Г.И. Баренблатт, В.М. Ентов, В.М. Рыжик - Теория нестационарной фильтрации жидкости и газа (1132325), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Имеем далее Х(Т) =- О; в(Т) — — О. (1Х.2.21) Интегрируя уравнение (1Х.2.19) с учетом этого условия, полу- чаем 1(1+0 з1 1 Ф(а, а)= т~~ ( „)1+ -- ...( —, —.— —— 1п —. (1Х.2.22) е 7 (рр г Рис. 1Х.5 Таблица значений функции Ф (л, о) приведена в работе (111. Используя зту таблицу, легко найти значение з, отвечающее данному значению 1 (рис. 1Х.5), а затем найти распределение давления, кодставляя в (1Х.2.15) аначение л и соответствующие ему значения Ь, ЛХ н тт', определяемые формулами (1Х.2.16).
Из соотношения (1Х.2.22) ясно, что при всех Т ~ (с ' оо величина О с л( 1; при( — ос л — 1, откуда в соответствии с (1Х.2Л7) следует, что р(1 — '/т. Таким образом, при.больших сполна разгрузки делит возмущенную область примерно пополам. Заметим, что в соответствии с выражениями (1Х.2Л5) и (1Х.2Л6) . (О,е) Ре Р— р, Таким образом, графики рис. 1Х.5 описывают повышение давления на галерее после ее закрытия. Задачи и и. 3.
1. Пусть р (х, с) — распределение Лавлюшя в полубесвоне шов власте, уяоелетаоряввпее прн О с. х с ((1) второму уравпепиео(1х.2.11), а при ( с„ ~,'х ~ со — верному, причем р (х, 1) -~ Ре при х ~ со, 251 Получать вятегральяое соотвошекке е' Г,, 1 е à — — ) (Р— Ре) йз+ — — ) (Р— Ре)д~+ х,а~3 ' к,сР,) () Х.2. 24) 4» В теории упруго-пластической фильтрации нетривиальным оказывается вопрос об автоз1одельных решениях. Казалось бы, решение задачи о мгновенном источнике для упруго-пластического рехзима фильтрации должно в соответствии с 3!Ъ'.5 представляться в виде: Р— Р(х, с) =-=У($); 5=- =., (1Х.2.25) З~,~ 1 2кИ где 7'(с) удовлетворяет уравнениям 1" (ь)+ ь!'(а) +~= 0 (О -.
Ь<$е); (1Х,2,26) нУ (еь)) ЕУ (еь)+У.=-О (зе(е<ое), а=х /х н условиям »'(0) =-О, 1(ш ! (ь) = — О, 3»» (1Х.2.27) причем )ь (() = зе)/2х1( — ноордииата волны разгрузки. В самом деле, уравнения упруго-пластического режима фильтрации не содержат ни одной новой величины с независимой размерностью (х1 и хз имеют одияаковую размерность). Поэтому, полагая ~ 1Р— р(х, 0))дх=(); р(х, О)=0 (х+О) (1Х.2.28) и используя обычные соображения размерности, мы должны получить решение в форме (1Х.2.25). Легко показать, однако, что решения в форме (1Х.2.25) пе существует. В самом деле, решение уравнений (! Х.2.26) при условият (1Х.2.27) имеет впд, соответственно, А екР ( — ь('зйз), А,екР ( — $з/2сз) пРи $ < а и З ..за. Если тепеРь ааписать условия непрерывности 1 и 1' при $ = А; то при любом Получать также последующие интегральные еоотяошешш во авалогка с теорией упругого режвяа и задзчама фильтрации газа (см.
гл. у). Каков фкзвческвй смысл соотвошеивя ПХ.2.24)? 2. Решить, левользуя метод интегральных соотяешевай, задачу о восстановления давления зблвзв екзшкквы, работавшей на вротяженкк времеви О < г < Т с востеяавым отбором в лерзоначалько невозхущенвом пласте, а затем остановленной. Изложенвые выше результаты были получены в работах Г. И. Баренбззтта в А, П. Крылова [20! в Г. И. Бареяблзтта !)Ц. ) + 0 для А и А > получается система уравнений, несовместная при и+ 1. Этот результат представляется странным, потому что, казалось бы решение задачи Коши спустя достаточно болыпое время после начала движения должно «забывать» о деталях, связанных с начзльныи условием, и становиться автомодельным.
Рассмотрим решение неавтомодельной аадачи Коши [уравнения (1Х.2А1)), соответствующей начальному условию р — р(х, О)=(рд р(хд, (1Х.2.29) где 1 — некоторый параметр размерности длины, а функция >з (х/>)— непрерывная вместе со своей производной по х, монотонно убывающая, и притом такая, что (1Х.2. 30) В силу теоремы, доказанной С. Л. Камеиомостской [51, 52), решение этой задачи Коши существует и единственно. Согласно и-теореме оно представляется в виде: Р— р(х, 1) = = — Р (>= —, =- —, — [. (1Х.2.31) О ! х > х1~ 1 к>> у 2к>> Ф 2к>> и> Обы*шое рассуждение состоит в том, что при достаточно малых 1 второй аргумент функции Р несуществен, откуда и получается представление (1Х.2.25) . Нетривиальность поло>кения, во зннкающеп> в теории упруго-пластического режима фильтрации, объясняется тем, что при >1 .== 1(к >>) ~>> — 0 функция Р ($, », и) в случае и + 1 не стремится к конечному пределу, а стремится к нулю или бесконечности (в зависимости от величины и = м>1нз) и притом так, что существует такое число р, что 1пп ' — ' — =-1Д, а).
