Г.И. Баренблатт, В.М. Ентов, В.М. Рыжик - Теория нестационарной фильтрации жидкости и газа (1132325), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Разгрузка происходит так, как если бы модуль упругости материала увеличился. При новой нагрузке материал деформируется по кривой раагрузки до тех пор, пока не приобретет прежде не достигавшегося состояния. Качественно сходнан картина обнаруживается при деформации пористой среды. Иа рис. 1Х.З показана зависимость пористости от нагрузки дли песка [159[, однако аналогичная зависимость имеет место и для других пористых сред. Причиной того, что изменение пористости носит «пластический» характер, являются, естественно, не пластические деформации отдельных зерен скелета, а необратимые иаменения их взаимного расположения (переупаковка зерен).
Возможность переупаковки частиц пористов среды качественно. отличает ее поведение от поведения материала скелета, не содер7кащего пор. 2. Рассуягдая так же, как и при выводе уравнений упругого режима, примем, что пористость является функцией одного лишь давления и первого инварианта тензора фиктивных напряжений в скелете: т.=- т (р, 6); 6 =- — огт (1Х.2.1) т гв й70 П 777 Ь17 И 77агггугга,лгс/сзя Рэс. 1Х,З Рас. 1Х.2 В соответствии с этим (1 Х.2.2) (производная по р берется при постоянном О, а производная по 6— при постоянном р). Как это быто уже показано при выводе уравнений упругого режима (см. гл.
11, 1 2), изменение давления компенсируется изменением напряжений в скелете, так что а(я+И агг (1Х.2.3) Иначе говоря, сумма давления и первого ннварианта тензора фиктивных напряжений постоянна — она уравновешивается массой вышелегкащих пород, которая практически не меняется.
Изменение пористости среды с изменением давлении жидкости при постоянном 6 вызывается исключительно упругими деформациями материала скелета. Поэтому независимо от направления доформирования можно производную (дт/др)е=-1/Азсчптать постояннон, В противополо7кность этому зависимость пористости от первого инварианта тенэора фиктивных напршкений 6 нвляется существенно 6*(х, г) = шах 6(х, т). »ят<г Тогда, очевидно, можно записать де* при — )О; М д6» при — - — — О. аг (1Х.2.4) Если перейти к давлению, то с учетом (1Х.2.3) люя'но ввести функцию (1Х.2.5т р»(х, »)-- ппп р(х, т) а<т.-г и переписать соотношение (1Х.2.4) в виде: — при — (О; ггд« Кл дг $ Звл — при — '- =- О.
г~ 2 зг (1Х.2.6) Теперь »южно выписать полную систему, уравнений теории упруго-пластического режима нефтяного пласта. необратимой. Положим, что она описывается аависимостыо, подобной приведенной ва рис. 1Х.2 зависимости т от напряжений. Предположим далее, что в пласте происходит однократное увеличение фиктивных напряжений, возможно с последующим их улленьпгением. В силу равенства (1Х.2.6) это соответствует первоначальному снижению давления с последующим частичным его увеличением. Такая схема представляет значительный интерес в связи с тем, что на первой стадия рэаработки нефтяного месторождения вначале обычно происходит снижение давления на месторождении в целом, аатем следует период частичного восстановления пластового давления при помощи вторичных методов — в основном закоктурного и внутриконтурного заводяения.
В соответствии с изложенным предпологким, что первоначальное давление в пласте р» сначала монотонно снижается: др/дг(О. При этом д6/д1 ) О, и можно считать проиаводную (дт/д6)р постоянной и равной некоторому аначению — 1/Кл. При повышении давления (д6/дз) ( О, а производная (дт/д6)р принимает некоторое другое значение — 1/Кз.
Разгрузка является «более жесткой» вЂ” обычно модуль разгрузки Кз болыпе модуля кагруаки К,. Е!овсе нагружение участка, уже подвергнутого разгрузке, происходит с тем же зналением модуля К,. Таким обрааом, для характеристики зависимости т от 6 достаточно задать двз значения модулеи: К, и К» и укааать, каким из них следует польаоваться в каждый данный момент. Это легко сделать, если ввести понятие о максимальном аа всю историю нагруженлтя аначекии 6. Положим; Запишем уравнение неразрывности> + Йт ри = О.
а< (1Х.2.7) к=их=- — * при —. 0; ак> ар, рш ш ><К» ар к=-з =-- -'- прк — — 0; >> Ж а! 1 ! ! 1 —.=-.- -+ — + —: К> Ёз, тК> тК» ' 1 1 1 1 —. = — -+ + ° Ка Кж э>Ка ~К» р» (х, 1) определнется соотноп>ением (1Х.2.5). Несмотря на сходство с уравнением упругого рея<има, уравнение (1Х.2.8) с учетом (1Х.2.9) является нелинейным. Общих методов решения его не существует. Практически приходится разбивать область движения на несколько зон, для части которых справедливо уравнение (1Х.2.8) с х = нм э для остальных — то же уравнение с к = кэ. Для каждом воны уравнение является линейным.
