Г.И. Баренблатт, В.М. Ентов, В.М. Рыжик - Теория нестационарной фильтрации жидкости и газа (1132325), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Вектору а с компонептаив аг, а„аа соответствует скаляр Й» а (дивергенцвя а): даг дат дав й(»а= — — -+ — + — —. (А2) дхг дет даа Обозначим ьи Г;, 1т — еДиинчные вектоРы в напРавлении осей х„а и ха и введем оператор Гамильтона (набла) у: д "' д д » = — ~х — + га — + га — * джг дат дха * (АЗ) С оператором Гамлльтона можно формально производить действия, как с веытором, по правилом векторной алгебры. Имешг при етом йгаб й=уеч Й»а =ра.
(Ай) ( Ай) Наконец, д'~р дт~р дар (йгаг( () т' (рм) у ~( д + д + (Аб) Оператор д» дт дт й=уе + дат, дта д4 (А7) нааываетси оператором Лапласа. В цилиндрических координатах (г, й, х) его выраженно имеет вкд; 1 д / д Ч 1 да да рт =- — — ~г — ) + — — + —, дг ~ дг! гт даа ды' (Ай) В книге испольчовапы некоторые простейшие формулы и понятия векторного авалиаа.
Ниже приводятся определения атнх величин. Более подробные сведения можно найти в учебниках. 4. Скаляру (числовой фуакции) <р (а, а„ха) ставится в соответствие вектор градиента: Накоиец, часто используется формула преобразовавия поверхностного иптеграла в объсмиый (формула Остроградского — Гаусса): Ц аа ЗЯ == ~ Д Й1ч а Л'. (АО) Здесь а — иекоторый вектор, задаввый в объеме у, окружеивом поверхностью 8; а„ вЂ” проекция веитора а в некоторой точке поверхности Я ка ваправлеиие нормали к атой поверхности.
В. Обозначении некоторых специальных функций Ивтегральиая показательная функция — Е1 ( — з)=-~ е "-~-. Огувкцил ошибок з сз 2 Г г 2 Г йз ег1х= — — ~ е з сэ; ег1сл=1 — ег1 л= — ~ е Ий. Фувиция Бесселя л-го порядка первого и второго рода: з (х); у (х). Модифицированные фуякции Бесселя л-го порядка первого и второго рода: Ез(л). Кз(л) ФУнкция Кз(л) иазывастся также функцией Макдональда. Фуякци1г Бесселя удовлетворяют диффореициальиому уравпевию Бесселя: лзу" ч;ху'+(лз — лз) у=-с, (ВЗ) а модифицировапвые функции Бесселя — такому же ураввеввю, ио только со зиаком (+) пород вз, Необходимые своиства перечисленных свециальвых функций можио найти в книге (74) или з справочвике [26]. С.
Некоторые сведении иа операционного вычислении В операцпоииом исчислеиил каждой фуикцяи ) (г) веремеяиой ц определеяпой при О ~ 1< ос, ставптсл в соответствие иаображевие СО г" (о) = ) е " 1(г) оз =: —.. Е () (г)). е Соотяошевие (С1) косит иаэвав не преобразоваиия Лапласа; перемелиая о— параметр преобразования Лапласа.
Воли прпмевпть преобразоваиве Лапласа к производной Г'(1) и вымолвить иптегрпровапво по частяи, то получим Е (У' (гИ =.-оР(а) — У(О). (С2) В частвости, соли г (г] =.— О при с —. О, то й (1' (г)) =ой(о). (Сй) Такиы образом, фуикцвоиальпой операции дифферевцяроеапия для фувкций соответствует алгебраическая операция умножения иа параметр в, Поэтому, 273 1О заказ гзз» применяя преобразование Лапласа к некоторому дифференциальному уравнению, содержащему дифференцирование по времеин, пожив прийти к новому ураввснпю, в котором вместо аргумента 1 входит аргуиент о уже в качестве параметра [ср.
ураннгяэя (111.1Л) и (111.1.5)[. Решая зто уравнение, находим изображение Г(о). Наконец, аэвершающпм этапом является нахождеяне орш.инала [(С по изображению Г (о). В настоящее время имеются обпщркые таблицы преобразованкй Лапласа, позволяющие в ряде случаев непосредственно найти нсобходнмос изображение н соответстэуюэшй ему интеграл. Если это нс удается сделать, то зачастую возможно свести рассматриваемый случай к таблнчяоиу (приемы такого сведения также излагаются в справочниках). Например, пусть необходимо найти оригинал, отвсчающвй изображению Г(с) — [(и+а)о[ х.
По таблице находим [и+а[ "-е "~. (С4) Учитывая, далее, что умножение изображешгя на о соответствует дибэ[мренцированию оригинала [формула (С2)[,получаем ['(С)--е "'; 1(г)=.~е этйт.--.— [1 — е и~[. а е Тот жс результат можно получить по-другому. Представим Г (о) в вшкч 1 Г1 Г(п)= — — - — = — ~ —— п(а+а) сг1о с+и Отсюда, используя линейность преобразовзяия Лапласа, по формуле (С4) получаем выраженпе для 1 (г).
