Г.И. Баренблатт, В.М. Ентов, В.М. Рыжик - Теория нестационарной фильтрации жидкости и газа (1132325), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Тогда безразмерная ширина переходной зоны будет порядка нескольр, и 1'г кнх единиц, а размерная ширияа — порядка 1, т. е. †' Х нии — ----. ар роЁо Типичная кривая раснределення насыщенности в переходной зоне приведена на рпс. У1.11. Проанализируем распределение насыщеаностн в переходной зоне в зависимости от вида функций Р (г) н.7' (г) и значений г, и го.
167 Кслн справедливо предположение о стацнонарности скачка насыщепностн и Р определяется из формулы (У1.2.24), получим иную запись для х (г): При з, близких к з„знаменатель подынтегрального выражения имеет порядок (з — гс)~( — р'(г,)~+а ( — ) ° З г(кй — У(с.) сс са а числитель есть конечная величина. Поэтому, если ' (' + сс са + с' (з,), то для больших отрицательных х имеем х — В 1п (г — з,).
Если же ' а = Р' (г,) (случай Баклея — Леверетта), то с (сс) с (са) гс са г = С (з, — г) ' (а „В, С вЂ” постоянные). Рвс. а'1Л1 ы Если з и Р (г,) не обращаются в нуль и — при з = г, конечно. то иэ (а'1.3.12) для г, близких к га, следует х — ха = А 1в (г — з,). Пусть теперь Р (г,) = О и, следовательно, г„~ з ~ О.
Тогда вместо (У1.3.12) получим Г г с'(сс) с (с) ~ уа ( ) с (с) Г (с) — Зги — — --- — -~~ — — — ' Ь (У13 14) 3 ~..--. Функция ~, (г) при з, блиэьом к зв, имеет вид Ь (г — г )з, где >2, Р (г) М (з — г,)", Ь и ЛХ -- постоянные. Тогда при' г, близких к га, если г„+ за, то х — ла=Ь' ~ (з — за)ау'(г)дг. (У1.3.15) При г -с зв величина с'(з) растет медленнее, чем (г — г„) 'гав' интеграл (а'1.3.15) сходится, и значение з = г„достигается при конечном значении х (рис. а1Л2), а от га до га возникает скачок насыщенности.
На этом скачке, как и на всяком скачке насыщенности, должно зыполнятьсн условие (У1.2.12). Проверим его выполнение. В нашем случае )с = )с, Фсс = а„, зол = г„и(п = О. Тогда условие (У1.2.12) примет вид: и)ы — — ис (з — за) =-1'„, (з„— ге). (У1.3.16) Сравнивая формулы (У1.3.3) и (У1.3.4), можно получить ссс = ко~и>Л (з) — Р 1~ (а) Р (з)Г (з) — --1 . (У1.3.17) ссх 1 Теперь нетрудно убедиться, что с учетом (У1.3.17) из уравнения (У1.3Л1) при з= ь следует условие (У1.3Л6).
Если зе = зч, то вместо формулы (У1.3Л5) имеем при з, близких к а: 5 х — хз.— -Л; ~ (з — за)" 'Х (з) сЬ. (У1.3Л8) ы Величина з обращается в а гз при конечном значении х и том случае, если интеграл (У1.3Л8) сходится. Существование решений вида (У1.3Л2) н (У1.3ЛЗ) показывает, что при постоянной скорости вьстеснения распреЗеление насыщенности в переходной зоне является стационарным. Экспериментально такая стациопарная пере- ходкая зояа при вытеснении х нефти водой в трубах, запол- Рас. У1Л2 пенных песком, была обнарувсепа Терзиллигером и др. 1158)и впоследствии подробно исследована в работах Рапопорта и Лиса 11521 и Д. А.