Поэтому нелинейность задачи проявляется лип>ь в существовании неизвестных границ зон действия разных форм уравнения (1Х.2.8). Постановка основных задач длн уравнений упруго-пластического режима совпадает в основном с постановкой задач для уравнений упругоп> режима. Некоторая особенность имеется лишь в том, что при разбивке области движения на эоны нужно дополнительно указать условия для «сшивки» решений, полученных для различных эон. Условия эти имеют обычный физический смысл: равенство давлений и потоков жидкости по 'обе стороны границы эон, откуда получаем (здесь учтено, что аоны различаются лишь приведенным модулем объемного сжатия). 3. Рассмотрим в качестве примера задачу о восстановлении давления в пласте при прекращении эксплуатации галереи э бесконечном пласте.
Пусть начальное давление в пласте, на границе которого (х, = 0) имеется дренажная галерея, постоянно и равно Р. Пусть, далее, в начальный момент 1 = О давление на галерее падает до некоторой вечичины р» с. Р и остается постоянным в течение времени Т, после 248 Будем считать жидкость упругой, а фильтраци>о — следук>п1ей закону Дарси. Тогда, поступая аналогично выводу уравнений упругого режима, придем к следую>цей системе соотношений: (1Х.2.8) чего отбор жидкости через галерею прекращается, и давление в пласте начинает восстанавливаться.
В рассматриваемом одномерном движении давление удовлетворяет уравнениям при условиях Р(х, О) =Р; Р(О, 1) =-Р„(О . 1» Т); р(с О .. О (,)Т) (1Х.2.12) Очевидно, что плоскость переменных х„.в г разбивается на две области линней х = и (т), на которой — = — „=- О. др д'р до дхо Линия зта, изображающая фронт волны разгрузки, начикаетсн в точке смены граничных условий х= О, г= Т и перемещаетснс ростом 1 в глубь пласта.
д с Положение этой линии доляоно быль опре- Рвс. 1Х.4 делано в ходе ревюния задачи. Будем искать приблия;енное решение задачи, используя метод интегральных светке~лений (см. гл. Ъ'). В соответствии с общей схемой метода введем область влияния начального изменения режима (границу ее обозначим через 1 (~)1 и область влияния смены режима в момент г = 7' (граница й (1)1. В отличие от имеющей ясный физический смысл границы и (о) обе зти границы являются условными, возникающими в связи с применением приблия1енного метода. На рис.
1Х.4 они показаны пунктиром. На начальной стадии (1 » 7') давление в пласте убывает, и распределение давлении определяется первым уравнением (1Х.2.И). Принимая для распределения давления приближенное выражение Ро+(Р— Ро)( — — —.+ — о) (х»1) Р= (1Х.2.$3) Р (х~ 1), для которого первые две производные обращаются в нуль при х = 1, и используя первое интегральное соотношение (уравнение материального баланса), наГщем 1(1) =- )/24ктК (1Х.2Л4) Рассмотрим теперь собственно процесс восстановлении давления (х ) Т).
Предцололоим, что область влияния изменения режима р= /.лгМ- —,+ 1>' — —, (1Х.2.15) удовлетворяющее краевому условию при х = О, а коэффициенты Л, М н />' определим так, чтобы прн х = Л выражение (1Х.2.15) непрерывно сопрягалось с выражением (1Х.2ЛЗ) при сохранении непрерывности первых двух производных.
Условия сопряяоекия дают систему трех уравнений, разрешая которую, получим выражения для А, М и Л" в функции от Л/й (Р Ро) > (1 >о) ° (1Х.2.16) Положение волны разгрузки (> (1) определяется тем обстоятельством, что прн х = 1> (>) распределение давления, рассматриваемое как функция х, имеет точку перегиба, дор/дхо = О. Дважды дифференцируя выражение (1Х.2Л5) и используя формулы (1Х.2.16), получаем ЛМ Л 1л --- .— — — = — — —. з>т 1+л/> (1Х.2 Л7) Таким образом, распределение давления будет полностью известно, если определить функцию Л (1).
Для нахождения Л (>) воспользуемся интегральным соотношением, следующим из уравнений (1Х.2Л1). Интегрируя эти уравнения — первое от р (>) до Л (1), а второе от 0 до 1> (1) и складывая полученные соотношепяя, полу- чаем ьк> — ) р (х, 1) о(х — р(Л (Е), Ю1 — „= (я, — я>) — / + к> ( — ) (1Х.2.18) Потребуем, чтобы распределение (1Х.2Л5) удовлетворяло интегральному соотноп>еншо (1Х.2Л8). Используя полученные выше выражения для й, М, /т и )> через Л и обозначая Л/1=-з, получим, учитывая выражение (1Х.2.14) для 1 (1), уравнение первого порядка для функции з (1). Это. уравнение момшо привести к виду: (1Х.2ЛО) 256 10 о х с Л (Ю)1 будет захватывать лишь часть возмущенной области (О ( х ~ 1 (о)1, так что приЛ ~:.х .1распределениедавлениясохраняет прежний вид, определяемый соотношениями (1Х.2Л 3) и (1Х.2.14). Для распределения давления в ооласти 0 ( х ( Л (г) примем приближенное выражение где я — ят С— хт (1Х.2.2О) — безразмерное отношение, характеризуюп(ее степень необратимости деформаций среды.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
