Г.И. Баренблатт, В.М. Ентов, В.М. Рыжик - Теория нестационарной фильтрации жидкости и газа (1132325), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Выравнивающее действие капиллярных сил в пористой среде в общем случае связано с процессами перераспределения насыщенности, и для исследования устойчивости иеобходямо рассматривать др у, 'дру = — — 1у(з) —; = -- —, К (з)'— . У ву а ' У ' уц ~ ди' (у =-1, 2). (Х.2.17) и)=О. Примем, что разность давлений в фааах равна капнллярному давленуно — известной функции насыщенности (см. гл. т'1, з 3): р,— р,==р,(з). (Х.2.18) Рас. Х.а Уравнения неразрывности имеют обычный вид (Х.2.13). Комбинируя уравнения (Х.2.17) и (Х.2.13), можно получить систему для и =- и, + и, е = — о, + из и з: дз , д~ , дз з / д~УВ (~) д2Ф (~) Х т — +ир' (з) — +ар'(з) — -а'т ~ — + — — ) =О; дУ ' дз дд ~ дзт ад: у ди ди — + — =О; дз дд (Х.2.19) (обозначения см.
гл. У1, з 4);:э (з) = ~, (з) + — Яз). у Чтобы получить граничные условия для возмущений, проинтегрируем уравнения (Х.2.19) по х вдоль переходной зоны, считая, что граница раздела слабо искривлена (рис. Х.й). При этом пренебрежем членами порядка ширины эоны и квадратами производных по р. 'Тогда йместо первого уравнения (Х.2,19) получим ду +и Г (зз) и Г (зт) 1 + (с"'Р (зт) — н'р (зй)) — д '- - . а т (Ф, — Ф.) д, — —. О. (Х.2.20) г66 возмущении течения в переходной зоне.
Ограничимся условиями, когда длина волны воамущения велика по сравнению с шириной переходной воны, чтобы действие капиллярных скл можно было учитывать только в граничных условиях. В этом случае длв исследования вне узкой переходной эоны можно использовать уравнения (Х.2.1). Этот подход, как мы увидим далее, связан с довольно существенными ограничениями.
Для простоты выкладок ограничимся случаем плоской горизонтальной фильтрации. Исходя из формул (У1.2.1) гл. У1, уравнения двухфазной фильтрации в переходной зоне запишем в виде: идд) ддд1 ~ /' 1 1 д) даа „ид / ,рд -= " 1,р, ,рд / ар (Х.2.21) Переходя к аозмудцениям, примем, как и ранее, хи = РЕ+ах*; и/=и„+еи;; юе-— -еи,'-, Тогда для возмущений получим из (Х.2.20) ди* ма д днд — Фз ади" ио дд — дд дрд (Х.2. 22) и из (Х.2.21) ид == ид =- и*; — — — * = — иа ( — — — ') — — ° (Х.2 23) и .
ги из~ / 1 1 Д дии р, ~р, '~чт ~ъ,/ ар ' Второе из уравнений (Х.2.23), очевидно,, зквивалентко последнему из уравнений (Х.2.7) при р, =- р и может быть переписано в виде: (Х.2.24) да, ь/ д' р Условие (Х.2.22) заменяет второе равенство (Х.2.7). Посколькуд как и ранее, предполагается, что по обе стороны границы течение потенциальное, рт и ха снова могут быть выражены формулами (Х.2.8) — (Х.2.10).
Используя условия (Х.2.7) и (Х.2.22) и исклдочая Р"д(1) и Р'" (1), получим для Х (Е) уравнение д ' д1 ©3 2. а,= — — --а; дд — дд М* =— а ит " дд1дд ' Следовательно, устойчивость границы определяется условием 1 — И* —,— Е/ — , 'аддУ >О 1 Ч- д/и (Х.2.26) Таким образом, граница раздела несмвшнвакдщихся жидкостей и пористой среде может стать устойчивой под действием капиллярных сил даже, если 1 — Ми ( О, т. е. условие (Х.2.12) не выполняется.
Пусть М* ~ 1,т. е. беа учета капиллярных сил граница неустойчива. Ерр" — 1 У Тогда условие (Х.2.26) все же выполняется если у ~ — — — —. \ М*+ 1 адд 2а Зто означает, что если длина волны возмущения границлд Х= —- 2Б7 Здесь индексом 2 обозначены величины справа, от переходной зоны, а индексоы 1 — слева от нее. Интегрирование двух других уравне- ний (Х.2.19) дает исо = и"', меньше критического значения й„то граница остается устойчивой.