ЭФроса н В. П. Оноприенко 11281. В связи со стацнонарностью распределения насыщенности зта зона получила название стабилизированной зоны. с)псльтрация в стабилиаированной зоне исследовалась в работах Дясонс-Парра и Колхауна 1141], а таклсе В. М. Рылсика, И. А. Чарнсссо, Чень-Чжун-Сяна 199а1. Распределение насыщенности в стабилизированной зоне устанавливается в результате совместного действия сил вязкого сопротивления, гравитации и капиллярных сич. Все зтн силы находятся в равновесии при постоянной скорости вытеснения. Здесь имеется аналогия с гидростатическим равновесием н идкости в пористой среде, когда граница раздела фаз бывает размытой под действием капиллярных сил из-за разницы в размерах поровых каналов.
Грубо оценивая величину сил, действующих на жидкость в переходной зоне, можно сказать, что капнллярное давление, вызывающее размывание фронтов, г $ имеет порядок а ~ — — — ~, где г«и г~ — мипимальныя и максимачьг« ный «радиусы поре среды. Перепад давления, необходимый для преодоления вяакого сопротивления, и силы тяжести в зоне длиной 1 пропорциональны д Поэтому прк постоянной скорости размер зоны, в которой «срабатываетсяз папиллярный перепад, остается постоянным. Возможность описания процесса вытеснения в большом масштабе при помощи внешвего разложения (например, с использованием решении Баклея — Леверетга) связана только с малостью параметра е = — . Вели граничные условия внешней задачи таковы, что парадз ар метр е мал, то он остается малым даже в том случае, если капилляриое давление зависит, кроме насыщенности, и от других параметров, поскольку капиллярное давление связано в основном с распределением фаз в порах и п1ш любом распределении остаетоя ограниченным.
Напротив, при анализе структуры переходной зоны в настоящем параграфе учитывалось, что капиллярное давление и относительные проницаемости являются функциями только насыщенности. Г. И, Баренблатт (261 отметил„что во внутренней переходной зове использование предположения о фазовых проницаемостях и капиллярном давлении как универсальных функциях мгновенной насыщенности неправомерно иа-за неразвовесных процессов перераспределения фаз в порах.
Вместо етого предполагается, что е каждый момент при каждой насыщенности «существуют объемы вытесняющей л выды тэсняемой фаз, равные т —, не принимающие участия в движении д~ ' (здесь т« — некоторый параметр, имеющий«размерность времени, аависящий от свойств пористой среды).
Эти объемы захвачены процессами перераспределения, в связи с чем поры, где они находятся, как бы «заперты». Тогда в первом приближении можно полагать, что ч т дх Х 11 = («(з то — - К Гз = ~«( з + т«д ), где Д~ (з) и Д (8) — обычные. «равновесные» относительные проницаемости. В работе 1261 была получены выражения для распределения насыщенности в стабилизированной аоне при сделанных предполол епиях о «запаздывании» относительных прона цасмостей. Как показывают эксперименты, стабилизированная вона при постоянной скорости вытеснения всегда образуется череа достаточно большое время.
Измерения распределения насыщенности в стабилкзирозаикой зоне может помочь выяснить, в каких прсдотзх справедливы предположения, сдечанкыо при выводе формул (И.3.12) и (ч1.3.13), т. е. предположения об однозначной зависимости функций Л (з) и У (г) от насыщенности и о независимости их от скорости фильтрации. Такие эксперименты были проведены В. М.
Рыжиком совместно с В. Н: Мартосом. Из горизонтальных труб длиной 170 см, заполненных кварцевым песком с проницаемостью 10 д и пористостью 0,40, 170 дз хг я7 пи «О с,мм Рис. У1АЗ Рис. У1.14 в соответствии с формулами (У1.3.12) и (и'1.3.13) беаразмерная длина стабилиаированной зоны 6 не зависит от скорости. Это означает, что размерная длина втой зоны, равная И = 61, обратно пропорциональна скорости, т. е.
