Г.И. Баренблатт, В.М. Ентов, В.М. Рыжик - Теория нестационарной фильтрации жидкости и газа (1132325), страница 51
Текст из файла (страница 51)
И. А. Чарньпй (119)) получаются те же условия устойчивости, что и при испольаовании более строгой тоории. Общий способ анализа устойчивости какой-либо систеопт состоит в исследовании ее поведения после наложения на основное состояяие малых возмущений. 261 1. Рассмотрим вначале простейший случай — вертикальное движение с постоянной скоростью плоской границы раздела двух жядкостев, имеющих различные плотности и вязкости. Такая схема является предельной как для вытеснения смешиваловьвмися.
так и яесллошпваюлцямися агептамя, если пренебречь шириной переходных зоя. Фильтрация кехадой из жидкостей описывается следующими уравнениями (ось х направлена вертикально вверх): Ьт др и» да до тор ~ . Ь1 др 1 Р1(,дх»а)»» Рл ду ° доз доз до»» -д з-+ д --+ д, =-О ()=-1 2). (Х.2Л) Рл = Рл' и„, =- и„= вй'„, (Х.2. 2) где и„; — проекции скорости фильтрации на нормаль.
к границе раздела; р„— скорость перемещения границы по нормали к ней. Система (Х.2Л) с условиями (Х.2.2) имеет следующее решение, соответствующее равномерному перемещению плоской границы раздела: ил= — г =0; и»»=ю =0; и =-и =-и„; Р, -= Р<ал.—.= р — ~ и' 'и„-1 р о»1 (х — р1) л Уст' Ро = Рш~ = — Ро — ~ иа+ Рай) (х Р») (х — т'1 <О); (х — Рл)0). (Х.2.3) ПРи атом 1»а = т' = — о. УРавнение невозмУщенной гРаницы Раадола имеет вид х = гг. Рассмотрим решение системы (Х.2Л), отличающееся от (Х.2.3) малыми возмущениями. Для этого положим *, °,, ° . о> »а) и; =- ио+ еи;; о; = ео», ш» —— - еадП» Р, =- Р1о> -1 ерл; Ра =- Р',"> -'; ерм (Х.2.4) где з — малая величина. Уравнение границы раздела имеет вид: (Х.2.5) х =- х~ (з, з, л) = »' 1+ зхо (р, 3, т)- 262 Величины, относящиеся к каждой яз фаз, здесь обоаваченьо индексом 1 =- 1, 2; проницаемости $1 приняты различными по обе стороны границы раздела, чтобы учесть возможную неполноту вытеснения несмешивающмхсн жидкостей; в последнем случае по обе стороны границы различны насыщенности и, следовательно, различны относительные проницаемости.
На границе раздела должны выполняться условия (см, гл. Ъ!, т 2) (У1.2ЛО) и (т'1.2.21) Для возмущенного движения имеем систему уравнений ь; арт а; арт ю« = — — — — и« ра ад ° «= р~ ь«аа«т р~ дх а., ам",. — '+ — '+ —.' = о. дх ду дз (Х.2.6) Пользуясь малостью искажения грантщы, можно отнести условия (Х.2.2) на невозмущенную границу раздела х = — И. Тогда с точностью до малых порядка е условия на границе принимают вид: * е д~~ и«=и,-в«вЂ” а« пря х=И; р,— Р,=-« ~ — — — «и,+(р,— р )д «х . * * Г/р«рз« э -~Л', —.,) з (Х.2.7) (у =-)~ тГГЮ; Р;(х, «) =.= Р)«>(г) ехр(7х')-) Р«ю(1) ехр( — ух') (х' = х — г'г).
(Х.2.9) Условия затухания возмущений на бесконечности дают: Р, = Рсо Яехр (ух'); Р, = Рве (Г) ехр( — ух'). (Х.2.10) Подставляя эти вырая«ения в условия (Х.2.7) и исключая Р«и н Р"', получаем следующее уравнение: «'уз, Х=-( — "' — — "'1и,+(р,— р,)й- (Х.2,11) —,й, а« «М ( р« + рз ) ' Из уравнения (Х.2.11) слеДует, что Х = Х„ехр хт« К условиям (Х.2.7) следует присоединить также условия аатухання всех возмущений прн х — « .+со, так как предполагается, что возмущение возникает вблизи границы раздела.
