Г.И. Баренблатт, В.М. Ентов, В.М. Рыжик - Теория нестационарной фильтрации жидкости и газа (1132325), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Чтобы обойти зто затруднение, так же как и в задачах упругого рея>иь>а в фильтрации газа, можно искать приближенное решение методом интегральных соотношений. Рассмотрим щ>я примера задачу об истощении газовой залежи радиусом В, эксплуатируемой одиночной центрально расположенной сина>кино>ь Б обычных предположениях задача сводится к ре>пению уравнения В соответствия с эти!! определим распределение давлю!ия а акис) ...
+ел (1) „1 (г -. 1(1)); р! ().1) (г ~ 1) ()!.3.7) )(и д Г й ! др! т)П) д! ч д! — гр Йг =- — ~!' —, ) — 1р — = — — — 1р — (Ч,3.8) д),~ 2тр ~ дг )т д! 2зт а И! (уравнение материального баланса); при и >1 ! (!) ))о — з) глр )(г = — —,— ! г" ( — ! — ) )(! — 1лр —. = Ф 2~() ) (,дт д .) ' ~й т 1 ! Ь l дР! т! Л(л — !) Г л д)Я д! 2'лр ~ дг 1т 2т)! 5 ду а а! г 1 Ь(л — 4)а Р Гл,, „д! 2л~)) .) 1 "е д! Г (Ъ'.3.9) Обычно эти выражения можно существенно упростить, учитывая, что в представляющих интерес случаях г„/1 (~ 1, Поэтому ге можно всюду положить равным нулю, имея в виду, что —, г~ — — ' А эра(га, !) !) 2р дг 2я' а произведение )лар (гт 1) мало. Отсюда получим вместо (У.3.9) ! (!) — — г р!(г=— д р „а( — Па д! 2тр Ро -'- т ь (л !)а [' 2 1.
(л д! Г г р- г — р— ()!.3.$0) На)йдем рс)пение в первом приближении, полагая а! (1) = 0 (! = 2, 3,..., п) . Из условий р (1, 1) = рт др (1, 1)/!! г= 0 определим Движение, как обычно, подразделиы ва две стадии: на первой стадии 1 (1) с. Л (возмущенно еще не дошло до границ пласта) и р (1, 1) = ро; на второй стадии 1 (1) = В. Умножим уравнение ()!.3.4) на ! и проинтегрируем от г„до 1 (1). Прп и = 1 после несложных преобразований имеем со (() = ро — ''з + 1, л (з) = — )„ )ая для первой фазы двигкения и искомое решение имеет вид: ор .
° с)а( — () ро-р-=- — —:о — +- лГа ( (г) лИ (о) Из Ю.3.8) имеем 1 (а) — ~ г (г ро — ' — ~!л — +1 — — а)й =- -- — — 'ар —. гу о о( эс ~ уа о — лу,. ( т1 = 2о, око. аа Рис. а'.3 Не делан значительной ошибки, моакно заменить в интеграле го на 0*). Тогда о ) Ро~м ~ т — ~, а ((лм+ ) — м)а(л~ = — ~ — — ро( — „„(Ч.ЗЛЗ) "Ро о на протяжении первой фазы движения.
Таким образом, па протяжении первой фазы движения имеем для а (а): + 'а -а'аа'"-р-1:-.а — ' 1= — '-а1 а'= —. ~РР о. РЧ '/ З Р ' аОР,' о Зависимость интеграла а в (У.З.а2) от безразмерного параметра ф' показана на рис. оа.З. Таким образом, (= )~'(; к= — "-: =Р'~*~(-Т:Ц, аэ)а ог Воэиикаюн~ую аари этом малую мнимую добавку мм отбрасываем. 134 где постоянная с зависит от единственного безразмерного параметра да (см. рис.
