений возможно.
Если учесть также собственный объем трещин, то появится также и другая независимая комбинация давлений р', определяющая изменение эффективного объема трещин. Прп этом оба давления р и р, окажутся непрерывными прп « = О, и необходимо будет задавать их начальные значения отдельно. Другая особенность системы (УП.1.11) заключается в том, что в яей исключен за малостью поток жидкости непосредственно по пористым блокам. Поэтому выравнивание разности поровых давлений р, «9« в е — (р, — р,) — — — — ~Их -~- О.
Таким образом, производная Ир /Нх, а вместе с ней и само давление в трещинах р, непрерывны на поверхности ~. Запишем теперь первое уравнение системы (УП.1.11) для точек впереди поверхности разрыва (х = +0) и для точек за этой поверхностью (х =- — 0), обозначая соответствующие значения аначками ' и, и вычтем полученные уравнения друг из друга. Имеем — — — — [) — — + А [(рд — р ) — (р — р ) [ = О д О+--дй) д (д1 — К) дс д~ По доказанному [рт) = р+, — р1 = О, так что для скачка давления [рз[ = рз — р, имеем —,—, - - - А [р,[ =- о. д [д21 (УП 1 1Я) Таким образом, скачки порового давления рт должны удовлетворять уравненито (У11.1.14), или после интегрирования [рт[ = [р,[ое "'.
(У!1.1.15) Здесь через [рт[з обозначен начальный скачок в момент г =- О. Допустим теперь, что вблизи поверхности ~'.,' (являющейся или не являющейся поверхностью разрыва давления рт) производная др„/дх непрерывна. Тогда первое уравнение (УП.1.11) можно вне поверхности ~~' ' (принимаемой за плоскость х= 0) продифференцировать по х, получив при этом между двумя соседними точками среды может проиеходить лишь посредством обмена жидкостью между блоками и трещинами н леремещения жидкости по трещинам. В результате этого в трещиноватопористой среде, описываемой уравнениями (УП.1.11), скачки порового давления не исчезают мгновенно (как это бывает, например, при упругом режиме), а затухают во времени по экспоненциальному закону.
Чтобы убедиться в этом, установим условия на скачках, которые должны выполняться для решений системы (У11.1 11). ч~ Рассмотрим изолированную поверхность разрыва.т,. При выводе условий на скачках ее можно считать плоской и принять за плоскость х = О. Проинтегрируем второе уравнение (У11.1.11) по х в пределах дтр дзщ от — з до е. В силу ограниченности р„р„— — и — при з-ъ-0 имеем Применяя к атому уравнению те же рассуждения, что и выше, и используя непрерывность производной др,/дх на поверхности „У', получим д~ ( да )+А) д-)=0, 2 ) ~ Р2 ~е-4> (Ъ П.1.17) 4. Отмеченные в предыдущем пункте особенности решений уравнения («П..1.12) и системы (УП.1.11) поролкдают соответствующие особенности в постановке граничных и начальных условий, которым должны удовлетворять эти решения.
Прежде всего, как уже было сказано ранее, нельзя требовать, чтобы при стремлении 1 к нулю оба давления (в порах н трещинах) принимали заранее заданные значения р, (О, х, у, г); ра (О, х, у, г). Обязательным условием должна быть лишь непрерывность приведенного давления Р =. Ра — Ррь а давлеНие в трещинах р, должно затем определяться из уравнения (т'11.1.13). Таким образом, начальное условие будет иметь вид: р (О, х, у, г) = р. (О, х, у, г) — рр, (О, х, у, г) =.= ~ (х, у, г). (л'П.1.19) В свою очередь при стремлении к границе области лишь давление в трещинах рд должно быть непрерывно вместе со своими производными.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