Произвольное возмущение может быть разложено в интеграл Фурье по у и х. Поэтому для исследования устойчивости достаточно рассмотреть развитие элементарного сш«усоидального возмущения. Для этого представим х~ и р'; в виде произведений хэ=- Х(«)ехр(«угу+«у,з) ((=- у' — 1); Р~==Р~(х, г)ехр(1у,у+(у,з) (7=1, 2), (х.2.8) где Х («) и Р;(х, «) — амплитуды возмущений х* и РР Подставляя выражения (Х.2.8) в уравнение (Х.2.6), получим, что функция Р«(х„г) должна иметь вид: где Хз — начальная амплитуда возмущения. Поэтому, если К=Р— "' — ф~и,— '(р,— рз)д)9, ~ Ь| зз г (Х.2.12) ности границы, если вытеспение идет снизу вверх и вытесняющая жидкость обла- Ф'~ дает большей плотностью.
В случае несмешивающихся жидкостей рассмотл ренная граница раздела представляет собои фактиРвс. Х.З чески предельное положение скачка насыщенностей, когда насыщенности по обе сторонка скачка равличны, но постоянны. В общем случае насыщенность вытесняющей фазы впереди фронта и насыщенность вытесняемой фазы аа фронтом не равны нулю. С каждой стороны границы рааличны не только вязкости, но и проницаемости каждой из фаз.
Поэтому в случае несмешивающихся жидкостей устойчивость определяется пе соотношением вяакостей, а соотношением подвижностей, т. е. величин й;/рн Отногпение подвижностей может быть рассчитано по кривым относительной проницаемости, исходя из насьнценностей по обе стороны скачка, которые а спою очередь определяются по формулам (Ч1.2.29) и зависят от отношения вявкостей.
С ростом отношения вязкостей Нз зглз М = ~ отношение подвинсностен М* = «~' также растет, но М* Р~ гзль становится больше единнцы, т. е. устойчивость нарушается только когда М значительно превьннает единицу. При обычной форме кривых относительной проницаемости типа нзобра~кенных на рис, Ъ1.5 отношение вязкостей,- при котором наступает неустойчивость, составляет около 10 — 15. 'Хипичная аависимость М* от М показана на рис, Х.4. Эксперименты по вытеснению нефти водой, проведенные В. Е. Кисиленко [55) на прозрачных моделях пласта с насыпной пористой средой, показали, что йеустойчивость наступает при отношении то начальные возмущения со временем затухают, в противном же случае — воарастают.
Поскольку в условие (Х.2.12) не входит параметр возмущения у, ото условие справедливо для воамущений произвольной формы. Таким образом, перемещение границы раздела устойчиво, когда выполняется условие (Х.2.12). Если условие (Х.2.12) не выполняется, граница раздела становится неустойчивой и разбивается на отдельные зязыки» сложной н случайной формы (рис.
Х.З). Когда действие силы тяжести несущественно, неравенство (Х.2.12) оаначает, что граница раздела устойчива в тех случаях, когда вытесняющая жидкость обладает большей вязкостью, чем вытесняемая, и неустойчива в противном случае. Действие силы тяжести способствует устойчи- вязкостей фаз около 12 — 13. Если плоская граница раздела неустойчива, то с течением времени оиа разбивается на большое число отдельных «языкову неправильной формы (см. рис.
Х.З). Если аа счет неоднородности потока насыщенность в некоторой точке изменяется на малую величину, то такое возмущение распространяется, не затухая и не разрастаясь. Действительно, уравнеиия неразрывности при плоском двухфазном течении имеют вид (см. гл. у'1): дид дис дс ди ди — + +ос —; — + — =0; ди ду дс ' ди ду (Х.2.13) и=-к«+аз; Кроме того, исходя иа обобщенного закона ' Дарси дд (у'1.2.1), можно записать йд ис = — УР (8); ус = ссР (6); Р()=— сс (с) с 6 ( ) + — сс (с) (Х.2.14) д с сд и т ууа суду лиж Рве. ХА Тогда вместо первого иа уравпеиий (Х.2.13) имеем лс — +иР' (г) — + уР' (з) — = О.
дс дс г дс дС ди ду (Х.2. 15) Для иевоамущенного течения и = и,, г = г, причем скорость распространения скачка, согласпо условию Иаклея — Леверетта (Ъ(.2.30), равна у = ~Р'(г„). Вводя значения возмущеиияскорости и насыщенности, получим иа (Х.2.15) иа двв да* дс* дса — ~ Р' (г,) — + — - или — + $' — = О. (Х.2.16) ис ди дС дс ди Из етого уравнения видно, что возмущения насыщекпости вблизи скачка распространяются, не затухая, со скоростью, равной скорости скачка. Таким образом, учет воамущепий насыщенности ие приводит к изменению условия устойчивости.
2. Выше была рассмотрена устойчивость резкой границы раадела фаз, ка которои действуют только силы тяжести и вяакого сопротивления. Однако при вытесяепик несмеспивающихся жидкостей яа устойчивость могут оказать влияяие поверхностные силы, а в случае сменсивающегося вьстеснепия — дисперсия и молекулярная диффузия.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
