Г.И. Баренблатт, В.М. Ентов, В.М. Рыжик - Теория нестационарной фильтрации жидкости и газа (1132325), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Компоненты тензора А» в главных осях К, = А„и Кз Лег = Лзз называются соответственно коэффициентами продольной и поперечной дисперсии. Коэффициенты К, и Кз определяются описанным выше механизмом перемешивапия н поэтому являются функциями средней скорости дни>кения (скорости фильтрации и) и свойств пористой среды (1, т, ...) и жидкости ()>, р, й): (Х.1.2) К>=-Уз(и* В ~>, р, Е, в>), (>==-1, 2), где 0 — коэффициент молекулярной диффузии.
Размерность коэффициентов дисперсии К> и Ка есть 17Т. Поэтому К,=ийр;(Ре, й(, пы а, ...), (Х.1.З) ш вр. где Ре = — (число Пекле); р( = — р; ам аз,... представляют собои безразмерные параметры структуры порового пространства; безразмерная функция. Из формулы. (Х.1.3) следует, что зависимость коэффициентов дисперсии от скорости фильтрации проявляется череа их зависимость от числа Пекле.
На рис. Х Л приведена зависимость безразмерного коэффициента продольной дисперсии К/В от Ре. Этот график получен в результате обработки большого числа экспериментов по исследованию распределения концентрации нейтральной примеси в однородной жидкости при фильтрации в несцементированных песках (58 В В качестве характерного размера 1 принимался средний диалштр зерен. Заметим, что эксперименты проводились при различных значениях параметра г>, но ааметного влияния этого параметра на К> не обнаруя ено. В области самых малых скоростей фильтрации, когда и~ (( Р, механическое перемешивание несущественно по сравнению с молекулярной диффузией и К,=аР, (ХЛ Л) ~О-г Га' ара аааа Гат Льр аааа Ггэ иуда Рве. Х.2 ~, (барс~)+Йт(рд~)=0 ()р=[., 2), (Х.Ф.5) а7 з «« вввв 2эт где а — постояняая, зависящая от структуры парового пространства.
В диапазоне 1 с Ре ( [00 располагается переходная область, в которой существенны лярная диффузия и механическое перемешвванне. рва~ Наконец, в области Ре > р00 влияние молекул г рной диффузии на коэф- р ' фициенты дисперсии не- э значительно и р]р, = сопев. При числах Ре ~40в м величина Кр/ир' начинает уменьшаться с ростом Ро. ЛР В этом диапазоне уже ска- „,„„,р а онных сял на распределр- ааа ч ние скорое~ей в порах., 2 ~~;У л -г гр-р 7ра гэр гррг араг ааав"„~/д Зависимость коэффициента поперечной диспер- Рвс.
ХЛ сии Кв от числа Пекле з принципе аналогична аависимости Кр(Ре). Однако вливнне скорости на Кв начинает проявляться при значительно больших числах Пекле, чем для К,. Поэтому при больших числах Пекле К, )> Кы как это видно из лайв рис. Х.2, заимствованного из работы Марль и Потье [т471. ар "а Подробный анализ зависи- мости тензора дисперсии от скорости приводится в гл. П л книги А.
Ван и др. [3],написанной В. Н. Николаевским, а также в книге Коллинза [581. Там же имеется и подробная библиография. Запишем теперь уравнения совместной изотермической фильтрации двух взаиморастворимых несжимаемых жидкостей. Уравнения нераарывности калчдого компонента выводятся в точности так 'ке, как уравяение (У[.2.4), и имеют вид: где дх — поток данного компонента, который может быть выражен в виде: ди = схпс — Ап — = — — — — — А" — » дср Ьс1 др дс1 (Х.1.6) дхГ р дхС Сз дХГ Подстановка выражений (Х.1.6) в (Х.1.5) приводит к системе нелинейных уравнений для с = с, и Рт дс + д (р )=0~ др д (Х.1.7) дс дс д С дс Х т — +и.— — — ~А, — ) =О. (Х.1.8) дс 'дх; дхс ~ 0 дхс) дс дс дсс ш — +и,— — К,— '-=О. др дх дхр (Х.1.9) Поскольку ир = сопзг, то и К,(ир) = сопз1.
Пусть жидкость 1 нагнетается в полубесконечный пласт, первоначально заполненный жидкостью 2. Тогда имеем следующие граничные н начальные условия: с (О, 1) = 1, с (с<>, г) = О, с (х, 0) = О. Приме- При исследовании потоков жидкости в пористой среде при помощи меченых частиц вытесняющая жидкость (содержащая нейтральную примесь) имеет те же физические свойства, что и вытесняемая. Поэтому система (Х.1.7) — (Х.1.8) разбивается па два независимых уравнения, одно из которых определяет поле скоростей, а второе служит для определения концентрации. При этом второе уравнение будет линейным.
В болыпинстве задач, свяаанных с движением меченых частиц, фильтрацию можно считать установившейся. Тогда уравнение (Х 1 7) переходит в уравнение Лапласа. Прп исследовании собственно вытеснения смешивающихся жидкостей, например вытеснения нефти растворителями, задача упрощается в связи с тем, что скорости фильтрации в пласте вдали от скважин невелики и изменяются незначительно. Так, яапример, при и= 350 м/гад 10 э см/сек и 1= 0,01 см (что соответствуе~ проницаемости около 1 д) Ре = 1 (так как с) обычно порядка— 10 Р смс/сек).