а д = 61 = 6 Р'- Ь = — — --- — — —— Ьр изр (Ъ'1.3.19) На рис, Ъ'1 14 показана зависимость длины стабилизированной зоны Э от 1/Р (У вЂ” скорость фронта вытеснения), полученная в описанных вьппе опытах (кривая 1); длина стабилиаированной зоны определялась как расстояние между точками с насыщенностями 0,40 и 0,80. Из графика видно (крнвая 2), что при больших 1/У (малых скоростях) И приблизительно пропорциональна 1/)г, как и следует нз формул (У1.3.12) и (У1.3.13). Однако при значении 1/У около 100 сок/см имеется минимум Н, а далее снова набшодается рост стабилизированной зоны. По-видимому, отот рост д связан с неравновесностью течения и запаздыванием процессов перераспределения фаз в порах.
По схеме «запаздывающихз относительных проницаемостей, как показано в работе 1281, получается именно такая зависиаа мость И от скорости. когда величина тз — становится сравнимой с з. о з~ вытеснялся воадух водой при атмосферном давлении с постоянной скоростшо. Распределение насыщенности измерячось методом злектросопротивления.
Скорость вытеснения из менялась в пределах от 0,0011 до 0,020 см/сек. Пачальная насыщенность ц, равнялась 0,21. Эксперименты показали, что при вытеснении с постоянной скоростью изменение насыщешюсти в различных точках по длине модели практически повторяется со сдвигом во времени, пропорциональным скорости вытеснения, т.
е. образуется стабилизированная зона. Типичные кривые з (1) в точках, отстоящих друг от друга на 58 см, при скорости фронта 0,013 см/сек показаны на рис. У1.13. Коли относительные проницаемости и капиллярное ~~~а дж, гл давление являются функциями только насыщенности, то Ю Фд рв Из формул (У1.3.12) и (т'1.3.13) можно получить также выражения для др,/дз, которые позволяют, зная из эксперимента распределение насыщенности, найти «динамическую» зависимость капиллярного давления от насыщенности (при атом приходится предполагать, что относительные проницаемости мало зависят от скорости. Вто предположение справедливо, если вытесняющей фазой является вода, а вытесняемой — воздух, вязкость ноторого пренебрежимо мала). Оказалось, что при малых сноростях динамические кривые совпадают со статической нривой, а при больших — лежат тем ниже ее, чем больше скорость.
й 4. КАПИЛЛЯРНАЯ ПРОПИТКА И АВТОМОДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ВЫТЕСНЕНИЯ НЕСМЕШИВАЮЩИХСЯ ЖИДКОСТЕЙ 1т (з) ь аш Рз дз (У1.4.1) В предыдущем параграфе было рассмотрено действие капиллярных сил вблизи фронта вытеснения несмешивающихся жидкостей из пористой среды. Капиллярные силы становятся существенными и в других случаях, когда в пористой среде в силу ее собственной неоднородности или под влиянием неоднородности потока создаются значительные местные градиенты нась|щенности. При этом под действием капиллярных сил проИсходит перераспределение фаз, поскольку градиент папиллярного давления может быть близким к градиенту внешнего давления, а в ряде случаев значительно превосходить зтот градиент. Процессы перераспределения (роль которых в вытеснении несмешивающихся а<идкостей будет более подробно рассмотрена в главах Ъ"П и Х) проще всего проследить на примере капиллярной пропитки, т. е.
фильтрации, происходящей под действием только капиллярных сил. Можно выделить два идеализированных процесса, в которых капиллярные силы являются единственными движущими силами 199, 1001. 1. Пусть цилиндрический образец пористой среды имеет непроницаемую боковук> поверхность. Первоначально образец заполнен газом (именующим пренебрежимо малую вязкость). В начальный момент один вз концов образца приводится н соприкосновение со смачивающей жидкость|о, которая начинает впитываться в образец. Далее будем предполагать, что давление в газе (начальное давление в образце) и давление в жидкости вне пористой среды одинаковы. Как и в $ 3, считаем, что жидкость является непрерывной вытесняющей фазой и фильтрация происходит в одном направлении.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