Критическая длина волны )», определяется формулой 1 1 т г д»»з '=-.~ — + — ).=. (- — +-) (Х.2.28) ~к, я) ~ гз ь)' где а — поверхностное натяжение; Й вЂ” половина ширины щели. В этом случае критическая длипа волны возмущения имеет вид: ) ~са „) "» (Х.2.29) Эксперименты Чуока И35) и Б.
Е. Кисилеико (55) подтверя»дают, что граница раздела остается устойчивой даже при неблагоприятном соотношении подвижностей, если скорость вытеснения достаточно мала и вследствие этого ширина модели меньше критической длины волны воамущепия. 3. Вывод формул (Х.2.26) и (Х.2.27) был сделан в предположении, что ширина переходной зоны намного меньше длины волны возмущения.
В соответствии с результатами $ 3 гл. »» ширина переходной зоны пропорциональна а»/»'. Поэтому указанное выше предположение справедливо только при М*, близком к единице, и большой величине (М* — ») т. Существует значительный диапазон величин М, при которых М» блпзко к единице (см. рис. Х.4). Тем не менее формулы (Х.2.26) и (Х.2.27) верны ляжь для»слабой» неустойчивости, т. е. для М*, близкого к единице, и являются в этом смысле асимптотическими. Чтобы исследовать устойчивость во всем диапазоне изменения отношения вязкостей, следует использовать полную систему уравнений (Х.2.26).
Эта задача пока до конца не решена. Критическая длина волны возмущения Х„разделя»ощей области устойчивого и неустоичивого вытеснения, в общем случае является функцией параметров а», У и М = ~. Иэ соображений размерности р» тогда следует )»»= — '„" ф (М). (Х.2.36) 2БЗ 2я 2яи» Ф» — Ф» М*+ 1 ) = — = — —— т У »» †»» М» — 1' В работе Чуок и др. [135) была исследована устойчивость границы раздела жидкостей в плоской щелезой модели, где действие поверхностных сил при искривлении границы приводит к возникновению разности давлений по обе стороны ее. Эта разность давлений направлена таким образом, что способствует выравниванию границы. Предлагаем читателю самостоятельно исследовать устойчивость границы раздела в этом случае, воспольэовавтлись формулой Лапласа для разности давлений Если М близко к тому значению М„при котором М* становится равным единице, то выражение (Х.2.30) должно приближаться к зависимости (Х.2.27).
Рассмотрим отдельно устойчивость границы раздела по отношению к одномерным возмущениям насыщенности при учете капиллярных сил, т. е. исследуем устойчивость стабилизированной зоны. Распределение насыщенности в стабилизированной зоне представляет собой решение уравнения Рапопорта — Лиса (Ъ 1.3.4) вида х = гр„(х — х'х) =- срз (х) и выражается формулой (У1.3.12).
Перейдем в уравнении Рапойорта — Лиса, записанном в форме (Л.4.34), вместо хи тк новым независимым переменнъзм х (г) и Ф и новой искомой функции х — т'х =-- х„тогда зто уравнение примет внд: Ф' (х) —— дх дх и я д дха — — + — Р' (г) — а— дЗ ж дхю дх дхо = О. (Х.2.31) Введем теперь малые возмущения положения точки с насыщенностью з в стабилизированной зоне: х — х,(г) + зх*. Для х~ имеем уравнение д ' à Π— 1 д е — дзхх — — +~ — Р+ — 'Р (х) ~ — — — ', .азР (х)==О, (Х.2.32) дС ~ — .
° 1д.— ° Ы= где Р,(х) =- Р'(з); Р,(х) = Ф'(з)='. Нх Учитывая формулу (У1.3.12), связывающую х с з, уравнение (Х.2.32) можно записать в иной форме: дхх Нх д à — дхз '1 — — —. + а' = ~Р, (х) =) =- О. дз д д1' д) (Х.2.33) При малых з можно искать х*(х, т) в виде: х* = Х (х) е-м. Тогда уравнение (Х.2.33) сведется к следующему: — — дХ1 Ьр, (х) + аз = (Рз (х) — ) = О. дх дх (Х.2.35) Чтобы исследовать устойчивость, нужно таким обрааом решать задачу о собственных значениях для уравнения (Х.2.35) прн граничных условиях Х = О при х — -- ~ А. Если Х < О, — течение неустой- )~:~ О, — ус йч в .