(1Х.2.32) Подставляя зто выражение в (1Х.2.31), получаем, что главный член асимптотики решения задачи Коши при 1 — 0 (или, что то >ке, > — ~ оо) имеет внд: р — р(х, т)= Л(кдт)-ч <»'"1($, и), (1Х.2.33) где А = 1',>1>, что и наводит на мысль искать автомодельное решение задачи Коши в форме (1Х.2.33), причем параметр [> должен быть найден в ходе решения задачи. Подставляя (1Х.2.33) в (1Х.2.11), находим для функции 1 уравнения: -,—,',+$ — "„', +(1+[))~=-0 (0~ $ ( $.); (1Х.2.34) а —,-+$ — „~+(1+~)У вЂ” -О Я>= $«). 253 Из граничных условий и условий непрерывности давления на волне разгрузки находим ~ (0)=0~ ~(фо — 0)=~(Ее+0), (ГХ 2 35) откуда и из определения волны разгрузки а~а — о) г'1(5з — ', Е) ага 'йги' получается условие непрерывности 1' ( З) на волне разгрузки.
Из этих условий и условия быстрого убывания функцви1 на бесконечности находим 1($, Р)=АЕ-З*~'Ф( —,—, — ) .(О~ ~~Ее); (1Х.2. 30) 1(5, р)=Во- Ь*' Рз(Уа$) (аз~ $( ), (где Ф, Р— соответственно вырожденная гнпергеометрическая функция и функция гиперботического пвлтшдра, см. [129)) и систему вз двух трансцендентных уравнений, которая однозначным образом определяет Зр ~сс) и () (а).
Естественно, что () = 0 при сс = 1. Полученное автомодельное решение интересно в том отношении, что показатель раамерности автомодельной переменяой в нем не определяется из соображений размерности, а находитсл нз условия существования решения задачи в целом. Такие автомодельные решения называются автомодельными решениями второго рода.
Исследование атой задачи было выполнено в работе Г. И. Баренблатта и Г. И. Сивапшнского 123), в которой можно найти детали вычислений и реаультаты численных расчетов. Глаза Х СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ НЕОДНОРОДНОЙ ЖИДКОСТИ й С ВЫТЕСНЕНИЕ ВЗАИМОСМЕШИВАЮЩИХСЯ ЖИДНОСТЕИ В настоящем параграфе будет рассмотрена совместная фильтрация двух полностью взапморастворимых жидкостей, образующих при движении одну фазу. Такого рода фильтрационные течения осуществляются„например, при вытеснении нефти иэ пласта растворителями, при исследовании нефтеносных и водоносных пластов при помощи меченых частиц, а также в некоторых процессах химической технологии. 1.
Рассмотрим процесс изотермической фильтрации однофаэной двухкомпонентной смеси. Свойства такой смеси (плотность и вязкость) определяются двумя параметрами — массовой концептрациеп одного иа компонентов с и давленяем р. При вытеснении смешивающихся жидкостей главной особенностью фильтрации однофааиой двухкомпонентной смеси является сложный механиам переноса массы, связанный с перемешизаниом частиц обоях компонентов вследствие различия скоростен в разных точках пористой среды. Влияние перемешивания на теплопередачу в пористой среде отмечалось уже в э 5 гл. 1Х. Из-за хаотического расположения перовых каналов движение жидкости при фильтрации происходит по слоя'ным траекториям н на расстояниях порядка раамеров пор скорость каждой отдельной частицы жидкости может зяачительно отличаться по величине и яаправлению от средней скорости, равной и/т (где и — скорость фильтрации, т — пористость).
Поэтому при движении в пористой среде двухкомпонентной смеси частицы каждого компонента рассеиваются отяосительно начального положения, несмотря па равенство средней скорости для всех частиц. При этом первоначально резкая граница двух полностью смешивающихся жидкостей оказывается «размытой». Размывание границы происходит, конечно, и под влиянием молекулярной диффузии, но эксперименты покааывают И53), что в пористой среде при фильтрации перенос массы в результате отклонения скоростей от средних значений может происходить во много раз (иногда на несколько порядков) быстрее, чем перенос, вызванный молекулярной диффузией. Чтобы учесть влияние переиешнвания на перенос компонента, имеющего кояцентрацшо с, следует к вектору конвективного переяоса рси добавить дополпительнгэй член, связанный с изменением концентрации от точки к точке.
Дополнительн>пй вектор переноса поможет быть записан в форме дэ Чп; — — — Л» —. (Х.1.1) дз> ' Возможность использования вектора переноса в указанной форме подтверждается обработкой данных экспериментов по перемешиванию в пористой среде. Танзер А» обычно называется тенэором дисперсии, иногда также теизором коивективной диффузии. Из условий симметрии следует, что в изотропной среде одна из главных осей тензора Л» совпадает с направлением скорости фильтрации, а две другие могут быть выбраны произвольно в плоскости, перпендикулярной вектору и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