ЪГ.З). Прн 8 > Ва/сак положим 1 =- — В, н таким образом ра( С)=р + — )п — — — —. рч г из (г — Н) кл льН Здесь рв — давление на контуре пласта. Ясно, что зто давление должно меняться во времени за счет истощения пласта. Чтобы найти аакон изменения р„, воспользуемся вновь уравнением материального баланса. Полагая в нем 1 ==- В, получим — И ) и )~ рн -)- — (1ви+1 — и) Ни=- —— с Ла ,) Г 2зв 2апа а ваш 1 га — ~и~ Г.1+ —,' д*(1п и+1 — и)див а — ~ и 1/ $ -(- де (1п и -;- 1 — и) Ии == — —,, — ', .
(аг.3.14) 2лп1Райа 1 (а7а) = ) и )г 1+ г7а (1п и + 1 — и) ди (У.З 16) от параметра д* (см. рис. У.З), можно, используя уравнение (аг.3.14), построить зависимость р„/рп от 2. Для практики, однако, достаточную точность дает самое грубое приближение, когда интеграл (У.3.15) просто полагается равным '/а. Физически зто равносильно приравниванию среднего давления в пласте давлению на контуре. Как следует из рис. 'т'.3, для реальных значений безразмерного дебита скважины а7* (порядка сотых долей) зто допустимо с ошибкон менее 2%. При этом Рв = Раа — тга ( ~а) и ( т'.3.16) Ра(г, ~)==Р3 — „„«я, (~ — ~,)+.(~ (1п — +1 — — ).
(Ъ'.3.17) Если пе стремиться к точному удовлетворению условия непроницаемости при г = — 77, то мояшо отбросить последние члены в выражениях для давления (т. е. положить а, (г) = О). Получающееся прн этом выражение отвечает решению методом последовательной смены стационарных состояний. Оно впервые было получено Б. Б. Лапуком (67, 681 и широко применяется в практических расчетах. Здесь 1, — момент окончания первой фааы движения. Зная зависи- мость интеграла Можно попытаться построить, придерживаясь обычной техниьи применения метода интегральных соотношений (см.
предыдущве параграфы), последующие приближения. При этом, однако, для неззтомодельньсх движений коэффициенты а; и радиус, области влияния 1 приходится катодвть нз сложной нелинейной системы уравнений. Попытка избавиться от трудностей путем замены корня в подынтогральном выражении (У.З.15) первыми двумя чзенами его разложения фактически означает переход к линеаризованноп теории движения газа. Ыногочясленныс работы выполнены этим методом Лан ЧжанСнпем (64, 65). 3. Иа приведенного примера ясно, что применение метода интегральных соотношений к задачам фильтрацки газа оправдано лиао когда допустим переход к линеаризоваяным уравнениям.
либо когда требуемая точность достигается узко в первом приближении. Иначе говоря, выгоднее осуществлять приближение более слоззвыми функциями, но ограничиваться минимальным числом свободных параметров. Один нз способов такого приближения заклк|чается в использовании автомодельных решении по аналогии с тем, как в теории пограничного слоя используются автомодельные решения Фокнера— Скан (метод Кочина -- Лойцянского [601), другой способ излагается в следующем параграфе. В гл. 1'т' были приведены (примонительно к эквивалентной задаче фильтрации грунтовых вод) автомодельные решения одномерных аадач изотормической фильтрации совершенного газа, описываемой уравнением дд и- д ~ ддт — = — — т'— д1 зэ дх дг (з'.3 18) (з = — 0; 1; 2 — соответственно для плоских, осесимметрнчных и цен- трально-симметричных двия'ений).
Зги решения строились для слу- чая, когда на границе пласта (при х = О) задано либо давление р(0, С) =Ф(1), (У.3.19) 1сш (х — ) = — зг (г'). (Ъ".3.20) Движения автомодельны прв определенном сочетании начальных и граничных условий. В частности, если происходит заполнение пласта, в котором вначале давление газа было весьма малым, так что его можно счнтать равным нулю, то задача автомодельна прн произвольных степенных функциях Ф (1) или зг' (1): Ф (1) = п1"; Ч (1) = тдз, (т'.3.21) где о, т, я и р — некоторые постоянные. 1по возможно только в случае плоско-параллельного движения, либо поток газа где / (с, Х) — рстпение краевой задачи ,тт, + 2 $-,тс Ц=О; Х= — — ~ —, /(0) — -1; /(с )=О. (Ъ'.3.23) ттт/з т П ' а Решение тождественно равно нулю вне конечного промежутка 0 ( $:6 $* и удовлетворяет интегральному соотношению 1 ~ ~' УК, ~) %=-1/(1+~). а В табл.