269 Иа приведенного в гл. У[, з 3 описания распределения насын~еыности в стабилизированной зоне нетрудно убедиться, что <р, (.г) =- — ' ~ 0 и Р, (л) -- Ф' (з) —" ~ О. ат. эй В соответствии с общеи теорией наименьшему собственному значению Х в поставленной граничной задаче соответствует собственная функция, обращающаяся в нуль только на концах рассматриваемого интервала. Тогда, интегрируя уравнение (Х.2.35) по х от — А до 3 А, легко получить что Л з„~ 0 при любых А. Это означает, что по отношению к одномерным возмущениям в любом конечном интервале стабилизированная зона всегда устойчива. Если рассматривать бесконечный интервал, то ) = 0 также может быть собственным значением, которому соответствует собственная функция Х = Х = — сопз$. Очевидно, возмущение подобного вида, т.
е. сдвиг по оси х, не нарушает устойчивости стабилизированной зоны (см. аналогичную задачу об устойчивости пламени — Г. И. Баренблатг и Я. Б. Зельдович [19!). В процессе вытеснения смеши»ающихся вид»остей стабилизирующее влияние на движение границы раздела оказывает перемешивание жидкостей в переходной зоне, т. е. дисперсия и молекулярная диффузия, поскольку перемешивапие приводит к сглаживанию случайных возмущений насыщенности. Учесть влияние перемешивани» на устойчивость границы раздела изменением условий 'на границе невозможно хот» бы потому, что ширина переходкоп зоны при вытеснении смешивающихся»<идкостей неограниченно возрастает со временем (пропорционально ~/ г, см.
з 1). Таким образом, для исследования устойчивости необходимо рассматривать полную систему уравнений для насыщенности (Х.1.8). Полностью эта задача пока не решена, однако было получено несколько приближенных решений [130, 142), каждое из которых свяаано с рядом довольно существенно ограничивающих предположений. 4. Чтобы описать вытеснение после потери устойчивости, моя'но действовать двумя способами. Первый из них заключается в том, чтобы проследить за формированием симметричной системы языков, образующихся в результате малого начального искажения границы (например, синусоидальном). Описание развития языка для случая, когда вязкость вытесняющей жидкости пренебрежимо мала, было сделано с Саффманом и Тейлором [155). Впоследствии появился еще ряд работ, в которых учитывалась вязкость вытесняющей фазы. Однако этим способом можно проанализировать только начальную стадию развития языков как из-за математических трудностей, так и потому, что правильная форма языков не может сохранятьсл неограниченно долго.
Последнее вызвано тем, что на боковой поверхности удлиненных языков возникают вторичные искажения, когда длина языка превосходит критическую длину волны возмуп~ения. Для упрощенного описания совместной фильтрации двух жидкостей при таком хаотическом движении рассмотрим случай плоского 270 течения, когда протяженность языков в продольном направлении намного больше их гпирины (см. рис. Х.З). Предположим, что в среднем течение является одномерным, т. е. скорость фильтрации каждой из жидкостей, осредиенпая по сечению, содержащему большое число языков, направлена вдоль оси х. Примем также, что насыщенности (или концентрации) з, и з, постоянны по обе стороны границы (т.
е. в областях 1 и 2). Тогда, пренебрегая фильтрацией и обменом в поперечном направлении, моя~ем записать < и;) —.- — — '< ~ ) у (1.==1, 2), (Х.2.36) где Ь вЂ” суммарная высота 1 сечения, занятая первой ~,д (вытесняющей) жидкостью. Уравнения неразрыв- дд ности для осредненного течения имеют вид: дд ю Н д(и~) дь +та, — =О; дх ~д1 ' дЬ д(и ) дг д,г — (1 —.д —,",' =-О. г дд (Х.2.37) Рис. Х.6 Исключая из уравнений (Х.2.37) < ~. ) и учитывая, что (1— дз — зг) < ит ) Ф з, < и, ) = ие,гдеир — средняяскоростьфильт- ь рации, получим одно уравнение для т] =- ---, аналогично тому, как было получено уравнение (У1.2.11): (Х.2.38) где д'(Ч)== "— —; рз== . """* Ч д рв (1 — Ч) ' )Чят (1 — 8 ) ' Решение уравнения (Х.2.38) получается точно так жо, как решение уравнения Баклея — Ловеретта (91.2.11): *(ч) — Г'(Ч) [ ио(т)бт+хо(Ч) =<К'(ч)+ко(т)) (Х 2.39) о Зависимость ~) (<)), соответствующая формуле (Х.2.39), представлена на рис.
Х.б. Поскольку функция Р (ц) является монотонной, скачков средней насыщенности ц при атом не образуется. Решение вида (Х.2.39) рассматривалось А. М. Пирвердяном !91 ! и И. А. Чарным [119! применительно к образованию языка обводнения в наклонном пласте и А. Шейдеггером [156! для общего случаи неустойчивого течения. Для вытеснения смешивающихся жидкостей близкие схемы были предложены Перрином [151! и Ковалем [140!. А. Некоторые формулы векторного анализа (А() 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