Наяоиец, в общем случае оригинал находится по изображению п о ф о рмуле обрапгення: Г'(Г)= — - у Г(П) е«вЂ” 2я[ 3 а (С5) СО Г(с)=-~ г,(п- сэ)Х' ( — Гу<) э<юг<...) -э 274 Здесь Г (с) рассматрэвается как функцня комплексного переменяого о— = 5 + ВВ в ~титеграл беротся по прямой, параллельной мнимой оси т) и расположенной правее иес. Формула обращения (С5) яеляетсн одновременно и иапболес сложным.
и наяоолсс универсальным средством анализа решения, полученного методзмн операциошюго всчисленпя. Согласно тоорил функций комплексного переменного, путь интегрирования в комплексной плоскости иожно при определенных условиях деформировать, пе изменяя зизчешш интеграла. Зто позволяет в ряде случаев либо явным образом вычислить интеграл (С5), либо исследовать его свойства. В частности, установлена следующая связь между эндом фуикцэя Г (о) л асимптотяческям поведением функции [ (Г) прп т -~- ос. Рассмотрим все особые точки фувкцяи Г (о) (и„, о„оз,...), считая пх ванумерованнымп в порядке уоывання веэйзствсппых частсй (Ке оэ э Вс и, ) ,э Ве аэ э...).
Тогда пмост место теорема [42[. Если иэсбражсш~с Г (о) можно разложить в окрестности точни оэ в степеннбй ряд с яроизвольвыаш показателями (ееобязательио целочисленными), то оригииал / (Г) при г — со можно представить в виде асимптотического разлогкеиия: /(г) =: е'и ~уз с.~ Г( — 2„) (С7) в котором иеобходямо пологкить 1/Г (- Х„) =. О, если Х, принимает зпачевия О; 1;2;.... В частности, отсюда следует, что ес;ш разложевие (Сб). иачвиая с иекоторого члена, содерлгпт лишь целые положатольвыс стопово, то соотяотвеяис (С7) превращается в коночную асимпготячесяую формулу.
Поэтому разность / (!) ../(О м ~Ь ' г-х,-! .ям' Г ( — Х„) .-е стремится к кулю быстрое (али возрастает ыедлеяиее), чем е(о' Ю ', где с — достаточно малое число. можно показать. по асимптотическое поведение /,(1) при 1 -1- оо определяется поведеввем Г (о) вбш~зп особой точю| о =- ог таким же образом, каким асимптотика / (1) опРелелаетсЯ поведеивсм Р (о) вблизи точки и =- ое. В случае, если иегколько особых точек иаображеиия имеют одинаковые веще сзвевиые части, асимптотическое поведеиие оригинала оказывается более сложвыч. Соответствующие результаты приводятся также в литературе [42).
зу. Анализ размерностей и подобия В теории фильтрации аиализ размериостей и подобия играет сув(ествеввую роль. Сооб(иокопия анализа размериогтей и подобия просты, ио пе тривиальиы; оии основаны па нескольких определеииях и фактах, которые представляется целесообразиым изложить здесь без доказательств. 1. Все физические велишвы выражаются числами, получающимися путем их срависиия с едивкцамп измереввл. Единицы измеревия разделяются яа основкью (иапример, единица массы — 1 т, единица длины — 1 см и т.
д.) и производкые, которые получаются из осиовкых едивгп[ иа осиове определеиия соответствующих величии (единица скорости — 1 см/сек, единица силы — 1 гсм/сект и т. д.). Системой единиц измерения называется совоиупиость едвшщ измереиоя, достаточная для измерения характеристик рассматриваемого класса яелеипи. Например, для класса ысхапи*юскпх явлошш стандартной системой является система СИ, параду с которой применяются системы СГС (см. г, сок), МКС (и, кгс (сила), сек). Классом систем едвяиц измеревия называется совокуииогть систем единиц измергвия, шличающвхся только величияой основных единиц измерения.
Наприиер, из слететь СИ получается класс систем 27б в котором основные едивицы массы, длпяы и времени получаготся соответствоппо уьо яывеиием в /)Х, б, Т раз пропзвольио выбраииых вдовиц массы, дливы в времеви: килограмма, метра и секупды. Класс систем едпяиц измеревия обозвачаотся заглаввыми буквами величии, единицы взморекия которых припяти за основные; одновременно зти буквы озиачают, во сколько раз умеиьшаетгя осяовиая едкяица при переходе от одной системы к другой ввутри дапиого класса.
Например, класс (Ц обозначается Ъ(ВТ. Размерностью данной величивы взвивается выражение, которог показывает, во сколько раз изменяется едиввца взяереикя данкой величииы при переходе от одвой системы к другой внутри даиного класса. Естествепио, что размориость существенно зависит от класса систем единиц паиереноя, паярямер в классе МВТ вЂ” раэмеряосэь скорости йТ ', силы ИйТ~ я т. д. Если размерность величины в данном классе тождественно равна единице, величина называется безраэыерной. Размерность некоторой величины 7 обозначается символом [[[, 2.
В приведеппых выше примерах разморпость всегда представлялась степенным одяочлеиом. Можно подавать, что это — общий факт, поскольку все системы внутри данного класса равноправяы. Равноправие означает, что размерность зависят только от того, во сколько раз изменяются осяовяые единицы свстелды единиц намерения при переходе от одной системы к другой вяутри данного класса систем единиц иамереяия, и о н е з а в и си т о т т о г о, к ак а я я м е я п о с и с т о м а единиц и з и е р е п п я была и сходной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