1 гл. 1У (см. также рис. 1уейт) были приведены величины функций / ($, й) для значений Х, равных 0,00; 0,05;...; '1,00 и значений аргумента $, равных 0,1 $*; 0,2 $* и т. д. В общем случае произвольной функции Ф (т) соответствующее интегральное соотношение принимает вид: х* ез — хр (х, т)тЬ=а'Фт (т). тт о Здесь х~ (т) — координата переднего фронта продвия ения газа. Будем искать приближенное ретпенпе сформулированной задачи в виде: Р(т)=Ф(т)/[ — 1т/ ~яэО ~, Х(Ц1; й(т)=-,~~~ . (У.3.25) !37 (7.3.24) В общем случае, когда начальное давлснэе в пласте не равно нулто, двпжентлс автомодельно лнпп прн а = 0 и р ='/з (х 1). Общая схема применения автомодельных решений для приближенного решения нелинейной задачи заключается в том, что берется однопараметрическое семейство автомодельпых ретпенни, отвечающих данным начальным и граничным условиям, а аатем этот параметр полагается равным некоторой функции времени, причем вид этой функция выбирается так, ггобы дифференциальное уравнение задачи удовлетворялось в среднем.
Иначе говоря, нужно, чтобы выполнялось некоторое интегральное соотношение, являющееся следствием исходной задачи. Очевидно, существует много способов введения параметра в авто- модельное решение и варьирования этого параметра. Каятдый из этих способов приводит к тому или иному приближенному ретпению задачи. Обычно нельзя заранее сказать, какой способ решения окажется более удачным. Расстштрим сначала процесс плоской одномерной фтптьтрации газа в пустой пласт (уравнение ((т.З 18) прн а= 0 с нулевым начальным условием). Пусть на гравице х = 0 задан закон изменения давления (уравнение (т.З 19)!. Если Ф (т) = тт", то решение автомодельно н может быть представлено в виде." Р(х, г)=пт'/(з, Х); з= „1/ —.„„,, (Ч.3.22) Прн с)с (С) = пут, и = совз1 выражение (У.3.25) переходит в точное автоиодельное решение. Поэтому естественно ожидать, что при функциях Ф (с), близких к степенным, выбранное представление будет обеспечивать хорошее приближение.
После того как принято выражение (У.3.25), решение задачи сводится к определению единственной функции ) (с). Оггределяя ее из интегрального соотнопсения (У.3.24), находим х(1) = СФс (с) — ) Фт (с) сн е (У.3.26) с сФх р) (Фе (с) нс е После этого по формуле 2 (с) а(с)=.
— — °вЂ” 11 — 2 (с)1 (У.3.27) ха(с)=а$е(Х(с)1~/Ф(1)1 1 — ): (1)1 (У,3.28) Рассмотрип пример решении задачи по пилоскенной методике. Положим Ф (С) = оиС"' + а„С", ю ( и. Тогда зз фоРмУл (г".3.26) и (т'.3.27) находим 1 о ст'и с-с 2о„оиси"и+с4-олхи'с а (с)=— 2 1 т хт+г 2 ими г 1 е си~с и 2т+1 ги+ —,1 "' " ' 2и+1 Иа атого выраксенпк непосредственно видно, что прп малых с а (с) ис ги, а прп болыпкх с а (с) и. Зто означает, что по мере движении псюпсходсст переход от одного аитомодельного движения к крутому. Прп расчете конкретного примера положитс а = 1, ис =- О, и = 1, оги = = о„= 1. Тогда 1 С' 1+ 2С+Ст 2 ~1+с (-х(хсх )' г р(х, с)=(1+с)1 — — — —, 2(с) Г и1 !+а(с) ~ 1+т Использун таблицу функций 1 (5, 2), можно вычкслвть расссределенпе давления р (х, с) в различные моменты времени.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