Поэтому коэффициенты дисперсии можно считать не зависящими от скорости, а прй достаточно малых скорестях (при Ре< 10) и равными между собой (приблизительно равными коэффициенту молекулярной диффузии). Вблизи скважин течение можно считать одномерным (радиальным), однако распределение концентрации может и не быль одномерным.
2. Рассмотрим некоторые одномерные задачи вытеснения смешивающихся жидкостей. В случае одномерного прямолинейного вытеснения несжимаемых жидкостей в кесжямаемой пористой среде уравнение (Х.1.7) дает и = ир — — сопМ. Если не учитывать возмоя'ной зависимости коэффициента К, от отношения вязкости, уравнение (ХА.8) примет вид: Для случая радиального вытеснения уравнение (ХЛ.7) дает и = до/г, где до = санчо. Иа уравнения (ХЛ.8) получим дс то дс 1 д ~,до~ т — + — — — — — ~гК,' — ~ = О. дс г дг г дг~ маг~ (ХЛ.15) Если молекулярной диффуаией мол'но пренебречь, то К, = аи или К, = — о.
Тогда вместо (ХЛЛ5) имеем г дс Чо дс $.до дос т — + — — — — — =О. до г дг г дго Уравнения (ХЛЛ5) или (ХЛЛ6) могут быль решены только численно. Для приближенной оценки роста переходной зоны заменим в уравнении (ХЛЛ5) переменные го — 2о с = й, 1' = с, Зависимость К,(и) приближенно примем в виде К, = — К + 1и. Тогда уравнение (ХЛ.15) аапишегся как — 4 ч(~к,а~-ооо.~-оегт~2дф1 — '). (хл.щ т=4до(г — 4)+ — 8 — к, ((Чод) ~' — (Чдо) ') 2 8'гГ2 й э (где ~о — некоторая постоянная), приведем уравнение (ХЛЛ7) к виду: (ХЛ Л8) Чтобы оценить скорость роста переходной аоны, рассмотрим автомодельное решение уравнения (Х.1Л8), имеющее вид, аналогичный (ХЛЛ4): с = — ег1с ~= — ). т 2 ~2Удот (ХЛЛО) Это решение описывает в переменных й, т распросраненне псрвокачально оступенчатогоо распределения концентрации (т. е.
так, что прит=Ос=1, если ~~0, не=О, если $ О). В переменных г, 1 ати условия выраэятся так: прн 1 =1о с = 1, если г'— — 2дото = О, н с = О, если г' — 2до1о >О. Прп етом, разумеется, Если в пласт, содержащий только вытесняющую жидкость (с = 0), аакачивается жцдкость с концентрацией с = 1, то фронт вытеснения (беа учета дисперсии) перемещается по аакону г = )/2доо.
Для оценки распределения концентрации вблиаи фронта при больших можно полагать, что ширина переходной воны намного меньше, чем г, т. е. ~ ь ~ (( 2дос. Тогда выражение в квадратных скобках примет вид: 2Кодод + Кг2(дос) Ы й и может быть вынесено за знак производной по ~. Полагая остается в силе предположение, что ) г' — 2до1о ~ (( 2до1 . Подставляя в (ХЛЛ9) вместо ~ и т их выражения череа г и 2, получим с = — ег1с 1 то — 2тоΠ— — (Х.1.20) 1 2 ~4тахо (оо ооо)+ ((оооо) ~* (оооо) ~* ~ 3 Для оценки ширины переходной воны испольауем условие е = = 0,005, откуда .
2, или 2 г'Ка — — — — — ~ 2. (Х.1.21) 2~4оо~оо(оо — Я)+ ((то0 ы — (то~о) ы)1 При сравнительно небольших временах, когда второй член в квадратных скобках аначительно превьпнает первый (т. е. дисперсия преобладает над молекулярной диффуаией), иа условия (ХЛ.21), польауясь также тем, что ~ го — 2до1~ (( 2до2, легко установить для гпирины переходной зоны асимптотическое выражение г — )/2д„8 = 41/ — А(2до1)ыо ~ 4 Ъ~ — Хг. (Х.1.22) Г 3 тЗ Для больших времен, когда аначения г таковы, что Ко )) —., то~ г — )" ею~ =2 $~2Ко1~2 3/ — 'г. (ХЛ.23) Ото Как показывает акспрриментальная проверка (Бентсен, Нильсен, (131)), формула, аналогнчяаа (ХЛ.20), сравнительно хорошо описывает распределение концентрации при радиальном вытеснении.
й 2. УСТОЙЧИВОСТЬ ВЫТЕСНЕНИЯ НЕСМЕШИВАЮЩИХСЯ И СМЕШИВАЮЩИХСЯ ЖИДКОСТЕЙ ИЗ ПОРИСТОЙ СРЕДЫ При иаучении вытеснения жидкостей в пористой среде существенны вопросы устойчивости полученных решений. Фиаически возможность воаникновения неустойчивости свяаана с тем, что при проникновении (за счет случайных воамущений) частицы более подвижной жидкости в область, аанятую менее подвижной жидкостью, она окааывается под действиом ббльших градиентов давления, чем действовавптие на нее в невоамущенпом состоянип, н движение частицы ускоряется. Если более подвижная жидкость является вытесняющей, это приводит к разрастанию воамущений. В результате такого элементарного подхода (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
